有理函数的积分

A (3
B A

1, 2B)

3,

A B

5 ,
6

x2
x3 5x
6
5 x2

x
6
. 3
例2
1 x( x1)2

A x
(x
B 1)2

C, x1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C
dx
, 令t ___,x ___,dx ____ .
例
x3 x2
x 1
1

x

1 x2
. 1
难点 将有理函数化为部分分式之和.
有理函数化为部分分式之和的一般规律：
（1）分母中若有因式 ( x a)k ，则分解后为
(x
A1 a)k

A2 ( x a)k1


Ak , xa
其中A1 , A2 , , Ak 都是常数. 特殊地：k 1, 分解后为 A ;
解

(1

1 2 x )(1

x2
)
dx

1
4
5 2x
dx


2x 5 1 x2
1 5dx

2 5
ln(1

2
x)

1 5

1
2
x x2
dx

1 5

1
1 x
2dx
2 ln(1 2x) 1 ln(1 x2 ) 1 arctan x C.
5
5
5
例6 求积分
x

1 1

u2 u2
,
dx

1
2 u2
du
R(sin x,cos x)dx
2u 1 u2 2
R
1

u2
,
1

u2

1

u2
du.
例7
求积分

1

sin sin x
x
cos
x
dx.
解
由万能置换公式
sin
x

1
2u u2
,
cos
x

1 1

u2 u2

1 sin4
x
dx


csc2
x(1

cot2 x)dx
csc2 xdx cot2 xcsc2 xdx d(cot x) cot x 1 cot3 x C.
3
结论 比较以上三种解法, 便知万能置换不一定 是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考 虑其它手段, 不得已才用万能置换.

1 4cos
x

1 ln tan 4
x 2

1 tan 4
x

C.
2、简单无理函数的积分
讨论类型 R( x, n ax b), R( x, n ax b ), cx e
解决方法 作代换去掉根号.
例10
求积分
1 x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
取 x 0, A 1 取 x 1, B 1
取 x 2, 并将 A, B 值代入(1) C 1

1 x( x 1)2

1 x

(x
1 1)2

1. x1
例3
(1
1 2x)(1
x2
)
1
A 2x

Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C)(1 2x),
x
x2 1
12 x
dx
1



x
A
12

B x
1

C x
1dx
,
其中A _____,B _____,C _______；
3、计算
2
dx sin
x
, 可用万能代换sin
x

___________,
dx _____________；
4、计算
)n
dt .
这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.
结论 有理函数的原函数都是初等函数.
二、可化为有理函数的积分
1.三角函数有理式的积分
三角有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sin x,cos x)
sin x

2sin
x cos x 22

2tan x 2

x
e6
)

3 ln(1

x
e3
)

x
3arctan(e 6
)

C.
2
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况：
(1) 多项式；
(2)
A (x a)n ;
Mx N (3) ( x2 px q)n ;
讨论积分
(
x
Mx 2 px
N q
)n
dx
,

x2

px

q
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 , , an 及 b0 , b1 , , bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 这有理函数是真分式；
(2) n m, 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和.
x

2
1


C.
例11 求积分
1 x1
3
dx. x1
解 令 t 6 x 1 6t 5dt dx,

1 x 1 3
x 1 dx t 3
1
t
2

6t
5dt

6
t 3 dt t 1

2t 3
3t 2
6t
6ln | t
1| C
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C)x C A,
A 2B 0,
B 2C 0, A C 1,

1
(1 2x)(1
A x2 )
1
4, B 5 4
5 2x

2,C 5
2x1 55 1 x2
1 5
.
,
2 dx 1 u2 du,

1

sin sin x
x
cos
x
dx


(1

2u u)(1

u2
du )
2u 1 u2 1 u2
(1 u)(1 u2 ) du


(1 (1
u)2 (1 u)(1
u
u2 2)
)du


1 u 1 u2
解（二）修改万能置换公式, 令 u tan x
u
sin x
,
1 u2
dx

1
1 u2
du,

wenku.baidu.com
1 sin4
x
dx





1
1 u u2
4

1
1 u2
du


1
u2 u4
du


1 3u3

1 u

C


1 3
cot 3
x

cot
x

C
.
解（三） 可以不用万能置换公式.
1
xx
x dx.
1e2 e3 e6
x
解 令 t e 6 x 6ln t,
dx 6 dt,
t

1
xx
x
dx


1

t
3
1
t
2

t

6 t
dt
1e2 e3 e6
6
t(1

t
1 )(1

t2
dt )



6 t

1
3
t

3t 1 t
3
2

dt

第四节 有理函数的积分
一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分 三、小结 思考题
一、有理函数的积分
有理函数的定义：
两个多项式的商表示的函数称之.
P(x) Q( x)

a0 x n a1 x n1 b0 x m b1 x m1

an1 x an bm1 x bm
x

1
2u u2
,
dx

1
2 u2
du,

1 sin4
x
dx


1

3u2 3u4 8u4

u6du

1[ 8
1 3u3

3 u

3u

u3 3
]
C


24
1 tan
x 2
3

3 8 tan
x 2

3 tan 8
x 2

1 24

tan
x 2
3

C.


x

p2
2


q

p2 , 4
令 x pt
2
记 x2 px q t 2 a2 , Mx N Mt b,
则 a2 q p2 , b N Mp ,
4
2


(
x
Mx 2 px
N q)n
dx

(t2
Mt a2 )n
dt

(t2
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例12 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
原式 (
x( 3x 1 2x 1) 3x 1 2x 1)( 3x 1
例9
求积分

1 sin x sin 3x sin
x
dx.
解 sin A sin B 2sin A B cos A B
2
2

1 sin x sin 3x sin
x
dx


1 sin x 2sin 2x cos
x
dx


1 sin x 4sin x cos2
x
dx
简单无理式的积分.
思考题
将分式分解成部分分式之和时应注意什么？
思考题解答
分解后的部分分式必须是最简分式.
练习题
一、填空题：
1、
3 dx
x3 1


A x1

Bx C x2 x
dx ，其A 1

____,
B ________ ,C __________；
2、
du


1
1
du u
arctanu 1 ln(1 u2 ) ln | 1 u | C
2
u tan x 2
x 2
ln | sec x | ln | 1 tan x | C.
2
2
例8
求积分

1 sin 4
x
dx.
解（一） u tan x , 2
sin
xa
（2）分母中若有因式 ( x2 px q)k ，其中 p2 4q 0 则分解后为
M1x N1 ( x2 px q)k

(
x
M2 2
x N2 px q)k
1


Mk x Nk x2 px q
其中Mi , N i 都是常数(i 1,2, , k).
dx 2x 1)
( 3x 1 2x 1)dx

1 3

3
x

1d
(3x

1)

1 2

2x 1d(2x 1)

2(3x

3
1)2

1
(2x

3
1)2

C
.
9
3
三、小结
有理式分解成部分分式之和的积分. （注意：必须化成真分式）
三角有理式的积分.（万能置换公式） （注意：万能公式并不万能）
特殊地：k
1,
分解后为
x
Mx 2
N px
q
;
真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
x
2
x
3 5x
6

(
x

x 2)(
3 x

3)
A x2
B, x3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),
x
x
1
x

t
2

, 1
dx
2tdt t2 1 2 ,

1 x
1
x
xdx



t
2

1t
t
2
2t
12
dt

2
t 2dt t2 1

2

1

t
2
1
1

dt

2t

ln
t t

1 1

C
2
1
x
x

ln

x
1
x
例4
求积分
1 x( x 1)2dx.
解

1 x(x
1)2dx

1 x

(x
1 1)2

1 x
1
dx
1
1
1


dx x


(
x

1)2
dx


x

dx 1
ln x 1 ln( x 1) C. x1
1
例5 求积分 (1 2x)(1 x2 ) dx.
b a2 )n
dt
(1)
n 1,

Mx N x2 px
q
dx
M ln( x2 px q) b arctan
x
p 2
C;
2
a
a
(2) n 1,

(
x
Mx 2 px
N q)n
dx


2(n
M 1)(t 2

a 2 )n1

b
(t
2
1 a2

1 4

sin
x
1 cos2
x
dx
1 4

1 cos2
x
dx

1 4

sin2 x cos2 sin x cos2 x
x
dx

1 4

1 cos2
x
dx

1 4

sin x cos2 x
dx

1 4

1 sin
x
dx

1 4

1 cos2
x
dx
11
11
11
4 cos2 x d(cos x) 4 sin x dx 4 cos2 x dx
sec2 x
x
2 tan

1

tan
2
2
x
,
2
2
cos x cos2 x sin2 x ,
2
2
1 tan2 x 1 tan2 x
cos x
sec2
x
2

1

tan2
2 x
,
2
2
令u tan x x 2arctan u（万能置换公式） 2
sin
x

1
2u u2
,
cos


6 t

1
3
t

3t 1 t
3
2

dt
6ln t 3ln(1 t) 3
2
d
(1 t 2 1 t2
)

3
1
1
t
2
dt
6ln t 3ln(1 t) 3 ln(1 t 2 ) 3arctan t C 2

x

3 ln(1