k52006年高考第一轮复习数学：5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移

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5.3
两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移
●知识梳理 1.设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 AB =（x2－x1，y2－y1）. ∴| AB |=
（ x 2  x 1）  y 2  y 1） （
2 2
.
2.线段的定比分点是研究共线的三点 P1，P，P2 坐标间的关系.应注意： （1）点 P 是不同 于 P1，P2 的直线 P1P2 上的点； （2）实数λ 是 P 分有向线段 P1 P 2 所成的比，即 P1→P，P→P2
x1   x 2  ， x   1  的顺序，不能搞错； （3）定比分点的坐标公式  （λ  y  y1  y 2  1  
≠－1）.
3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，
 x   x  h，   y  y  k.
特别提示
1.定比分点的定义：点 P 为 P1 P 2 所成的比为λ ，用数学符号表达即为 P1 P =λ 当λ ＞0 时，P 为内分点；λ ＜0 时，P 为外分点. 2.定比分点的向量表达式： P 点分 P1 P 2 成的比为λ ，则 OP =
1 1 
OP 1 PP
2
.
+

1 
OP 2
（O 为平面内任一点）.
3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题. ●点击双基 1.（2004 年东北三校联考题）若将函数 y=f（x）的图象按向量 a 平移，使图象上点的坐 标由（1，0）变为（2，2） ，则平移后的图象的解析式为 A.y=f（x+1）－2 B.y=f（x－1）－2 C.y=f（x－1）+2 D.y=f（x+1）+2 解析：由平移公式得 a=（1，2） ，则平移后的图象的解析式为 y=f（x－1）+2. 答案：C 2.（2004 年湖北八校第二次联考）将抛物线 y2=4x 沿向量 a 平移得到抛物线 y2－4y=4x， 则向量 a 为 A.（－1，2） B.（1，－2） C.（－4，2） D.（4，－2） 解析：设 a=（h，k） ，由平移公式得

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x  x  h  x  x   h，    y  y  k  y  y   k，
代入 y2=4x 得 （ y  －k）2=4（ x  －h） y  2－2k y  =4 x  －4h－k2， ， 即 y2－2ky=4x－4h－k2， ∴k=2，h=－1. ∴a=（－1，2）. 答案：A
思考讨论
本题不用平移公式代入配方可以吗? 提示：由 y2－4y=4x，配方得 （y－2）2=4（x+1） ， ∴h=－1，k=2.（知道为什么吗?） 3.设 A、B、C 三点共线，且它们的纵坐标分别为 2、5、10，则 A 点分 BC 所得的比为 A.
3 8
B.
3 8
8 3
C.－
D.－
8 3
解析：设 A 点分 BC 所得的比为λ ，则由 2= 答案：C
5  10   
，得λ =－ .
8
3
4.若点 P 分 AB 所成的比是λ （λ ≠0） ，则点 A 分 BP 所成的比是____________. 解析：∵ AP =λ ∴ AB =
1 
AP PB
，∴ AP =λ （－ AP + AB ）.∴（1+λ ） AP =λ
1 
AP
AB
.
 
.∴ BA =－

.
答案：－
1 
5.（理）若△ABC 的三边的中点坐标为（2，1）（－3，4）（－1，－1） 、 、 ，则△ABC 的 重心坐标为____________. 解析：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ，

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        则        
x1  x 2 2 y1  y 2 2 x1  x 3 2 y1  y 3 2 x2  x3 2 y2  y3 2
 2，  1，   3，  4，   1，  1.
∴
 x1  x 2  x 3   2  y1  y 2  y 3  4
∴重心坐标为（－ 答案： （－
2 3
2 3
，
4 3
）.
，
4 3
）
（文）已知点 M1（6，2）和 M2（1，7） ，直线 y=mx－7 与线段 M1M2 的交点 M 分有向 线段 M
1
M
2
的比为 3∶2，则 m 的值为____________.
6  3 2 3 2 2  7 3 2 1 3 2
解析：设 M（x，y） ，则 x=
1
=
15 5
=3，y=
=
4  21 5
=5，即 M（3，5） ，代入
y=mx－7 得 5=3m－7，∴m=4. 答案：4 ●典例剖析 【例 1】 已知点 A（－1，6）和 B（3，0） ，在直线 AB 上求一点 P，使| AP |= | AB |.
3 1
剖析：| AP |= | AB |，则 AP =
3
1
1 3
AB
或 AP =
1 3
BA
.设出 P（x，y） ，向量转化为坐标运算
即可. 解：设 P 的坐标为（x，y） ，若 AP =
4 1   x  1  ， x  ， 解得  3 3   y  6  2.  y  4.  
1 3
AB
，则由（x+1，y－6）= （4，－6） ，得
3
1
此时 P 点坐标为（ ，4）.
3
1
若 AP =－
1 3
AB
，则由（x+1，y－6）=－ （4，－6）得
3
1
4 7   x  1   ， x   ， 3 解得  3   y  6  2.  y  8.  