从特殊三棱锥到一般三棱锥问题

【解答】 （1）VA⊥AB，取VB的中点O， 显然有OV=OA=OB 又△VAB与△VCB全等. 故VC⊥CB，即O为Rt△VCB斜边的中点. 故O为三棱锥V – ABC 的外心.
（2）三棱锥的外半径长为VB 长度的一半，故外半径长
1 12 ( 2 )2 6
2
2
4
25
在“长棱”上猜外心
上题中的三棱锥V – ABC，实为正方体 的内接斜式“长棱”三棱锥（右下）， 外心在体对角线BD1的中点上，外半径 为体对角线长度6 / 2 的一半. 我们见到三棱锥常为特殊的三棱锥. 在 对三棱锥的外心进行猜想时：
（3）O为AC的中点，OH⊥PC于H. 求证：PC ⊥平面BOH. 【证明】 易知 BO⊥AC，又BO⊥PA
所以BO⊥面PAC BO⊥PC （1）
又OH⊥PC
（2）
由（1），（2）知 PC⊥平面BOH.
【说明】 由此可知∠BHO为二面角B—PC—A的平面角.
14
正三棱锥
侧棱长相等、底面为正三角形的三棱锥为正三棱锥. 确定一个正
【题目】 正直三棱锥的侧棱长为1，求其外半径长.
【解答】 易知正直三棱锥的“外心”O 在高线VH 的延长线上.
设 VO = CO =x，则 HO = x 3
3
又 HC 2 DC 2 • 2 • 3 6
3
3
23
由 OC 2 = HO2 +HC2 得 x2 (x 3 )2 ( 6 )2
3
3
∴PA⊥DO， ∴DO⊥平面PAC.
过O作OH⊥PC，垂足为H，连DH，由三垂线定理知DH⊥PC.
∴ ∠ DHO为二面角D–PC–A的平面角.由 OH 3 , DO 3 .
4
2
tan DHO DO 2, DHO arctan2.
OH
∴二面角D–PC–A的大小为arctan2.
21
【题目】 四棱锥P – ABCD中，AB∥CD,
15 d 3 3
4
4
d 15 5
【说明】 就是上面所说的“等积法”求点到平面的距离.
22
三棱锥的外心
任何一个三棱锥都有外接球，就像任何一个三角形都有外接圆 一样. 三棱锥外接球的球心，称作三棱锥的外心. 三角形的外心到三个顶点等距，这个距 离就是三角形的外半径. 三棱锥的外心到四个顶点等距，这个距 离就是三棱锥的外半径. 外心的“心、顶等距”性质，是我们寻 找外心的依据.
AD=CD=1，∠BAD=120°，PA= 3, ∠ACB=90°.
（Ⅲ）求点B到平面PCD的距离.
【证明（Ⅲ）】 设点B到平面PCD的距离为d.
∵AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD,
∴AB∥平面PCD. ∴点B到平面PCD的距离等于点 A到平面PCD 的距离.
VAPCD VP ACD ,
故命题②是个假命题.
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正三棱锥的判断
【考题】 （2005年全国Ⅱ题16） 下面是关于三棱锥的四个命题： ③底面是等边三角形，侧面的面积都相 等的三棱锥是正三棱锥.
【判定】 侧面的面积都相等，只须顶点V到三底
边的距离相等.
到三边等距的点在平面上是三角形的内心和旁心.
到空间中，过底面三角形的内心和旁心的底面垂 线上所有的点，都分别与三边等距.
（1）先找“长棱”的中点； （2）再找“长棱”的中垂线； （3）后找“长棱”的中垂面.
26
感谢下 载
故命题③是假命题. 18
正三棱锥的判断
【考题】 （2005年全国Ⅱ题16） 下面是关于三棱锥的四个命题： ④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底 面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 【判定】 由侧棱与底面所成的角都相等，可推 断三条侧棱相等. 由侧面与底面所成的二面角相等，可推断侧面上的三条斜高相等， 并推断底面三角形为正三角形.故三棱锥为正三棱锥.
命题①为真命题. 它成为正三棱锥“判定定理”之
一.
16
正三棱锥的判断
【考题】 （2005年全国Ⅱ题16） 下面是关于三棱锥的四个命题： ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三 角形的三棱锥是正三棱锥.
【判定】 侧面是等腰三角形，其底边不一定是底 面三角形的边.
如图右所示，可设VC=BC=AC ，并让点V在直线VD 上移动，可使△VAB也为等腰三角形.
命题④为真命题，它成为正三棱锥“判定定理”之一.
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直三棱锥到直四棱锥
像四棱锥可化为三棱锥求解一样，直四棱锥也可化归为直三棱锥 求解. 【题目】 四棱锥P – ABCD中，AB∥CD, AD=CD=1，∠BAD=120°，PA= 3, ∠ACB=90°.
（）求证: BC⊥平面PAC；
【证明（）】
∠ACB=90°，∴BC⊥AC. ∵PA⊥底面ABCD， ∴PA⊥BC ∴BC⊥平面PAC.
V
1 VC • 3
SVAB
1 6
又
S ABC
1 2
AB
• CD
1 2
2•( 2• 3) 3 22
故 1 • 3 VH 1
32
6
得 VH 3
3
【证明】 等积法常用来“求点到平面的距离”.
6
正直三棱锥的外接球
正直三棱锥与其外接正方体有共同的外接球，因此“单位正直 三棱锥”与单位正方体有共同的外半径3 / 2 . 一般探讨为
15
正三棱锥的判断
【考题】 （2005年全国Ⅱ题16） 下面是关于三棱锥的四个命题： ①底面是等边三角形，侧面与底面所成 的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.
【判定】 由此推出，三侧面上的斜高相等，从而推
得三斜高在底面上的射影相等，从而确定H为底面三
角形的中心.
由此得，三侧棱相等（见右边的轴截面图）.
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外心位置的确定
等腰三角形的外心在底边的高线上； 正三角形的外心为其中心； 直三角形的外心在斜边的中点上. 类比可以推出，一些特殊三棱锥的外 心位置： （1）正三棱锥的外心在底面的高线上. （2）正四面体的外心为其中心. （3）“长棱”三棱锥的外心在“长棱” 的中点上.
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【题目】 三棱锥V – ABC中，底面ABC是边长为1的正三角形. 且VA=VC= 2 / 2 ，且VA⊥AB. （1）试确定三棱锥外心位置. （2）求外半径的长度.
解三棱锥
三棱锥对于多面体，如同三角形对于多边形. 三角形为多边形之根，三棱锥为多面体之根. 注意，三棱锥是 个四面体，有4个面、6条棱. 图形的认识，从特殊到一般： （1）三棱锥中最特殊的是正四面体，次特殊的是正三棱锥. （2）与等腰直角三角形对应的有“正直三棱锥”. （3）与直三角形对应的有直三棱锥. （4）与等腰三角形对应的有“等腰四面体”.
竖直方向显示底面上的高线.
3
解正直三棱锥
化为正方体求解
一、线线关系：
（1）相交垂直：AD⊥DD1 （2）相交45°：AD与AD1 （3）相交60°：AD1与AC （4）异面垂直 AC与DD1 二、线面关系
距离为 2 /2
（1）垂直：AD与DCD1
三、பைடு நூலகம்面关系
（2）交成45 °：AD与ACD1
（1）垂直：三侧面两两之间
三棱锥需2个条件.即侧棱长b和底棱长a .
正三棱锥的直观图一般画成卧式，即置 正三角形于水平面上，且使底面上的一
条高线，如CD于水平线上.
锥顶V在底面上的射影为底面正三角形的中心H. 截面三角形VCD为锥体的轴截面： （1）侧棱与底面的所成角为∠VCD. （2）侧面与底面所成二面角的平面角为∠VDC. （3）截面三角形的高线VH就是锥体的高.
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【题目】 四棱锥P – ABCD中，AB∥CD, AD=CD=1，∠BAD=120°，PA= 3, ACB=90°. （Ⅱ）求二面角D–PC–A的大小；
【证明（Ⅱ）】 易知∠ADC=60°,
又AD=CD=1，∴△ADC为等边三角形，且 AC=1. 取AC的中点O，则DO⊥AC， ∴PA⊥底面ABCD，
.
【分析】 已知的三棱锥为正直三棱锥.
【解2】 卧式图如右，H为底面正三角形 ABC的中心.
OM与ABC的成角为∠OMC.
tan OMC OC 2 OM
得∠OMC = arctan 2 （答案）
【说明】 本法容易误入迁解. 如先求OH和MH的长度.
9
正方体内接三棱锥的个数
【问题】 以正方体8个顶点中的4个顶点作三棱锥，这样的三棱 锥称正方体的内接三棱锥. 求正方体内接三棱锥的个数. 【答案】 从8个顶点中任取4个的组合数为 C84 70 其中，共面的4点的个数是 （1）正方体的6个面；（2）正方体的6个对角面. 故正方体的内接三棱锥有 70 – 12 = 58 （个） 【说明】 这58个三棱锥与正方体同外心，共外接球.
确定一个“直正三棱锥”需2个条件，即底棱长a和直棱长b.
“直正三棱锥”与“正直三棱锥”不同，后者的确定条件只1 个. 直正三棱锥的四个面中：
（1）底面是正三角形；
（2）有2个侧面为直角三角形，它们都 垂直于底面；
（3）另一个侧面为等腰三角形；
12
解直正三角形
【题目】 三棱锥P-ABC中，PA⊥面 ABC，且PA= 3，又 AB = BC = CA =1.
2
“正直”三棱锥
我们把“三条侧棱相等且两两垂直的三棱锥”称作“正直三棱 锥”. 它的三个侧面是全等的等腰直角三角形，1个底面是正三 角形.正直棱锥的直观图画法有“立式”（左）和“卧式”（右） 两种.
立式图中，1个侧面置于水平位置. 可以清楚地看到它在对应的
正方体中的位置；卧式图中，它的底面置于水平位置，便于在
DH 1 CD 6 / 6 3
故有 高线 VH VD2 DH 2
( 2 )2 ( 6 )2 3
2
2
3
【说明】 正直三棱锥的高线长为外接正方体对角线长 3 的1/3 .
5
【题目】 若正直三棱锥V-ABC的侧棱长为 VA=1. 求它高线VH的长度.
【解2】 （等积法）立式图中， 易知正直三棱锥的体积为
2a 2
tan OMC OC 2 OM
故∠OMC = arctan 2 （答案）
【说明】 线面角（OM与ABC成角）化为线线角（OM与MC）亦即
面面角（C - AB - O）.
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【考题】 （2006年川卷第13题）
在三棱锥O - ABC，三条棱OA、OB、OC 两两垂直且相等.
M为AB的中点. 则OM 与平面ABC的成角的大小为
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“长棱”三棱锥
正方体内接三棱锥可分四类. 除了内接正四面体和内接正直三 棱锥外，还有两类. （1）斜三棱锥(图左). （2）底面为直三角形的直三棱锥(图右). 它们各有1条长度为 3 的“长棱”，其外心在长棱的中点上.
11
直正三棱锥
底面为正三角形，且有一条侧棱垂直于底面的三棱锥称作“直 正三棱锥”.
解得 x 3
2
7
考题展示
【考题】 （2006年川卷第13题）
在三棱锥O - ABC，三条棱OA、OB、OC 两两垂直且相等.
M为AB 的中点. 则OM与平面ABC的成角的大小为
.
【分析】 已知的三棱锥为正直三棱锥.
【解1】 立式图如右，OM 在ABC上射影为
MC，OM与ABC的成角为∠OMC.
设OC =a，则OM =
（1）求三棱锥P-ABC的体积； （2）求A到平面PBC的距离.
【解答】（1）P-ABC的体积
1
13
1
S 3 SABC PA 3 • 4 •
3 4
（2）设A到平面PBC的距离为h .
易得三角形PBC的面积为 15
4
由等积原理： 1 • 15 h 1 h 15（答案）
34 4
5
13
【题目】 三棱锥P—ABC中，PA⊥面 ABC，且PA= 3，又 AB = BC = CA =1.
（2）交成arctan 2 ：如平面ACD1与平面ACD
4
正直三棱锥的高线
【题目】 若正直三棱锥V-ABC的侧棱长为 VA=1. 求它高线VH的长度.
【解1】 （斜高法）
正直三棱锥V-ABC 中，易知AB = BC =
CA = 2 斜高VD = 2 /2
设斜高在 △ ABC上的射影为H，则H为△ ABC的中心.
1
解正四面体
正四面体化归为正方体求解.
在正方体 ABCD - A1B1C1D1中， 由6条面对角线 A1D、 BC1 、A1C1、 BD、A1B、DC1为棱的四面体即为 正四面体 A1 - BC1D.
正四面体A1- BC1D的棱长为1的正方体 ABCD - A1B1C1D1 棱长 的 2 倍 ；体积为正方体的1/3；且有公共的外接球，公共的中 心和相等的外半径 3 / 2 .