2018年中考数学专题复习第七讲几何最值问题解题策略

中考数学专题复习第七讲几何最值问题解题策略

【专题分析】

最值问题是初中数学的重要内容,无论是代数问题还是几何问题都有最值问题,在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论(如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等)以及用一次函数和二次函数的性质来求最值问题.

【知识归纳】

1.在求几何图形中的周长或线段长度最值时,解决此类问题的方法一般是先将要

求线段(要求的量)用未知数x表示出来,建立函数模型(一般所表示的式子为一次函数解析式或二次函数解析式),常用勾股定理或三角形相似求得函数关系式,再用函数的增减性或最值来求解即可.

2.利用对称的性质求两条线段之和最小值的问题,解决此类问题的方法为:如图,要求直线l上一动点P到点A,B距离之和的最小值,先作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,则A'B与直线l的交点即为P点,根据对称性可知此时A'B的长即为PA+PB的最小值,求出A'B的值即可.

【题型解析】

题型1: 三角形中最值问题

例题：（2017山东枣庄）如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P 的坐标为（）

A．（﹣3，0）B．（﹣6，0）C．（﹣，0） D．（﹣，0）

【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；PA：轴对称﹣最短路线问题．

【分析】（方法一）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．

（方法二）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，根据三角形中位线定理即可得出点P为线段CD′的中点，由此即可得出点P的坐标．

【解答】解：（方法一）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．

令y=x+4中x=0，则y=4，

∴点B的坐标为（0，4）；

令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=﹣6，

∴点A的坐标为（﹣6，0）．

∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，

∴点C（﹣3，2），点D（0，2）．

∵点D′和点D关于x轴对称，

∴点D′的坐标为（0，﹣2）．

设直线CD′的解析式为y=kx+b，

∵直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），

∴有，解得：，

∴直线CD′的解析式为y=﹣x﹣2．

令y=﹣x﹣2中y=0，则0=﹣x﹣2，解得：x=﹣，

∴点P的坐标为（﹣，0）．

故选C．

（方法二）连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．

令y=x+4中x=0，则y=4，

∴点B的坐标为（0，4）；

令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=﹣6，

∴点A的坐标为（﹣6，0）．

∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，

∴点C（﹣3，2），点D（0，2），CD∥x轴，

∵点D′和点D关于x轴对称，

∴点D′的坐标为（0，﹣2），点O为线段DD′的中点．

又∵OP∥CD，

∴点P为线段CD′的中点，

∴点P的坐标为（﹣，0）．

故选C．

方法指导：出现最值问题,可转化为轴对称知识所涉及的最短路径问题是我们解

答此类问题的常见方法.

题型2: 四边形中最值问题

例题:（2017贵州安顺）如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 6 ．

【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；KK：等边三角形的性质；LE：正方形的性质．

【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的边长为6，可求出AB的长，从而得出结果．

【解答】解：设BE与AC交于点P，连接BD，

∵点B与D关于AC对称，

∴PD=PB，

最小．

∴PD+PE=PB+PE=BE

即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；

∵正方形ABCD的边长为6，

∴AB=6．

又∵△ABE是等边三角形，

∴BE=AB=6．

故所求最小值为6．

故答案为：6．

方法指导：本题借助不等式“a2+b2≥2ab”通过代换转化来求平行四边形面积的

最值,体现了转化思想和整体思想的运用.

题型3:圆中最值问题

例题：（2017浙江衢州）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y=﹣x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是2．

【考点】MC：切线的性质；F5：一次函数的性质．

【分析】连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP⊥直线y=﹣x+3时，PQ 最小，根据两点间的距离公式得到AP=3，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：连接AP，PQ，

当AP最小时，PQ最小，

∴当AP⊥直线y=﹣x+3时，PQ最小，

∵A的坐标为（﹣1，0），y=﹣x+3可化为3x+4y﹣12=0，

∴AP==3，

∴PQ==2．