概率论与数理统计第一章习题集解答

《概率论与数量统计》第一章习题解答

1、写出下列随机试验的样本空间：

（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的产品记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果。

（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。

解：

（1）设该班有n人，则该班总成绩的可能值是0，1，2，……，100n。故随机试验的样本空间S=｛i/n|i=0,1,2,……,100n｝。

（2）随机试验的样本空间S=｛10,11,12,……｝。

（3）以0表示检查到一个次品，1表示检查到一个正品，则随机试验的样本空间S=｛00，0100，0101，0110，0111，100，1010，1011，1100，1101，1110，1111｝。

（4）随机试验的样本空间S=｛（x,y）|x2+y2<1｝。

2、设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B 与C都不发生。

（2）A与B都发生，而C不发生。

（3）A，B，C中至少有一个发生。

（4）A，B，C都发生。

（5）A，B，C都不发生。

（6）A，B，C中不多于一个发生。

（7）A，B，C中不多于两个发生。

（8）A，B，C中至少有两个发生。

解：

（1）A B C（2）AB C（3）A∪B∪C （4）ABC

（5）A B C（6）A B C∪A B C∪A B C∪A B C

（7）S-ABC （8）ABC∪AB C∪A B C∪A BC

3、（1）设A，B，C为三个事件，且P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/8，求A，B，C至少有一个发生的概率。

（2）已知P（A）=1/2，P（B）=1/3，P（C）=1/5，P（AB）=1/10，P（AC）=1/15，P（BC）=1/20，P（ABC）=1/30，求A∪B，A B，A∪B∪C，A B C，A B C，A B∪C的概率。

（3）已知P（A）=1/2，（i）若A，B互不相容，求P（A B），（ii）若P（AB）=1/8，求P（A B）。

解：

（1）因为P（AB）=0，所以P（ABC）=0。故P（A∪B∪C）=P（A）+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3/4-1/8=5/8。

（2）P（A∪B）=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+1/3-1/10=11/15, P（A B）=1-P（A∪B）= 4/15,

P（A∪B∪C）=P（A）+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=1/2+1/3+1/5-1/10-1/1 5-1/20+1/30=51/60，

P(A B C)=1- P（A∪B∪C）=3/20,

P(A B C)=P（A B）- P(A B C)=7/60，

P(A B∪C)=P（A B）+ P(C)- P(A B C)=4/15+1/5-7/60=7/20。（3）（i）因为A，B互不相容，所以AB=Φ，P（AB）=0。故P（A B）=P（A）-P（AB）=1/2。（ii）P（A B）= P（A）-P（AB）=1/2-1/8=3/8。

4、设A，B为两个事件。

（1）已知A B=A B，验证A=B。

（2）验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P（A）+P（B）-2P （AB）。

证明：

（1）A=A（B∪B）=AB∪A B=AB∪A B=（A∪A）B=B。

（2）因为A B A B =Φ，所以P（A B∪A B）= P（A B）+ P（A B）- P （A B A B）= P（A B）+ P（A B）=P（A）-P（AB）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-2P（AB）。

5、10 片药片中有5 片是安慰剂。

（1）从中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率。（2）从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率。解：

（1）p=1-5

C/510C-15C45C/510C。

5

（2）p=3

A/310A。

5

6、在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码。

（1）求最小号码为5的概率。

（2）求最大号码为5的概率。

解：

（1）从10人中任选3人的选法有3

C种。要求最小号码为5，即有一

10

个人的号码是5，其他两人的号码都在6到10之间。故共有2

C种不同

5

的选法。故最小号码为5的概率p=2

C/310C。

5

（2）同理最大号码为5的概率p=2

C/310C。

4

7、某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客。问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？ 解：

p=410C 3

4C 23C /917C 。

8、在1500件产品中有400 件次品、1100件正品。任取200件。（1）求恰有90件次品的概率。 （2）求至少有2件次品的概率。 解：

（1）恰有90件次品的概率p=90400C 1101100C /200

1500C 。

（2）至少有2件次品的概率p=1- 2001100C /2001500C -1400C 1991100C /200

1500C 。

9、从5双不同的鞋子中任取4只。问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：

设A 为事件“这4只鞋子中没有配成一双”，则事件“这4只鞋

子中至少有两只配成一双”是A 。从10只鞋子中任取4只有4

10A 种取法，

事件A 的取法可以有10（第一只的取法）×8（第二只的取法，和第一只一双的那一只也不能取了）×6（第三只的取法）×4（第一只的取法）。