【弹塑性力学】5 屈服准则

• 双参数抛物型Mohr屈服准则：
a( 1 3 )2 1 3 1 Rt 4 2 4a t Rt 1 ( 3 Rt ) a 1 ( 3 Rt ) a
• 其中
Rt
为单轴抗拉强度，a为系数
2
1 m 1 1 a R m t
p 3 st / R
13 =k=2s

p = 2st/R
（2）管段的两端是封闭的：
应力状态为，z= pR/2t， = pR/t，r=0， zr=r=z=0
1 J2 = [(zr)2+(r)2+(z)2Hale Waihona Puke Baidu6 13 2 2 2 +6( zr r z )]= (pR/t)2 62
1 3 1 f t f C
•
2c cos f t 1 sin
单轴拉伸屈服应力 单轴压缩屈服应力
•
f c
2c cos 1 sin
• Mohr-Coulomb条件过高地估计了脆性材料的 抗拉强度，可与最大拉应力条件联合运用。
Drucker-Prager条件：
f I1 J 2 k 0
偏平面上DP条件的屈服曲线
Drucker-Prager

Mohr-Coulomb
• DP准则可以通过调整圆锥的大小来适应 Mohr-Coulomb准则。 • （1）圆外接于六边形 2 sin 6c cos ,k 3 3 sin 3 3 sin • （2）圆内接于六边形
• 在初始屈服之前应力和应变之间是一一对应 关系，这样，屈服条件只是应力分量或应变 分量的函数。 f ( ij ) 0 • 若材料是各向同性的，则屈服条件应该与方 向无关，这时宜采用 与坐标无关的主应力或 应力不变量表示。
• 屈服条件通常写为：
f ( 1 , 2 , 3 ) 0 f (I , I , I ) 0 1 2 3 f ( I1 , J 2 , J 3 ) 0 f ( p, q, ) 0 f ( 0 , J 2 , ) 0
还可表达为
f ( I1, J 2 , ) 2 3J 2 cos I1 3 ft 0
Mohr-Coulomb条件：
1 1 f ( 1 3 ) ( 1 3 ) sin c cos 0 2 2
考察一任意剪切面，该面上的剪应力为n，正应
广义双剪应力屈服准则（俞茂鋐，1982）
f ( 13 , 12 ) 13 12 ( 13 12 kb ) 1 1 ( ) [ 1 2 3 1 2 2 ( 2 3 )] k b 0 1 当广义压缩时，即 2 1 ( ) 1 3 2 2 ( 1 3 )时 f ( 13 , 23 ) 13 23 ( 13 23 kb ) 1 1 2 ( 1 2 ) 3 [ 2 ( 1 2 ) 3 ] k b 0 1 当广义拉伸时,即 2 1 2 ( 1 3 ) 2 ( 1 3 )时
服条件重合）
解： 将Mises和Tresca中的材料常数都使用纯剪
时的屈服极限表示，
并使得两种屈服条件重合，则有
Mises屈服条件: J2 = s2
Tresca屈服条件:
13=2s
（1） 管的两端是自由的； 应力状态为， z = 0 ， = pR/t ， r=0 ， zr=r=z=0
2



C


2
1 1 n= 2 (1 +3)+ (1 3)sin 2 1 n= (1 3)cos 2
屈服条件为：
1 1 (1 3) + (1 + 3)sin Ccos = 0 2 2
• 作单向拉伸和压缩实验，屈服条件可简化
当123时，Mohr-Coulomb屈服条件可写成
1 2 2 2 J2 = [(zr)2+(r)2+(z)2+6( zr r z)] 6 1 1 2 = [2(pR/t) ]= 3 (pR/t)2 6
13 = = pR/t
对于Mises屈服条件: J2 = s2
对于Tresca屈服条件:
Mises 条件：
J2 k
J2 的物理意义
•
J2与弹性状态的形状改变能成正比
1 2
sijeij=
1 4G
sijsij=
1 2G
J2
•
J2也与八面体上的剪应力成比例
材料常数k由简单实验确定 （1）单轴拉伸：屈服时 1 =s，2 =3 =0，代 入屈服条件
J2

2 s
3
k ,
2
k
力为n，
推动剪切滑移的有效剪切力是n 阻止剪切滑动力：内摩擦力(n) tg，粘结力C
Mohr条件
n = (n) tg ＋C
随静水压力增长，减小，在 应力平面上 不是直线，而是曲线，


Coulumb条件： 对于土和受静水压力不太大的岩石，可假定 角为常数，为直线
( n n
在应力空间中，屈服条件可以表示为屈 服曲面。屈服面在平面上的迹线一般称为 平面上的的屈服曲线，屈服面与子午平面的 交线称为子午平面上的的屈服曲线。
平面上屈服曲线的一般性质 1）屈服曲线是一条封闭的曲线； 2）屈服曲线是外凸的； 3）屈服曲线所围成的区域是单连通的； 4）对于各向同性材料，屈服曲线对于平面内 ' ' ' , , 的三个坐标轴 1 2 3 是对称的。在平面 内的6个60度扇形区屈服曲线具有相同的形状。
m Rc / Rt
Rc 为单轴抗压强度
双剪应力屈服准则（俞茂鋐，1961）
f ( 13 , 12 ) 13 12 1 1 2 ( 2 3 ) kb 0 1 当 或 12 23 2 2 ( 1 3 )时 1 f ( , ) 13 23 13 23 2 ( 1 2 ) 3 kb 0 1 当 或 12 23 2 2 ( 1 3 )时
两种著名的帽子模型
Druker提出的帽子模型
剑桥模型（Cam-Clay模型）
例：例5-2：一薄壁圆管，平均半径为R，壁厚
为t，受内压p作用，讨论下列两种情况：
（1） 管的两端是自由的；
（2） 管的两端是封闭的；
分别使用Mises和Tresca屈服条件，讨论
p 多大时管子开始屈服（规定纯剪时两种屈
5.2.2 与静水压力无关的材料
• 材料的屈服对静水压力不敏感，剪切应
力控制着这些材料的屈服。
• 金属等晶体结构材料
Tresca 条件： max
1 3
2
k
• 材料常数k值可由简单实验确定
（1）单轴拉伸：屈服时1 =s，2 =3 =0， 代入屈服条件
k= s/2
（2）简单剪切：屈服时 =s 1= s， 2=0，3= s, 代入屈服条件 k= s
2 sin 6c cos ,k 3 3 sin 3 3 sin

Drucker-Prager
n a t Cc
Mohr-Coulomb


2 2 F m m 0 Zienkiewicz-Pande条件： J 2 / g ( )
13 = = pR/t
对于Mises屈服条件：
p = 2st/R
对于Tresca屈服条件： p = 2st/R
对管的两端为固定的情况，屈服压力又如何？
1
f' c
• 产生应变软化现象
应变软化段
•
产生塑性体积膨胀变形
0
v
• 与静水压力有关
3
3
1
2
围 压 增 加
3
•
具有弹塑性耦合
弹性模量降低
Rankine条件
1876年Rankine（朗金）提出最大拉应力 准则，用于确定脆性材料的拉伸破坏。
max( 1, 2 , 3 ) ft
内接 Tresca六边形
5.2.3 与静水压力有关的材料
• 岩石、混凝土、土等摩阻材料
• 在受拉状态下一般表现为脆性而几乎不产生 塑性变形。 • 只有在受压状态，由于微裂纹的扩展或闭合， 裂纹表面的相对滑动，才可能产生类似于金 属的塑性变形。
•
拉伸和压缩的力学性能差别很大
2
f' t f' c f' t
s
3
（2）剪切：屈服时 =s 1= s，2=0，3= s,，屈服条件
J2 k ,
2 s 2
k s
两种屈服条件比较
e '
如假定单轴拉伸时 两个屈服面重合，则 Tresca六边形内接于 Mises圆；
•
• 如假定简单剪切 外切Tresca 六边形 时两个屈服面重合， 则Tresca六边形外切 于Mises圆 e '
5.2 屈服准则
• 5.2.1 引言 • 5.2.2 与静水压力无关的材料 • 5.2.3 与静水压力有关的材料
5.2.1 引言
基本概念 • 物体在外载荷作用下，随着载荷增大，逐步 从弹性状态过渡到塑性状态，这种过渡称为 屈服。 • 物体内质点开始产生塑性变形时，应力或应 变所必须满足的条件，叫屈服条件。一般情 况下，它是应力、应变、时间、温度等的函 数，但在不考虑时间效应和接近常温的情况 下，屈服条件中不包含时间和温度。