电磁场与电磁波第二章课后答案

第二章静电场

重点和难点

电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。

利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。

至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。

关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电

位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容和部分电容一节可以从简。

重要公式

真空中静电场方程：

积分形式： ⎰=

⋅S S E 0

d εq

⎰=⋅l

l E 0d

微分形式： 0

ερ=

⋅∇E

0=⨯∇E

已知电荷分布求解电场强度：

1，)()(r r E ϕ-∇=； ⎰

'

'-'=

V V

d )

(41)(|

r r |r r ρπεϕ

2，⎰'

''-'-'=V V 3

0d |4)

)(()(|

r r r r r r E περ 3，⎰=

⋅S S E 0

d εq

高斯定律

介质中静电场方程：

积分形式： q S =⋅⎰ d S D ⎰=⋅l

l E 0d

微分形式： ρ=⋅∇D

0=⨯∇E

线性均匀各向同性介质中静电场方程： 积分形式： ε

q

S =⋅⎰ d S E

⎰=⋅l

l E 0d

微分形式： ε

ρ=⋅∇E

0=⨯∇E

静电场边界条件：

1，t t E E 21=。对于两种各向同性的线性介质，则

2

21

1εεt

t

D D =

2，s n n D D ρ=-12。在两种介质形成的边界上，则

n n D D 21=

对于两种各向同性的线性介质，则

n n E E 2211εε=

3，介质与导体的边界条件：

0=⨯E e n ； S n D e ρ=⋅

若导体周围是各向同性的线性介质，则

ε

ρS

n E =

； ε

ρϕ

S n -=∂∂

静电场的能量：

孤立带电体的能量：Q C Q W e 2

1

212Φ==

离散带电体的能量：∑==n

i i i e Q W 1

2

1Φ

分

布电荷的能量：

l S V W l l S S V

e d 21

d 21d 2

1ρϕρϕρϕ⎰⎰⎰

===

静电场的能量密度：E D ⋅=2

1

e

w 对于各向同性的线性介质，则 2 2

1

E w e ε=

电场力：

库仑定律：r

r

q q e F 2 4πε'

=

常电荷系统：常数

=-

=q e l

W F d d

常电位系统：常数

==

ϕl

W F e d d

题 解

2-1 若真空中相距为d 的两个电荷q 1及q 2的电量分别为q 及4q ，当点电荷q '位于q 1及q 2的连线上时，系统处于平衡状态，试求q '的大小及位置。

解 要使系统处于平衡状态，点电荷q '受到点电荷

q 1及q 2的力应该大小相等，方向相反，即q q q q F F ''

=21。

那么，由

122

2

022

1

01244r r r q q r q q =⇒'=

'πεπε，同时考虑到

d r r =+21，求得

d r d r 3

2

,3121==

可见点电荷q '可以任意，但应位于点电荷q 1和q 2的连线上，且与点电荷1q 相距d 3

1

。

2-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为：

)

0,1,0( ,4 )1,0,1( ,1 )1,0,0( ,1332211P C q P C q P C q === 试求位于)0,1,0(-P 点的电场强度。

解 令321,,r r r 分别为三个电电荷的位置321,,P P P 到P 点的距离，则21=r ，32=r ，23=r 。

利用点电荷的场强公式r e E 2

04r q πε=

，其中r e 为

点电荷q 指向场点P 的单位矢量。那么，

1q 在P 点的场强大小为0

2

1

011814πεπε=

=

r q E ，方向

为()z y

r e e

e +-

=2

11

。

2q 在P 点的场强大小为0

2

2

022121

4πεπε=

=

r q E ，方向为()z y x

r e e e

e ++-

=3

12。

3q 在P 点的场强大小为0

2

3

033414πεπε=

=

r q E ，方向

为y r e e -=3

则P 点的合成电场强度为

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-

=++=z e e e E E E E y x 312128141312128131211 0321πε

2-3 直接利用式（2-2-14）计算电偶极子的电场强度。

解 令点电荷q -位于坐标原点，r 为点电荷q -至场点P 的距离。再令点电荷q +位于+z 坐标轴上，1r 为点电荷q +至场点P 的距离。两个点电荷相距为l ，场点P 的坐标为（r,θ,

）。

根据叠加原理，电偶极子在场点P 产生的电场