结构力学 结构的动力计算
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结构力学-第十四章 结构动力学1
动的合成，为了便于研究合成运动,
令 (e)式改写成
y Asin,
v Acos
y(t) Asin( t )......... .......... ...( f )
它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定
振幅
A
y2
v
2
.............................(g
由初始条件确定C1和C2；
设
y(0)
y(0)
y v
得 C1 y
C2
v
y r
y(t)
e t
( y
cos r t
v
r
y
sin rt)
21
y(t)
e t
(
y
cos r t
v
r
y
sin
rt
)
y(t) et Asin( rt )
2
其中
A
y2
v
y r
tg1 r y
v y
y
讨论（：a）衰减周期运动
m获得初位移y
m获得初速度 y
研究单自由度体系的自由振动重要性在于： 1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。 2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。 自由振动反映了体系的固有动力特性。
要解决的问题包括：
建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼………. 9
一、运动微分方程的建立
（1）低阻尼情形 ( <1 )
1,2 i 1 2 , 令 r 1 2
y(t)
B e( ir )t 1
B e( ir )t 2
eix cos x i sin x
et (B1eirt B2eirt ) eix cos x i sin x
结构力学专题七(单自由度体系的动力计算)
设： 2
k11 m
1
m11
运动方程： y(t) 2 y(t) 0
1、运动方程的解
y(t) c1sin t c2 cos t
(a)
或 y(t) csin( t )(ຫໍສະໝຸດ )当 y0、y0 为已知时
y(t)
y 0
sin
t
y
0
cos
t
(c)
方程（a）、（b）、（c）称为位移方程。
2、位移方程的几何意义
A1 5cm2
W 0.1kN
3m
（1）求竖向振动时的频率和周期，
(2)设： y0 10cm(向下），y0 0;
求： t
4
90
时质体的绝对位移。
A2 10cm2
4m
补2（选作）：求图示体系的自振频率：
m
EI
m
k
l
l
l EI
FP (t)
EI
l/2 l/2
三、举例与讨论
例1： 建立图示体系运动微分方程 FP (t)
m EI
l/2 l/2
方程：
L3 48EI
(my(t)
cy(t))
y(t)
L3 48EI
FP (t)
my(t) cy(t)
48EI L3
y(t)
FP (t)
例2： 建立图示体系运动微分方程
FP (t)
EI0
m
h EI
EI
方程：
my(t) cy(t)
m
EI FP (t)
l/2 l/2
例3： 求图示体系的自振频率。
FP (t)
EI0
m
h EI
EI
结构动力计算(1) 结构力学 学习资料
y ( t ) y0 coswt
w
t
v0
w
sin wt
v0/ω
t
y ( t ) a sin(wt a )
－v0/ω
a
T
t
α/ω
－a
y ( t ) a sin(wt a ) a sina coswt a cosa sinwt v0 y ( t ) y0 coswt sin wt
EI
EI
h
l
k 15EI m mh3
3EI/h2
6EI/h2
k
w
3EI/h3
12EI/h3
例3 l/3
4l 27
m 2l/3 1
l 9
2l 27
3 1 l3 l 4 l ll 5 l ( 2 ) 11 EI 6 3 27 3 9 4374 EI
l 3
1
1 4374 EI w m 11 5 m3 l
m>>m梁
m +αm梁 I
厂房排架水平振动 时的计算简图
m+αm柱 I
2I
单自由度体系
(single degree-of-freedom system)
三个自由度体系
v( t ) θ( t )
三个自由度 水平振动时的计算体系
u(t)
三个自由度
多自由度体系
构架式基础顶板简化成刚性块
复杂体系可通过加支 杆限制质量运动的办 法确定体系的自由度
二、自由振动微分方程的解 .. .. w 2 my ky 0 (a) y y 0
(w
T
y ( t ) C1 sinwt C 2 coswt y y(t) 0 v0 . y (0) v0 C1
w
t
v0
w
sin wt
v0/ω
t
y ( t ) a sin(wt a )
－v0/ω
a
T
t
α/ω
－a
y ( t ) a sin(wt a ) a sina coswt a cosa sinwt v0 y ( t ) y0 coswt sin wt
EI
EI
h
l
k 15EI m mh3
3EI/h2
6EI/h2
k
w
3EI/h3
12EI/h3
例3 l/3
4l 27
m 2l/3 1
l 9
2l 27
3 1 l3 l 4 l ll 5 l ( 2 ) 11 EI 6 3 27 3 9 4374 EI
l 3
1
1 4374 EI w m 11 5 m3 l
m>>m梁
m +αm梁 I
厂房排架水平振动 时的计算简图
m+αm柱 I
2I
单自由度体系
(single degree-of-freedom system)
三个自由度体系
v( t ) θ( t )
三个自由度 水平振动时的计算体系
u(t)
三个自由度
多自由度体系
构架式基础顶板简化成刚性块
复杂体系可通过加支 杆限制质量运动的办 法确定体系的自由度
二、自由振动微分方程的解 .. .. w 2 my ky 0 (a) y y 0
(w
T
y ( t ) C1 sinwt C 2 coswt y y(t) 0 v0 . y (0) v0 C1
结构力学动力计算单自由度自由振动课件
768 EI
m
A
C
B
l2
l2
已知EI=常数、y0、v0
求结构的自振频率、质点动位移、结构动 弯矩图、及动弯矩幅值图
l3
192 EI
72EI 24EI
3mH3 mH3
A
EI
l
l3
8 EI
mP
B EI C
l2
8 EI
ml 3
EI l
m
l/2
l/2
48 EI
5ml 3
有弹簧支座时
FP(t)
t 简谐荷载
FP(t)
一般周期荷载 t
2、冲击荷载 （1）爆炸冲击荷载。 （2）突加荷载 （3）撞击荷载
以上为数定荷载，确定性荷载。
非周期性的爆炸荷载
3、随机荷载（非数定荷载）：
（1）地震荷载 （2）风荷载 （3）波浪对坝体的拍击，等
本课程在此只讨论数定荷载作用。
六、动力计算自由度
1 •• y y 0
m
设 2 1 m
••
y2y 0
ω为自振圆频率，简称自振频率
（2）动平衡方程（刚度法）
y
k
m
y
弹性力＝ - k y
惯性力＝- m ÿ
mÿ+ky=0
设2 k
m
••
y2y 0
1 k m m
自振频率
2、自由振动微分方程的解
yty0costv0si nt
ytA si n t
••
•
y p y qy 0
§10-2 单自由度体系的自由振动
一、基本概念：
1.弹簧的刚度系数k : 弹簧伸长单位长度所需要的力（N/m）
2.弹簧的柔度系数δ: 弹簧在单位力作用下的伸长长度（m/N）
m
A
C
B
l2
l2
已知EI=常数、y0、v0
求结构的自振频率、质点动位移、结构动 弯矩图、及动弯矩幅值图
l3
192 EI
72EI 24EI
3mH3 mH3
A
EI
l
l3
8 EI
mP
B EI C
l2
8 EI
ml 3
EI l
m
l/2
l/2
48 EI
5ml 3
有弹簧支座时
FP(t)
t 简谐荷载
FP(t)
一般周期荷载 t
2、冲击荷载 （1）爆炸冲击荷载。 （2）突加荷载 （3）撞击荷载
以上为数定荷载，确定性荷载。
非周期性的爆炸荷载
3、随机荷载（非数定荷载）：
（1）地震荷载 （2）风荷载 （3）波浪对坝体的拍击，等
本课程在此只讨论数定荷载作用。
六、动力计算自由度
1 •• y y 0
m
设 2 1 m
••
y2y 0
ω为自振圆频率，简称自振频率
（2）动平衡方程（刚度法）
y
k
m
y
弹性力＝ - k y
惯性力＝- m ÿ
mÿ+ky=0
设2 k
m
••
y2y 0
1 k m m
自振频率
2、自由振动微分方程的解
yty0costv0si nt
ytA si n t
••
•
y p y qy 0
§10-2 单自由度体系的自由振动
一、基本概念：
1.弹簧的刚度系数k : 弹簧伸长单位长度所需要的力（N/m）
2.弹簧的柔度系数δ: 弹簧在单位力作用下的伸长长度（m/N）
结构力学结构的动力计算
下册P73
§14-1 概述
一、构造动力计算旳特点
1、内容： （1）研究动力荷载作用下，构造旳内力、位移等计算原理 和计算措施。求出它们旳最大值并作为构造设计旳根据。 （2）研究单自由度及多自由度旳自由振动、逼迫振动。 2、静荷载和动荷载 （1）静荷载：荷载旳大小和方向不随时间变化（如梁板 自重）。 （2）动荷载：荷载旳大小和方向随时间变化，需要考虑 惯性力（与影响线不同）。
2、自由度：构造运动时，拟定全部质点位置 所需要旳独立几何参变量旳数目（与几何构成自由 度不同）。
3、有关自由度旳几点阐明：
（1）基本未知量数目与自由度数目是一致旳。前者强调独 立位移数目，后者强调独立坐标数目。
（2）与几何构成份析中旳自由度不同。
（3）一般采用“集中质量法”，将连续分布旳质量集中为 几种质点研究。
y
y 0 ω
sinωt
y0cosωt
进一步可拟定式
y c sin(t ) 中旳c和
c
c12 c22
y02
(
y0
)2
tg
1(
c2 c1
)
tg 1 (
y0
y0
)
c
c2
c1
频率定义：
2 2f
T
频率：
k11 1 g gk11
m
m 11
w 11
w
周期： T 2
m 2 k11
■ 动力计算与静力计算旳区别:
•达朗伯原理:动力计算可化为静力平衡问题来处理。 •这是一种形式上旳平衡，是一种动平衡，是在引进 惯性力旳条件下旳平衡。 • 注意两个特点：
（1）力系中涉及惯性力； （2）瞬间旳平衡，荷载、位移、内力等都是时间旳 函数。
§14-1 概述
一、构造动力计算旳特点
1、内容： （1）研究动力荷载作用下，构造旳内力、位移等计算原理 和计算措施。求出它们旳最大值并作为构造设计旳根据。 （2）研究单自由度及多自由度旳自由振动、逼迫振动。 2、静荷载和动荷载 （1）静荷载：荷载旳大小和方向不随时间变化（如梁板 自重）。 （2）动荷载：荷载旳大小和方向随时间变化，需要考虑 惯性力（与影响线不同）。
2、自由度：构造运动时，拟定全部质点位置 所需要旳独立几何参变量旳数目（与几何构成自由 度不同）。
3、有关自由度旳几点阐明：
（1）基本未知量数目与自由度数目是一致旳。前者强调独 立位移数目，后者强调独立坐标数目。
（2）与几何构成份析中旳自由度不同。
（3）一般采用“集中质量法”，将连续分布旳质量集中为 几种质点研究。
y
y 0 ω
sinωt
y0cosωt
进一步可拟定式
y c sin(t ) 中旳c和
c
c12 c22
y02
(
y0
)2
tg
1(
c2 c1
)
tg 1 (
y0
y0
)
c
c2
c1
频率定义：
2 2f
T
频率：
k11 1 g gk11
m
m 11
w 11
w
周期： T 2
m 2 k11
■ 动力计算与静力计算旳区别:
•达朗伯原理:动力计算可化为静力平衡问题来处理。 •这是一种形式上旳平衡，是一种动平衡，是在引进 惯性力旳条件下旳平衡。 • 注意两个特点：
（1）力系中涉及惯性力； （2）瞬间旳平衡，荷载、位移、内力等都是时间旳 函数。
结构力学——结构的动力计算
11
11[ P(t ) m(t )] y
P (t )
y(t ) 11[ P(t ) m(t )] y
l
l3 柔度系数 m(t ) 11 y 3EI 3EI (t ) 3 y (t ) P(t ) my l
二、刚度法
P (t )
l
EI
m m(t ) y y (t )
简谐荷载 周期 非简谐荷载 确定 冲击荷载 非周期 突加荷载 动荷载 其他确定规律的动荷载 风荷载 地震荷载 不确定 其他无法确定变化规律的荷载
§1.2
结构动力学的研究内容和任务
结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。 一.结构动力学的研究内容 当前结构动力学的研究内容为: 第一类问题：结构动力荷载的确定
结构力学
傅向荣
第十章 结构的动力 计算
§1. 绪论
§1.1 动荷载及其分类
一.动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构上的惯性力 与外荷比不可忽视的荷载。
自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作 静荷载。 静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。
二.动荷载的分类
P (t )
EI
m
EI1
EI
l
1
24 EI k 3 l
11
1
k
EI1
1 11 k
12 EI / l 3 12 EI / l 3
l l
EI EI
k2
EI1
EI EI
k1 ?
k1
k2 ?
24 EI k1 k 2 3 l
层间侧移刚度 对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架), 当两层之间发生相对单位水平位移时,两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度. l l
结构力学第10章 结构的动力计算
F k
1
2 1 2
yst sin t
A yst
F F yst F 2 m k
动荷载幅值当作静载 作用时质体的位移
1
2 1 2
A yst
动力系数
§10-3
单自由度体系的强迫振动
动力系数的讨论
0， 1
荷载变化比较慢，可按静载处理。
解
对于竖向振动，柔度系数为
l3 48 EI
ml 3 T 2 m 2 48 EI
1 48 EI ml 3 m
§10-2
单自由度体系的自由振动
例题10-2 求图示悬臂杆的水平和竖向振动时的自振周期
解 （1）水平振动
当杆顶作用水平力W时，杆 顶的水平位移为
Wl 3 st 3EI
杜哈梅积分(Duhamel)
1 t y (t ) 0 FP sin t d m
零初始条件下，单自由度体系在任意荷载下的动位移公式
若 则
y0 0
v0 0 v0
1 y y0 cos t sin t m
t
0
FP ( ) sin t d
y t C1 sin t C2 cos t
F y t y t y * t C1 sin t C2 cos t sin t 2 2 m
§10-3
单自由度体系的强迫振动
代入初始条件
y 0 0 C2 0; F y 0 0 C1 m 2 2
（2）竖向振动
Wl 3 T 2 3EIg
当杆顶作用竖向力W时，杆顶的 竖向位移为
《结构力学习题集》(下)-结构的动力计算习题及答案
第九章 结构的动力计算一、判断题：1、结构计算中，大小、方向随时间变化的荷载必须按动荷载考虑。
2、仅在恢复力作用下的振动称为自由振动。
3、单自由度体系其它参数不变，只有刚度EI 增大到原来的2倍，则周期比原来的周期减小1/2。
4、结构在动力荷载作用下，其动内力与动位移仅与动力荷载的变化规律有关。
5、图示刚架不计分布质量和直杆轴向变形，图a 刚架的振动自由度为2，图b 刚架的振动自由度也为2。
6、图示组合结构，不计杆件的质量，其动力自由度为5个。
7、忽略直杆的轴向变形，图示结构的动力自由度为4个。
8、由于阻尼的存在，任何振动都不会长期继续下去。
9、设ωω,D 分别为同一体系在不考虑阻尼和考虑阻尼时的自振频率，ω与ωD 的关系为ωω=D 。
二、计算题：10、图示梁自重不计，求自振频率ω。
l l /411、图示梁自重不计，杆件无弯曲变形，弹性支座刚度为k ，求自振频率ω。
l /2l /212、求图示体系的自振频率ω。
l l0.5l 0.513、求图示体系的自振频率ω。
EI = 常数。
ll 0.514、求图示结构的自振频率ω。
l l15、求图示体系的自振频率ω。
EI =常数，杆长均为l 。
16、求图示体系的自振频率ω。
杆长均为l 。
17、求图示结构的自振频率和振型。
l /2l /2l /18、图示梁自重不计，W EI ==⨯⋅2002104kN kN m 2,，求自振圆频率ω。
B2m2m19、图示排架重量W 集中于横梁上，横梁EA =∞，求自振周期ω。
EIEIW20、图示刚架横梁∞=EI 且重量W 集中于横梁上。
求自振周期T 。
EIEIWEI 221、求图示体系的自振频率ω。
各杆EI = 常数。
a aa22、图示两种支承情况的梁，不计梁的自重。
求图a 与图b 的自振频率之比。
l /2l/2(a)l /2l /2(b)23、图示桁架在结点C 中有集中重量W ，各杆EA 相同，杆重不计。
求水平自振周期T 。
结构力学专题十三(多自由度体系的动力计算)
FP1
m1
l
EI
l
FP 2
m2
l
二、任意荷载作用*
运动方程： M y(t) Ky(t) FP (t) (a)
1、主振型矩阵
1 2 n
2、广义质量、广义刚度
} M * T M 对角阵
K* T K
3、正则坐标
y(t) (t)
(b)
M y(t) Ky(t) FP(t) (a)
４、振型迭加法分析强迫振动
例1：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
k1 k，k2 2k，
m1
m1 m，m2 2m；
P0 sin t
EI1
k1 m2
h
已知：
2
k m
EI1
k2
h
A
P0 k
1 0
1
1
I
F
0P0
P0
P0
P0 k
动位移幅值图
动荷载图（虚拟）
例2：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
已知：
i
(t
)
i
(0)
cos
it
i (0) i
sin
it
(i 1, 2)
l
0E.I041
P0 L3 EI
sinP0 stin
m
t
EI
从以上例题的计算中可看出，一般情况下 １l 〉２ 〉l〉ｎ
故在振型迭加法中,一般是前几阶振型起主要作用。
思考：用振型叠加法求例1所示结构的位移幅值。
2
k m
2
1 3
k m
2 5 k 3m
2
k m
P0 sin t
P0 sin t
结构力学 结构动力计算
Y st yt mg yt
⑶质点沿水平方向振动时，水平总线位移 Y yt
§10—2
运动方程为：
单自由度体系的自由振1 动
k
m
mY kY W 0
st
y(t)
Y(t)
因为 Y (t) st y(t) Y (t) y(t) -kY -mY
所以 my k[ y(t) st ] W
⑵阻尼力与质点速度平方成正比，固体在流体中运动受到的阻力。
⑶阻尼力与质点的速度无关，摩擦力属于此类。
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
关于阻尼力的理论很多，为计算方便我们选用粘滞阻尼理论。
理论假定：阻尼力的大小与质点的运动速度成正比，方向与质 点的 运动速度方向相反。即：
R
cv
c
dy dt
w
又 k st kW W
my ky(t) W W
my ky(t) 0
§10—2 单自由度体系的自由振动
可见，重力对动位移y (t ) 的运动方程无影响。 质量围绕静力平衡位置进行振动。
aa
a a
W mymax
l m
ymax st a (W mymax)
st
a
ymax
Mmax (W mymax)l
§10—2 单自由度体系的自由振动
单自由度体系的动力分析虽简单但很重要体现在两个方面：
⑴很多实际动力学问题，可按单自由度体系进行分析和计算，而所 得结果基本上能反映其实际的动力特点。
⑵单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力分析的基础。
一、振动模型的建立
对于各种单自由度体系的振动，都可以用一个弹簧质块模型的振动来描述， 因为它们有相同的运动规律和运动微分方程。
⑶质点沿水平方向振动时，水平总线位移 Y yt
§10—2
运动方程为：
单自由度体系的自由振1 动
k
m
mY kY W 0
st
y(t)
Y(t)
因为 Y (t) st y(t) Y (t) y(t) -kY -mY
所以 my k[ y(t) st ] W
⑵阻尼力与质点速度平方成正比，固体在流体中运动受到的阻力。
⑶阻尼力与质点的速度无关，摩擦力属于此类。
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
关于阻尼力的理论很多，为计算方便我们选用粘滞阻尼理论。
理论假定：阻尼力的大小与质点的运动速度成正比，方向与质 点的 运动速度方向相反。即：
R
cv
c
dy dt
w
又 k st kW W
my ky(t) W W
my ky(t) 0
§10—2 单自由度体系的自由振动
可见，重力对动位移y (t ) 的运动方程无影响。 质量围绕静力平衡位置进行振动。
aa
a a
W mymax
l m
ymax st a (W mymax)
st
a
ymax
Mmax (W mymax)l
§10—2 单自由度体系的自由振动
单自由度体系的动力分析虽简单但很重要体现在两个方面：
⑴很多实际动力学问题，可按单自由度体系进行分析和计算，而所 得结果基本上能反映其实际的动力特点。
⑵单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力分析的基础。
一、振动模型的建立
对于各种单自由度体系的振动，都可以用一个弹簧质块模型的振动来描述， 因为它们有相同的运动规律和运动微分方程。
《结构力学》结构的动力计算
t................(e)
y(t) Asin( t )........................( f )
yy
T
0
t y cos t
-y
y
T
v
0
v
y T
A
0
-A
t
v sin t
t
Asin
t
13
三、结构的自振周期和频率
由式 y(t) Asin( t ) 及图可见位移方程是一个周期函数。
非弹性力起着减小振幅的作用，使振动衰减，因此，为了进一步了解结构
的振动规律，就要研究阻尼。
18
关于阻尼，有两种定义或理解： 1）使振动衰减的作用； 2）使能量耗散。 2、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素 1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦”，耗散能量； 2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散，
1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力）
P(t )
P
t 简谐荷载（按正余弦规律变化）
t 一般周期荷载
3
2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）
P
P(t )
P
P
tr
t
tr
t
3）随机荷载：(非确定性荷载) 荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。 （如地震荷载、风荷载）
三、动力计算中体系的自由度
改写为 y k y 0 m
y 2 y 0 其中 2 k
m
它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：
y(t) C1 sin t C2 cost ...............(d )
积分常数C1，C2由初始条件确定
结构力学
令
作 图（图c），求得
(c)
(d)
考虑动荷载 F(t)和惯性力
作 MP 图，求得
所以，运动方程为：
（2）柔度法
设横梁在任一时刻 的位移 是由
动荷载 和惯性力
共同作用产
生的（图e），因此，横梁的位移为：
作 图（图f）
(e)
(f)
求得方法求解后运动方程相同。
5
例2．试建立图（a）所示刚架的运动方程 （不计轴向变形）。
—荷载的圆频率
二阶线性非齐次常微分方程 通解： 齐次解： 设特解：
9
代入方程，求得 特解为
运动方程的通解为：
由初始条件确定
后，运动方程的解
（13－7）
式（13-7）中前两项为初始条件引起的 自由振动;第三项为荷载（干扰力）引 起的自由振动，称为伴生自由振动。 实际上，由于阻尼的存在，自由振动 部分都很快衰减掉。自由振动消失前 的振动阶段称为过渡阶段。第四项为 按荷载频率 进行的振动，此阶段为
二．结构动力计算的内容和特点
1. 动力计算的主要内容 第一类问题：反应问题
输入 （动荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
第二类问题：参数（或系统）的识别
输入 （动荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
第三类问题：荷载识别
输入 （动荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
1
第四类问题：控制问题
输入 （动荷载）
4
柔度法步骤：
（1）在质量上沿位移正方向加惯性力； （2）求动荷载和惯性力引起的位移； （3）令该位移与质量 m 的位移相等， 即得到体系的位移方程（运动方程）。
三.建立运动方程例题
结构力学 动力计算例题PPT课件
Psin
m
l
l
第10页/共49页
例题4 (1)体系的自振频率
单位力作用下的
求
例题
M图
1 2
l
l
•
2 3
l
l3
EI
3EI
自振频率
k m
1
m
3EI ml 3
第11页/共49页
P=1 l
l
M图
例题
例题4
(２)简谐荷载的频率
6
(３)动力系数
1
1
2 2
1
1 1 6
2
36 35
（４）位移振幅
15m 2
k
1 0.2936
k, m
2 0.6673
k, m
3 0.9319
k m
第27页/共49页
例题8
（2）求主振型
例题
K2 M Y 0
第一主振型
K12 M
YY1211 Y31
k 15
17.414
5
0
5 6.707
3
0 3 1.707
YY1211 Y31
k (1) jj
0
0 0
k (2) ij
k (3) ij
ql2 0 0 0 27l 0 5 27l 0 19 0 0 0T
1000EI
2
3
②
q ①
l ③
y M，
1
4
x
l
第17页/共49页
例题
例题6
（１）由结构位移向量得出单元①的位移
1 ql2 0
1000EI
0
0
0
27l
5T
q
m
l
l
第10页/共49页
例题4 (1)体系的自振频率
单位力作用下的
求
例题
M图
1 2
l
l
•
2 3
l
l3
EI
3EI
自振频率
k m
1
m
3EI ml 3
第11页/共49页
P=1 l
l
M图
例题
例题4
(２)简谐荷载的频率
6
(３)动力系数
1
1
2 2
1
1 1 6
2
36 35
（４）位移振幅
15m 2
k
1 0.2936
k, m
2 0.6673
k, m
3 0.9319
k m
第27页/共49页
例题8
（2）求主振型
例题
K2 M Y 0
第一主振型
K12 M
YY1211 Y31
k 15
17.414
5
0
5 6.707
3
0 3 1.707
YY1211 Y31
k (1) jj
0
0 0
k (2) ij
k (3) ij
ql2 0 0 0 27l 0 5 27l 0 19 0 0 0T
1000EI
2
3
②
q ①
l ③
y M，
1
4
x
l
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例题
例题6
（１）由结构位移向量得出单元①的位移
1 ql2 0
1000EI
0
0
0
27l
5T
q
04 结构力学——结构动力学1
第十五章 结构动力计算 第一节 结构动力计算概述
3、动力学的任务和内容 第三类问题：由输入、输出和系统求环境识别。 第三类问题：由输入、输出和系统求环境识别。 结构振动控制 振动控制。 结构振动控制。
输入 动力荷载） （动力荷载）
结构 系统） （系统）
控制系统 装置、能量） （装置、能量）
输出 动力反应） （动力反应）
ϕ1(x)
l
y( x ) = y1ϕ1 ( x ) + θ1ϕ 2 ( x ) + L
ϕ2(x)
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第十五章 结构动力计算 第一节 结构动力计算概述
4、动力分析体系的自由度
3 体系自由度的确定 用有限元法或广义座标法将无限自由度体系简化为 有限自由度体系时， 有限自由度体系时，体系的自由度数等于独立结点 位移数或广义座标数。 位移数或广义座标数。 对于集中质量法简化的有限自由度体系，在确定结 对于集中质量法简化的有限自由度体系， 构动力自由度数时应注意： 构动力自由度数时应注意： (1) 一般受弯结构轴向变形忽略不计； 一般受弯结构轴向变形忽略不计； (2) 体系的自由度数并不总是等于集中质点数，而 体系的自由度数并不总是等于集中质点数， 要根据具体情况确定。 要根据具体情况确定。
结构力学
第十五章 结构动力计算
学习内容
结构动力计算概念，动力计算自由度， 结构动力计算概念，动力计算自由度，建立体系的运动 方程；单自由度体系的自由振动（频率、周期和振幅的计 方程；单自由度体系的自由振动（频率、 ）；单自由度体系在简谐荷载作用下的的强迫振动 单自由度体系在简谐荷载作用下的的强迫振动（ 算）；单自由度体系在简谐荷载作用下的的强迫振动（动内 动位移计算）；阻尼对振动的影响； ）；阻尼对振动的影响 力、动位移计算）；阻尼对振动的影响；有限自由度体系的 自由振动（频率、振型及振型正交性）； ）；有限自由度体系在 自由振动（频率、振型及振型正交性）；有限自由度体系在 简谐荷载作用下的强迫振动（动内力、动位移计算）；频率、 ）；频率 简谐荷载作用下的强迫振动（动内力、动位移计算）；频率、 振型的近似计算方法。 振型的近似计算方法。
结构力学动力计算
浙大宁波理工学院土建学院
确定单自由度体系的自振方程的四个基本物理量
刚度或柔度: k或
初始位移：y0
质量: m
初始速度：v0
与内在因素有关的物理量 自振圆频率: （自振频率）
k 1 m m
(2个单位时间内的振动次 数，或每秒振动次数*2)
m 自振周期: T 2 2 m k
1
y0 v0
y(t ) A sin cos t A cos sin t A sin(t )
单自由度体系的无阻尼自由振动是由初位移和初速度 引起的简谐振动。
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
简谐自由振动的特性
如果一个质点在某方向的位移与所受弹性力成正比， 则质点在该方向上可发生简谐自由振动
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
计算方法的简化
常用的三种简化方法 1.集中质量法: 将连续分布的质量集中为质点，以质点位移（线位移） 为基本未知量。（本章主要讨论集中质量法）
2.广义坐标法： 用级数表示度曲线方程，以广义坐标（级数的项系数） 为基本未知量。 3.有限单元法： 将结构分割为若干个单元，用结点位移（线位移与角 位移）表示各单元挠曲线方程。将无限自由度问题化为有 限自由度问题。
(某一时刻的位移等于隔一段时间T之后的位移，T为自振周期)
2
频率
1 f (每秒振动次数，周期的倒数) T
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
确定单自由度体系的自振方程的四个基本物理量 内因素 外因素
刚度或柔度: k或
初始位移：y0
质量: m
初始速度：v0
与外因素有关的物理量 自振方程 y(t ) A sin(t ) 代入初始条件得
结构力学应用-结构动力学
（小阻尼） 令
有阻尼的自振频率
1
2
y(t ) e
t
y0 y0 ( y0 cos t sin t )
*写成
y(t ) b e
2 0
t
sin(t )
(14-12)
y0 y0 2 其中 b y ( )
柔度法（力法）
MY KY 0 MY Y 0
10、按柔度法求解
振型方程： ([ ][ 2 [ 1 M ]){Y } 00} ([ I ] M ] ][ [ I ]){Y } { 2 频率（特征）方程
D [ ][ M ] [ I ] 0
y0 tg y0 y0
位移－时间曲线如图示：
阻尼比——阻尼的基本参数： a.阻尼对频率（周期）的影响
k
2m
1 2
T T 1 2 T
0.2
T T
b、阻尼对振幅的影响
be
t
——振幅随时间逐渐衰减
11m1
1
12 m2
(k )
0 0
(14 63)
{Y }
(k )
Y1 Y2
(k )
11m1 k 12 m2
12 m2
k2
（k=1、2）
结构的刚度和质量分布 ——对称 其主振型 ——对称、反对称 计算自振频率： ——分别就正、反对称情况 ——取半跨结构计算 ——两个单自由度问题计算 显然，振型分别为： [1 1]T、[1 -1]T
1
0.2,
yn ln 2 j yn j 相隔j个周期： 1
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小结
4. 两个自由度体系的自由振动有两个自振频率，数值较小的称为基本频率； 相应地有两个主振型。关键是如何计算结构的柔度系数或刚度系数，并验 证主振型的正交性。 5. 两个自由度体系的受迫振动，各质点的振幅、动力幅值没有一个统一的 动力系数，这是和单自由度体系受迫振动不同的。 6. 振型分析法将无限自由度体系的自由振动问题转化为单自由度体系的计 算问题。它将复杂的问题分解为简单的问题，使我们看出复杂运动与主振 型之间关系的规律。
子项目 结构的动力计算 知识链接
（2）冲击荷载 这类荷载在很短时间内，荷载值急剧增大（图 5 – 2a）或急剧减小（图 5 – 2b）。各种爆炸荷载都属于这一类。当升载时间趋于零时，就是突加荷载 （图 5 – 2c）。
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（3）随机荷载 这类荷载的特点是荷载随时间变化的规律很不规则，荷载在任一时刻 t 的数值无法事先确定，要通过记录和统计得到其规律和计算数值。如地 震作用的地面运动加速度（图 5 – 3）。
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3．动力计算的自由度 在进行动力计算时，也需选取一个合理的计算简图，但考虑惯性力的作用，需要 确定质量在运动中的状态。因此，体系的自由度是指为了确定运动过程中任一时 刻全部质量的位置所需要的独立几何参数的数目。 实际结构的质量都是连续分布的，在计算中常把连续分布的无限自由度问题简化 为有限自由度问题。
子项目 结构的动力计算
知识链接
概括起来，动力计算的基本特点： ① 动力响应与时间有关，即荷载、位移、内力等随时间急剧变化。 ② 建立平衡方程时要包括质量的惯性力。 2．动力荷载的分类 工程中常见的动力荷载有以下几种分类： （1）周期荷载 这类荷载随时间作周期性的变化。简谐荷载是周期荷载中最简单也是最 重要的一种，它随时间 t 的变化规律可用正弦或余弦函数表示，如图 5 – 1b 所示。具有偏心质量的机器（图 5 – 1a）运转时，传到结构上的 偏心力 P(t) 随时间 t 的变化规律可用Psinθt和Pcosθt表示。
子项目 结构的动力计算
知识链接
例如图 5 – 4a 所示简支梁，跨中放有重物 W。当梁自身重量远小于重 物的质量时，可取图 5 – 4b 所示计算简图。类似的，如图 5 – 5a 所示 两层刚架，计算侧向振动时，可简化为质量集中于楼层的两个自由度体 系，计算简图为 5 – 5b。对于具有连续分布质量的体系各质点的位移又是互 相独立的，则这种体系是无限自由度体系。如图 5 – 6 所示，考虑杆本 身质量的梁即为一个无限自由度体系。
项目五 振动荷载作用下结构的 受力分析和计算
子项目 结构的动力计算
子项目 结构的动力计算
学习能力目标 1．掌握动力荷载的概念和分类。 2．了解动力计算的特点。
项目表述
通过对动力荷载和静力荷载概念的比较和理解，了解结构在振动荷 载作用下的受力计算特点。
子项目 结构的动力计算 学习进程
子项目 结构的动力计算
知识链接
1．动力计算的特点 本项目讨论结构的动力计算问题，即结构在动力荷载作用下的内力和位移
（常称为动力响应）计算问题。 多数实际荷载并不是静力荷载，但从荷载对结构产生的影响看，可以忽略惯
性力对结构的影响，则可以把这类荷载看成是静力荷载。动力荷载是指荷载的 大小、方向、作用位置随时间迅速变化的荷载。它引起的结构上各质点的加速 度比较大，不能忽略惯性力对结构的影响。如 机械振动、地震作用、爆炸荷载 等。在结构动力计算中，不仅荷载、约束力、内力、位移等都是随时间变化的 函数，而且必须考虑结构上各质点的惯性力作用。根据达朗伯原理，在引进惯 性力后，可以建立动力平衡方程，将动力计算问题转化为静力平衡问题来处理。 但这只是一种形式上的平衡，仅仅是利用平衡这一手段列出运动方程。
子项目 结构的动力计算 知识链接
小结
1. 在结构动力分析过程中，在引进了质点的惯性力后，按照达朗伯原理，仍 然可以利用静力分析的方法。因此，结构静力分析是结构动力分析的基础。 2. 单自由度体系的自由振动是在无动荷载而只有初始外界干扰（初位移和初 速度）引起的振动。在单自由度体系自由振动中主要应理解自振周期和自振圆 频率的物理意义，它们是结构的固有属性，反映动载作用下结构动力性能的重 要物理量。在各种给定的条件下能熟练地计算自振圆频率或自振周期。 3. 了解阻尼对自由振动的影响。在简谐荷载作用下，结构的受迫振动也是按 荷载频率振动的简谐振动，在荷载频率与自振频率接近时，发生较大的动力反 应，应予避免。