复合函数求导高阶导数

2x
2x
2x + 1 3 1 ) 在点 (0, ) 处的切线方程。 例10 求曲线 y = ( 3x + 2 8 1 ，且 解 曲线在点 (0, ) 处的切线斜率 k = f (0) 8
因为
2x + 1 3 2x + 1 3 2 2(3x + 2) - 3(2x + 1) y=( ) = (u ) ( ) = 3u 3x + 2 3x + 2 (3x + 2)2
娄梅花灛
n 1
(n 1)!
(1 x) n
规定 0 ! = 1
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例4. 设
求
解:
) y cos x sin( x 2
) y cos( x ) sin( x 2 2 2
sin( x 2 ) 2
) y cos( x 2 ) sin( x 3 2 2
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
或
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例1. 设
解:
求
y a1 2a2 x 3a3 x 2 nan x n 1 y 2 1a2 3 2a3 x n(n 1)an x n 2
2x
通过这道题你有什么体会？
熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默 记在心，由外向内、由表及里逐层求导。 例6 求
解：
y = cos x
2
的导数
y'=[(cosx)2]'=2cosx(cosx) ' =2cosx (-sinx) = -sin2x
3
例7 求 y = sin(1 + x ) 的导数
代入莱布尼兹公式 , 得
y
( 20)
20 19 18 2 x 2 e x 20 2 e 2 x 2 e 2 2!
20 2 x 2 19 2 x
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作业
P103 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ;
第四节 目录
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解:
3 3 y = cos(1 + x )(1 + x )
= 3x 2 cos(1 + x 3 )
例5. 设 解:
求
1 x x x ( sin( e )) e cos( e )
e x tan(e x )
思考: 若 存在 , 如何求 f (ln cos(e x )) 的导数?
一般地 , 类似可证:
(sin x)
(n)
) n sin( x 2
(cos x) ( n ) cos( x n ) 2
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二、高阶导数的运算法则
设函数 及 都有 n 阶导数 , 则
(C为常数)
n(n 1) 2! n(n 1) (n k 1) k!
y=e
tanx
的导数
u y = e ,u = tanx 解： 设
因为 所以
yu' = e u ,ux' = sec 2 x
u 2
y x' = yu' ux' = e sec x = e
tanx
sec x
2
练习 2、求函数
解：
y = lnsinx
的导数
y = lnu,
u = sinx
y x = yu ux = (lnu)u (sinx)x
2x + 1 2 1 3(2x + 1)2 = 3( ) = 2 3x + 2 (3x + 2) (3x + 2)4 3 所以 k = f (0) 这样所求切线方程为 = 16 1 3 y- = (x - 0) 8 16
即 16y - 3x = 2
第三节 高阶导数
一、高阶导数的概念
二、高阶导数的运算法则
= 15(3x + 2)4
例3
求函数 y = ln(1 - x ) 的导数
2
2
解：设 y = lnu 则 u = 1 - x
1 因为 yu' = ,ux' = -2x, u 1 所以 y x' = yu' ux' = (-2x) u -2x = 1 - x2 2x = 2 x -1
练习 1、求函数
1 1 = cosx = cosx = cotx u sinx
例4 求 g(x) = x 2 + 1 的导数 解
g(x)
g(x) = u
u = x +1
2
1 2 x2 + 1
x 2 + 1
= =
1 2 x2 + 1 x x2 + 1
课前复习
复合函数 y = sin(2x + 3) 可分解为 ? 令 u = (2x + 3) 则
y = sinu
所以复合函数 y = sin(2x + 3)可分解为：
y = sinu,u = (2x + 3)
一般的
y = f( (x)) 可分解为
y = f(u),u = (x)
一、复合函数的求导法则
依次类推 , 可得
y
( n)
n!an
y x ( 为任意常数 ) , 问 思考: 设
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例2. 设
(n) y eax , 求 y . 2 ax 3 ax y ae , y a e , y a e , , ax
解:
y
例3. 设
第二章
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一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动
速度 加速度 即 即 v s
a ( s)
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定义. 若函数 y f ( x) 的导数 y f ( x) 可导, 则称
的导数为 f ( x) 的二阶导数 , 记作 或 即
d2 y d dy y ( y) 或 ( ) 2 d x dx dx
莱布尼兹(Leibniz) 公式
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例7.
2x
求
2
解: 设 u e , v x , 则
u ( k ) 2 k e 2 x ( k 1 , 2 ,, 20 ) v 2 x , v 2 , v ( k ) 0 (k 3 ,, 20)
= cosu 5
= cos5x 5 = 5cos5x
5 y = (3x + 2) 例2 求函数 的导数 5 y = u 解：设 则 u = 3x + 2,
= 5u4 ,ux = 3, 因为 yu
4 4 所以 y x = yu ux = 5u 3 = 5(3x + 2) 3
链式法则
u 2x y = e ,u = 2x ， y = e 如：求 的导数， 令
u (2x) y = y u = (e )u 于是 x u x x
= e u 2 = 2e 2x
例1
求 f(x) = sin5x 的导数
解：设 y = sinu,u = 5x
= y f (x) x = yu u x = sinuu (5x)x
练习 求下列函数的导数
wenku.baidu.com1.
解
3
1+ x
2
2 dy 1 = (1 + x 2 ) 3 2x dx 3 2 2 2 = x(1 + x ) 3 3
2. y = e sin3x
解：
2x 2x y = (e ) sin3x + e (sin3x)
2x
= 2e sin3x + 3e cos3x
求 y = (x - 1)
2
10
的导数。
dy = 10(x 2 - 1)9 (x 2 - 1) dx
= 10(x 2 - 1)9 2x
这一步可省略。
1 x
x2
= 20x(x 2 - 1)9
例9
求函数
y=e
1 x
-e
)
x2
的导数。
y = (e ) - (e
1 x
1 2 -1 -1 x2 x x = e ( 2 ) - 2xe = 2 e - 2xe x x
(n)
a e
n ax
y
特别有: (e x ) ( n ) e x 求
1 1 x
1 y (1 x) 2
1 1 2 1 2 , y (1) , , y 解: y 2 3 1 x (1 x) (1 x)
,
思考:
y
(n)
(1)
df x x f ( ln cos( e ) ) (ln cos( e )) dx
这两个记号含义不同
f (u ) u ln cos(e x )
练习: 设 y f ( f ( f ( x))) , 其中 f ( x) 可导, 求 y.
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例8 解
1、引例 2x y = e (1) 求 的导数
猜
2x 2x x x 已知 (e ) = e，则 (e ) = e
?
解 ： 因为e
2x
2x x x x x x = e x e, 则 (e ) = (e )e + e (e )
= e x e x + e x e x = e 2x + e 2x = 2e 2x
y=e 解1是错误的。
2x
是复合函数。
直接套用基本初等函数求导公式 求复合函数的导数是不行的。
2、法则
y = g(u) 关于 u 可 定理3.7 设 u = f(x) 关于 x 可导， y = g(u)复合而成的 y = g(f(x)) 关 导，则由 u = f(x)， 于 x 可导，且有
dy dy du = 或 y x = yu .u x dx du dx