专训常用构造中位线的五种方法
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九、要点梳理（课文回放）。
作者用细腻的笔触、传神的语言介绍了 《蒙娜 丽莎》 画像， 具体介 绍了___ ______ _，___ ______ _，特 别详细 描写了 蒙娜丽 莎的___ ______ _和___ ______ _，以 及她___ ______ _、___ ______ _和___ ______ _；最 后用精 炼而饱 含激情 的语言 告诉大 家，蒙 娜丽莎 给人带 来了心 灵的震 撼，留 下了永 不磨灭 的印象 。 综合能力日日新
又∵M为BC的中点，
∴DM为△BNC的中位线，
∴DM＝
1 2
NC＝
1 2
(AN＋AC)＝
1 2
(AB＋AC)＝15.
3．如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平 分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，求 DE的长．
解：如图，延长BD交AC于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
六、词语点将（据意写词）。
1．看望；访问。 （ ） 2．互相商量解决彼此间相关的问题。 （ ）
3．竭力保持庄重。 （ ） 4．洗澡，洗浴，比喻受润泽。 （ ）
5．弯弯曲曲地延伸的样子。 （ ） 七、对号入座（选词填空）。
冷静 寂静 幽静 恬静 安静
１．蒙娜丽莎脸上流露出（ ）的微笑。
2．贝多芬在一条（ ）的小路上散步。 3．同学们（ ）地坐在教室里。
方法 2 已知角平分线+垂直构造中位线
2．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC 的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18， 求DM的长．
解：如图，延长BD，CA交于N.
由题易知∠NAD＝∠BAD，∠ADN＝∠ADB＝
90°.又AD＝AD，
∴△AND≌△ABD.
∴DN＝DB，AN＝AB.
又∵∠FBA＋∠CBF＝90°，
∴∠CBF＝∠ABN.
BF BN ,
在△BCF和△BAN中，CBF ABN ,
BC BA, ∴△BCF≌△BAN.∴CF＝AN.∴ME＝
1 2
AN＝
1 2
CF.
方法 4 已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分 别为CA，CB上一点，CE＝CF，M，N分别为AF， BE的中点，求证：AE＝ 2 MN.
1．如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC 同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M， N分别为AC，AD，CE的中点． (1)求证：PM＝PN； (2)求∠MPN的度数．
证明：(1)如图，连接CD，AE.
由三角形中位线定理可得PM
＝∥
1 2
CD，PN
＝∥
1 2
AE.
∵△ABD和△BCE是等边三角形，
习题课 阶段方法技巧训练（一）
专训2 常用构造中位线的 五种方法
三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的 平行关系，二是数量上的倍分关系．因此，当题目中给 出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；当题目 中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出 三角形的中位线．
方法 1 连接两点构造三角形的中位线
5、一个人在科学探索的道路上，走过弯 路，犯 过错误 ，并不 是坏事 ，更不 是什么 耻辱， 要在实 践中勇 于承认 和改正 错误。 ——爱 因斯坦 6、瓜是长大在营养肥料里的最甜，天才 是长在 恶性土 壤中的 最好。 ——培 根 7、发光并非太阳的专利，你也可以发光 。
8、人们常用“心有余而力不足”来为自 己不愿 努力而 开脱， 其实， 世上无 难事， 只怕有 心人， 积极的 思想几 乎能够 战胜世 间的一 切障碍 。 9、如果你希望成功，当以恒心为良友， 以经验 为参谋 ，以当 心为兄 弟，以 希望为 哨兵。 ——爱 迪生
(∠ABC＋∠BAC)＝90°.∴NH＝ 2 MN.
2
∴AE＝2NH＝2×
2 2
MN＝
2 MN.
方法 5 已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是
AD的中点，延长BP交AC于点N，求证：AN＝
1 3
AC.
1、世上没有绝望的处境，只有对处境 绝望的 人。 2、挑水如同武术，武术如同做人。循序 渐进， 逐步实 现目标 ，才能 避免许 多无谓 的挫折 。
___________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 4．她的光辉照耀着每一个有幸看到她 的人。
“把”字句：_______________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ “被”字句：_______________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
3、别想一下造出大海，必须先由小河川 开始。 4、自信是所有成功人士必备的素质之一 ，要想 成功， 首先必 须建立 起自信 心，而 你若想 在自己 内心建 立信心 ，即应 像洒扫 街道一 般，首 先将相 当于街 道上最 阴湿黑 暗之角 落的自 卑感清 除干净 ，然后 再种植 信心， 并加以 巩固。 信心建 立之后 ，新的 机会才 会随之 而来。
17、在人生的竞赛场上，没有确立明确 目标的 人，是 不容易 得到成 功的。 许多人 并不乏 信心、 能力、 智力， 只是没 有确立 目标或 没有选 准目标 ，所以 没有走 上成功 的途径 。这道 理很简 单，正 如一位 百发百 中的神 射击手 ，如果 他漫无 目标地 乱射， 也不能 在比赛 中获胜 。 18、生活就像海洋，只有意志坚强的人 ，才能 到达彼 岸。——马克 思
21、怠惰是贫穷的制造厂。 22、先知三日，富贵十年。 23、自信是向成功迈出的第一步。——爱因斯 坦 24、一个人除非自己有信心，否则不能 带给别 人信心 ；已经 信服的 人，方 能使人 信服。 ——麦 修·阿诺 德 25、凡是挣扎过来的人都是真金不怕火 炼的； 任何幻 灭都不 能动摇 他们的 信仰： 因为他 们一开 始就知 道信仰 之路和 幸福之 路全然 不同， 而他们 是不能 选选择 的，只 有往这 条路走 ，别的 都是死 路。这 样的自 信不是 一朝一 夕所能 养成的 。你绝 不能以 此期待 那些十 五岁左 右的孩 子。在 得到这 个信念 之之前 ，先得 受尽悲 痛，流 尽眼泪 。可是 这样是 好的， 应该要 这样… …——罗 曼·罗 兰 26、一个人在科学探索的道路上，走过 弯路， 犯过错 误，并 不是坏 事，更 不是什 么耻辱 ，要在 实践中 勇于承 认和改 正错误 。——爱因斯 坦88我 们的理 想应该 是高尚 的。我 们不能 登上顶 峰，但 可以爬 上半山 腰，这 总比待 在平地 上要好 得多。 如果我 们的内 心为爱 的光辉 所照亮 ，我们 面前前 又有理 想，那 么就不 会有战 胜不了 的困难 。——普列姆 昌德 27、旁观者的姓名永远爬不到比赛的计 分板上 。
十、理解感悟。
（一）
蒙娜丽莎那微抿的双唇，微挑（ ）的嘴角，好像有话要跟你说。在 那极富 个性的 嘴角和 眼神里 ，悄然 流露出 恬静、 淡雅的 微笑。 那微笑 ，有时 让人觉 得舒畅 温柔， 有时让 人觉得 略含哀 伤，有 时让人 觉得十 分亲切 ，有时 又让人 觉得有 几分矜 （ ）持。蒙娜丽莎那“神秘的微笑”是 那样耐 人寻味 ，难以 捉摸。 达·芬奇 凭着他 的天才 想象为 和他那 神奇的 画笔， 使蒙娜 丽莎转 瞬即逝 的面部 表情， 成了永 恒的美 的象征 。
4．四周一片（ ），听不到一点声响。 5．越是在紧张时刻，越要保持头脑的（ ）。
八、句Βιβλιοθήκη Baidu工厂。
1．世界上有多少人能亲睹她的风采呢？ （陈述 句）
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文 化宝库 中一颗 璀璨的 明珠。 （缩写 句子） ___________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ 3．我在她面前只停留了短短的几分钟。 她已经 成了我 灵魂的 一部分 。（用 关联词 连成一 句话） __________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _____
∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC.
∴△ABE≌△DBC，
∴AE＝DC.∴PM＝PN.
解：(2)如图，设PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于 H，AE交BD于Q.由(1)知△ABE≌△DBC， ∴∠BAE＝∠BDC. 又∵∠DQH＝∠BQA， ∴∠AHD＝∠ABD＝60°， ∴∠FHG＝120°. 易证四边形PFHG为平行四边形， ∴∠MPN＝120°.
证明：如图，取AB的中点H，连接MH，NH，
则MH＝
1 2
BF，NH＝
1 2
AE.
∵CE＝CF，CA＝CB，∴AE＝BF.
∴MH＝NH.
∵点M，H，N分别为AF，AB，BE的中点，
∴MH∥BF，NH∥AE.
∴∠AHM＝∠ABC，∠BHN＝∠BAC.
∴∠MHN＝180°－(∠AHM＋∠BHN)＝180°－
∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF，
又∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADF(ASA)．
∴AF＝AB＝6，BD＝FD.
∵AC＝10，∴CF＝AC－AF＝10－6＝4.
∵E为BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线．
∴DE＝
1 2
CF＝
1 2
×4＝2.
方法 3 倍长法构造三角形的中位线
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC， △BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为 AF的中点，求证：ME＝ 1 CF. 2
证明：如图，延长FE至N，使EN＝EF，连接BN，AN.
易得ME＝
1 2
AN.∵EF＝EN，∠BEF＝90°，
∴BE垂直平分FN.∴BF＝BN.∴∠BNF＝∠BFN.
∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，
∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°，
∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.
10、涓滴之水终可磨损大石，不是由于 它力量 大，而 是由于 昼夜不 舍的滴 坠。只 有勤奋 不懈的 努力才 能够获 得那些 技巧， 因此， 我们可 以确切 地说： 说：不 积跬步 ，无以 致千里 。——贝多芬 11、一定要做最适合自己的事情，不要 迎合别 人的口 味而去 做一件 不属于 自我的 “难事 ”。一 旦“发 现自我 ”，就 要尽力 而为， 但要全 面了解 自己和 周围的 环境， 知道适 可而止 。 12、要有自信，然后全力以赴--假如具有 这种观 念，任 何事情 十之八 九都能 成功。 ——威 尔逊 13、莫找借口失败，只找理由成功。 14、一个有坚强心志的人，财产可以被 人掠夺 ，勇气 却不会 被人剥 夺的。 ——雨 果 15、积极的人在每一次忧患中都看到一 个机会 ，而消 极的人 则在每 个机会 都看到 某种忧 患。 16、不是境况造就人，而是人造就境况 。
19、别因为落入了一把牛毛就把一锅奶 油泼掉 ，别因 为犯了 一点错 误就把 一生的 事业扔 掉。——蒙古 20、许多人之所以在生活中一事无成， 最根本 原因在 于他们 不知道 自己到 底要做 什么。 在生活 和工作 中，明 确自己 的目标 和方向 是非常 必要的 。只有 在知道 你的目 标是什 么、你 到底想 做什么 之后， 你才能 够达到 自己的 目的， 你的梦 想才会 变成现 实。
作者用细腻的笔触、传神的语言介绍了 《蒙娜 丽莎》 画像， 具体介 绍了___ ______ _，___ ______ _，特 别详细 描写了 蒙娜丽 莎的___ ______ _和___ ______ _，以 及她___ ______ _、___ ______ _和___ ______ _；最 后用精 炼而饱 含激情 的语言 告诉大 家，蒙 娜丽莎 给人带 来了心 灵的震 撼，留 下了永 不磨灭 的印象 。 综合能力日日新
又∵M为BC的中点，
∴DM为△BNC的中位线，
∴DM＝
1 2
NC＝
1 2
(AN＋AC)＝
1 2
(AB＋AC)＝15.
3．如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平 分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，求 DE的长．
解：如图，延长BD交AC于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
六、词语点将（据意写词）。
1．看望；访问。 （ ） 2．互相商量解决彼此间相关的问题。 （ ）
3．竭力保持庄重。 （ ） 4．洗澡，洗浴，比喻受润泽。 （ ）
5．弯弯曲曲地延伸的样子。 （ ） 七、对号入座（选词填空）。
冷静 寂静 幽静 恬静 安静
１．蒙娜丽莎脸上流露出（ ）的微笑。
2．贝多芬在一条（ ）的小路上散步。 3．同学们（ ）地坐在教室里。
方法 2 已知角平分线+垂直构造中位线
2．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC 的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18， 求DM的长．
解：如图，延长BD，CA交于N.
由题易知∠NAD＝∠BAD，∠ADN＝∠ADB＝
90°.又AD＝AD，
∴△AND≌△ABD.
∴DN＝DB，AN＝AB.
又∵∠FBA＋∠CBF＝90°，
∴∠CBF＝∠ABN.
BF BN ,
在△BCF和△BAN中，CBF ABN ,
BC BA, ∴△BCF≌△BAN.∴CF＝AN.∴ME＝
1 2
AN＝
1 2
CF.
方法 4 已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分 别为CA，CB上一点，CE＝CF，M，N分别为AF， BE的中点，求证：AE＝ 2 MN.
1．如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC 同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M， N分别为AC，AD，CE的中点． (1)求证：PM＝PN； (2)求∠MPN的度数．
证明：(1)如图，连接CD，AE.
由三角形中位线定理可得PM
＝∥
1 2
CD，PN
＝∥
1 2
AE.
∵△ABD和△BCE是等边三角形，
习题课 阶段方法技巧训练（一）
专训2 常用构造中位线的 五种方法
三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的 平行关系，二是数量上的倍分关系．因此，当题目中给 出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；当题目 中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出 三角形的中位线．
方法 1 连接两点构造三角形的中位线
5、一个人在科学探索的道路上，走过弯 路，犯 过错误 ，并不 是坏事 ，更不 是什么 耻辱， 要在实 践中勇 于承认 和改正 错误。 ——爱 因斯坦 6、瓜是长大在营养肥料里的最甜，天才 是长在 恶性土 壤中的 最好。 ——培 根 7、发光并非太阳的专利，你也可以发光 。
8、人们常用“心有余而力不足”来为自 己不愿 努力而 开脱， 其实， 世上无 难事， 只怕有 心人， 积极的 思想几 乎能够 战胜世 间的一 切障碍 。 9、如果你希望成功，当以恒心为良友， 以经验 为参谋 ，以当 心为兄 弟，以 希望为 哨兵。 ——爱 迪生
(∠ABC＋∠BAC)＝90°.∴NH＝ 2 MN.
2
∴AE＝2NH＝2×
2 2
MN＝
2 MN.
方法 5 已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是
AD的中点，延长BP交AC于点N，求证：AN＝
1 3
AC.
1、世上没有绝望的处境，只有对处境 绝望的 人。 2、挑水如同武术，武术如同做人。循序 渐进， 逐步实 现目标 ，才能 避免许 多无谓 的挫折 。
___________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 4．她的光辉照耀着每一个有幸看到她 的人。
“把”字句：_______________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ “被”字句：_______________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
3、别想一下造出大海，必须先由小河川 开始。 4、自信是所有成功人士必备的素质之一 ，要想 成功， 首先必 须建立 起自信 心，而 你若想 在自己 内心建 立信心 ，即应 像洒扫 街道一 般，首 先将相 当于街 道上最 阴湿黑 暗之角 落的自 卑感清 除干净 ，然后 再种植 信心， 并加以 巩固。 信心建 立之后 ，新的 机会才 会随之 而来。
17、在人生的竞赛场上，没有确立明确 目标的 人，是 不容易 得到成 功的。 许多人 并不乏 信心、 能力、 智力， 只是没 有确立 目标或 没有选 准目标 ，所以 没有走 上成功 的途径 。这道 理很简 单，正 如一位 百发百 中的神 射击手 ，如果 他漫无 目标地 乱射， 也不能 在比赛 中获胜 。 18、生活就像海洋，只有意志坚强的人 ，才能 到达彼 岸。——马克 思
21、怠惰是贫穷的制造厂。 22、先知三日，富贵十年。 23、自信是向成功迈出的第一步。——爱因斯 坦 24、一个人除非自己有信心，否则不能 带给别 人信心 ；已经 信服的 人，方 能使人 信服。 ——麦 修·阿诺 德 25、凡是挣扎过来的人都是真金不怕火 炼的； 任何幻 灭都不 能动摇 他们的 信仰： 因为他 们一开 始就知 道信仰 之路和 幸福之 路全然 不同， 而他们 是不能 选选择 的，只 有往这 条路走 ，别的 都是死 路。这 样的自 信不是 一朝一 夕所能 养成的 。你绝 不能以 此期待 那些十 五岁左 右的孩 子。在 得到这 个信念 之之前 ，先得 受尽悲 痛，流 尽眼泪 。可是 这样是 好的， 应该要 这样… …——罗 曼·罗 兰 26、一个人在科学探索的道路上，走过 弯路， 犯过错 误，并 不是坏 事，更 不是什 么耻辱 ，要在 实践中 勇于承 认和改 正错误 。——爱因斯 坦88我 们的理 想应该 是高尚 的。我 们不能 登上顶 峰，但 可以爬 上半山 腰，这 总比待 在平地 上要好 得多。 如果我 们的内 心为爱 的光辉 所照亮 ，我们 面前前 又有理 想，那 么就不 会有战 胜不了 的困难 。——普列姆 昌德 27、旁观者的姓名永远爬不到比赛的计 分板上 。
十、理解感悟。
（一）
蒙娜丽莎那微抿的双唇，微挑（ ）的嘴角，好像有话要跟你说。在 那极富 个性的 嘴角和 眼神里 ，悄然 流露出 恬静、 淡雅的 微笑。 那微笑 ，有时 让人觉 得舒畅 温柔， 有时让 人觉得 略含哀 伤，有 时让人 觉得十 分亲切 ，有时 又让人 觉得有 几分矜 （ ）持。蒙娜丽莎那“神秘的微笑”是 那样耐 人寻味 ，难以 捉摸。 达·芬奇 凭着他 的天才 想象为 和他那 神奇的 画笔， 使蒙娜 丽莎转 瞬即逝 的面部 表情， 成了永 恒的美 的象征 。
4．四周一片（ ），听不到一点声响。 5．越是在紧张时刻，越要保持头脑的（ ）。
八、句Βιβλιοθήκη Baidu工厂。
1．世界上有多少人能亲睹她的风采呢？ （陈述 句）
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文 化宝库 中一颗 璀璨的 明珠。 （缩写 句子） ___________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ 3．我在她面前只停留了短短的几分钟。 她已经 成了我 灵魂的 一部分 。（用 关联词 连成一 句话） __________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _____
∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC.
∴△ABE≌△DBC，
∴AE＝DC.∴PM＝PN.
解：(2)如图，设PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于 H，AE交BD于Q.由(1)知△ABE≌△DBC， ∴∠BAE＝∠BDC. 又∵∠DQH＝∠BQA， ∴∠AHD＝∠ABD＝60°， ∴∠FHG＝120°. 易证四边形PFHG为平行四边形， ∴∠MPN＝120°.
证明：如图，取AB的中点H，连接MH，NH，
则MH＝
1 2
BF，NH＝
1 2
AE.
∵CE＝CF，CA＝CB，∴AE＝BF.
∴MH＝NH.
∵点M，H，N分别为AF，AB，BE的中点，
∴MH∥BF，NH∥AE.
∴∠AHM＝∠ABC，∠BHN＝∠BAC.
∴∠MHN＝180°－(∠AHM＋∠BHN)＝180°－
∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF，
又∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADF(ASA)．
∴AF＝AB＝6，BD＝FD.
∵AC＝10，∴CF＝AC－AF＝10－6＝4.
∵E为BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线．
∴DE＝
1 2
CF＝
1 2
×4＝2.
方法 3 倍长法构造三角形的中位线
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC， △BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为 AF的中点，求证：ME＝ 1 CF. 2
证明：如图，延长FE至N，使EN＝EF，连接BN，AN.
易得ME＝
1 2
AN.∵EF＝EN，∠BEF＝90°，
∴BE垂直平分FN.∴BF＝BN.∴∠BNF＝∠BFN.
∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，
∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°，
∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.
10、涓滴之水终可磨损大石，不是由于 它力量 大，而 是由于 昼夜不 舍的滴 坠。只 有勤奋 不懈的 努力才 能够获 得那些 技巧， 因此， 我们可 以确切 地说： 说：不 积跬步 ，无以 致千里 。——贝多芬 11、一定要做最适合自己的事情，不要 迎合别 人的口 味而去 做一件 不属于 自我的 “难事 ”。一 旦“发 现自我 ”，就 要尽力 而为， 但要全 面了解 自己和 周围的 环境， 知道适 可而止 。 12、要有自信，然后全力以赴--假如具有 这种观 念，任 何事情 十之八 九都能 成功。 ——威 尔逊 13、莫找借口失败，只找理由成功。 14、一个有坚强心志的人，财产可以被 人掠夺 ，勇气 却不会 被人剥 夺的。 ——雨 果 15、积极的人在每一次忧患中都看到一 个机会 ，而消 极的人 则在每 个机会 都看到 某种忧 患。 16、不是境况造就人，而是人造就境况 。
19、别因为落入了一把牛毛就把一锅奶 油泼掉 ，别因 为犯了 一点错 误就把 一生的 事业扔 掉。——蒙古 20、许多人之所以在生活中一事无成， 最根本 原因在 于他们 不知道 自己到 底要做 什么。 在生活 和工作 中，明 确自己 的目标 和方向 是非常 必要的 。只有 在知道 你的目 标是什 么、你 到底想 做什么 之后， 你才能 够达到 自己的 目的， 你的梦 想才会 变成现 实。