最新导数中求参数的取值范围
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导数中求参数的取值范围
求参数取值范围的方法
1.分离参数,恒成立转化为最值问题
2.分离参数,结合零点和单调性解不等式
3.将参数分成若干个区间讨论是否满足题意
1已知函数()-x f x e ax
=(a R ∈,e 为自然对数的底数). (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性;
(Ⅱ)若1a =,函数
()()()2x g x x m f x e x x =--++在()2,+∞上为增函数,求
实数m 的取值范围. 解:(Ⅰ)函数
()f x 的定义域为R ,()x f x e a '=-. 当0a ≤时,()0f x '>,∴()f x 在R 上为增函数;
当0a >时,由
()0f x '=得ln x a =, 当
(),ln x a ∈-∞时,()0f x '<,∴函数()f x 在(),ln a -∞上为减函数, 当()ln ,x a ∈+∞时,()0f x '>,∴函数()f x 在()
ln ,a +∞上为增函数……4分 (Ⅱ)当1a =时,
()()()2x x g x x m e x e x x =---++, ∵()g x 在()2,+∞上为增函数;∴()10x x g x xe me m '=-++≥在()2,+∞上恒成立,即
11x x xe m e +≤-在()2,+∞上恒成立, …………………………6分
令()11x x xe h x e +=-,()2,x ∈+∞,则()()()2221x x x x e xe e h x e --'==-()()2
21x x x e e x e ---,
令
()2
x
L x e x
=--
,
()10
x
L x e
'=->
在
()
2,+∞
上恒成立,
即
()2
x
L x e x
=--
在
()
2,+∞
上为增函数,即
()()2
240
L x L e
>=->
,
∴
()0
h x
'>
,即
()1
1
x
x
xe
h x
e
+
=
-在
()
2,+∞
上为增函数,∴
()()2
2
21
2
1
e
h x h
e
+
>=
-,
∴
2
2
21
1
e
m
e
+
≤
-,所以实数m的取值范围是
2
2
21
,
1
e
e
⎛⎤
+
-∞
⎥
-
⎝⎦.………………12分
2.(2016·全国甲卷)已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).
(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.
解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞).
当a=4时,f(x)=(x+1)ln x-4(x-1),
f(1)=0,f′(x)=ln x+
1
x
-3,f′(1)=-2.
故曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x+y-2=0.
(2)当x∈(1,+∞)时,f(x)>0等价于ln x-
a(x-1)
x+1
>0.
设g(x)=ln x-
a(x-1)
x+1
,
则g′(x)=1
x
-2a
(x+1)2
=
x2+2(1-a)x+1
x(x+1)2
,g(1)=0.
①当a≤2,x∈(1,+∞)时,x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0,故g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增,因此g(x)>0;
②当a>2时,令g′(x)=0得x1=a-1-(a-1)2-1,x2=a-1+(a-1)2-1.
由x2>1和x1x2=1得x1<1,故当x∈(1,x2)时,g′(x)<0,g(x)在(1,x2)上单调递减,因此g(x)<0.
综上,a的取值范围是(-∞,2].
3.(2016·全国乙卷)已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2有两个零点.
(1)求a的取值范围;
(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.
解:(1)f′(x)=(x-1)e x+2a(x-1)=(x-1)(e x+2a).
①设a=0,则f(x)=(x-2)e x,f(x)只有一个零点.
②设a>0,则当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,
所以f(x)在(-∞,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b 2 , 则f(b)>a 2(b-2)+a(b-1)2=a⎝ ⎛⎭⎪⎫ b2- 3 2b>0, 故f(x)存在两个零点. ③设a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a). 若a≥-e 2 ,则ln(-2a)≤1,