高中数学立体几何的知识点
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高中数学之立体几何
平面的基本性质
公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点都
在这个平面内 .
公理 2 如果两个平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条通过这个点的
公共直线 .
公理 3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面 .
根据上面的公理，可得以下推论 .
推论 1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 .
推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 .
推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 .
空Baidu Nhomakorabea线面的位置关系
共面 平行—没有公共点
(1) 直线与直线
相交—有且只有一个公共点
异面 ( 既不平行，又不相交 )
直线在平面内—有无数个公共点
(2) 直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点
(
直线在平面外 ) 相交—有且只有一公共点
等距，则 AB∥α .
⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，
即若 α∥ β,a α，a β， a∥ α，则 α∥β .
⑦如果一条直线与一个平面垂直， 则平面外与这条直线垂直的直线与该平面
平行，即若 a⊥α,b α， b⊥ a，则 b∥α .
⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面， 那么另一条也平行于这个平
α∥
β ,l α ，则 l ∥β .
④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面， 那么这条直线和这
个平面平行 . 即若 α⊥ β,l ⊥ β，l α ，则 l ∥α .
⑤在一个平面同侧的两个点， 如果它们与这个平面的距离相等， 那么过这两
个点的直线与这个平面平行，即若 A α， B α ，A、B 在α 同侧，且 A、B 到α
面 ( 或在这个平面内 ) ，即若 a∥b,a ∥ α,b ∥ α( 或 b α)
(4) 直线与平面垂直的判定
①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直， 则这条直线和这个
平面垂直 .
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 那么这条直线垂直于
这个平面 . 即若 m α， n α，m∩n=B,l ⊥m,l ⊥n, 则 l ⊥α.
∩ β=a, β∩ γ=b, γ∩α =c，则 a⊥b,b ⊥c,c ⊥a.
(3) 直线与平面平行的判定
①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行 .
②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行， 则这条直线与这个平
面平行 . 即若 a α,b α，a∥b, 则 a∥α .
③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若
若 l ⊥β,l α，则 α⊥β . ③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个 . 即若 α ∥β，
α ⊥γ，则 β⊥ γ. 直线在平面内的判定 (1) 利用公理 1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内 . (2) 若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的
β ∩γ=b, 则 a∥ b
⑥如果一条直线和两个相交平面都平行， 那么这条直线与这两个平面的交线
平行，即若 α∩ β=b,a ∥ α,a ∥ β，则 a∥b.
(2) 两直线垂直的判定
1. 定义：若两直线成 90°角，则这两直线互相垂直 .
2. 一条直线与两条平行直线中的一条垂直， 也必与另一条垂直 . 即若 b∥ c,a
②如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面相交， 那
么这条直线和交线平行，即若 a∥ α,a β， α∩β=b, 则 a∥b.
③平行于同一直线的两直线平行，即若 a∥b,b ∥ c, 则 a∥ c.
④垂直于同一平面的两直线平行，即若 a⊥α ，b⊥α，则 a∥b
⑤两平行平面与同一个平面相交， 那么两条交线平行， 即若 α ∥β, α∩ γ,
直线在第一个平面内，即若 α⊥ β,A ∈ α，AB⊥β，则 AB α. (3) 过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线
平面平行，即若 a,b α,c,d β ,a ∩b=P,a∥c,b ∥d, 则 α∥β . (6) 两平面垂直的判定 ①定义： 两个平面相交， 如果所成的二面角是直二面角， 那么这两个平面互
相垂直，即二面角 α－a－β =90° α⊥β . ②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面互相垂直， 即
⊥ b, 则 a⊥ c
3. 一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线 . 即若 a
⊥ α,b α，a⊥b.
4. 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直 . 即
若 a∥α,b ⊥α, 则 a⊥b.
5. 三个两两垂直的平面的交线两两垂直， 即若 α⊥β , β ⊥γ，γ ⊥α, 且α
③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面， 那么另一条也垂直于同一平面 .
即若 l ∥a,a ⊥α , 则 l ⊥α.
④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面， 它也垂直于另一个平面， 即
若 α∥β ,l ⊥β ，则 l ⊥α .
⑤如果两个平面互相垂直， 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于
另一个平面，即若 α⊥β ,a ∩β =α ，l β， l ⊥ a, 则 l ⊥α . ⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面， 则它们的交线也垂直于第三个平
面，即若 α⊥γ , β⊥ γ, 且 a∩β =α , 则 a⊥γ. (5) 两平面平行的判定 ①定义：如果两个平面没有公共点， 那么这两个平面平行， 即无公共点 α
∥β. ②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面， 那么这两个平面平
行，即若 a,b α， a∩ b=P,a∥β ,b ∥β , 则 α∥β. ③垂直于同一直线的两平面平行 . 即若 α⊥a, β⊥a, 则 α∥β . ④平行于同一平面的两平面平行 . 即若 α∥β , β∥ γ, 则α∥ γ. ⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线， 则这两个
(3) 平面与平面 相交—有一条公共直线 ( 无数个公共点 )
平行—没有公共点
异面直线的判定
证明两条直线是异面直线通常采用反证法 .
有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的
直线是异面直线” .
线面平行与垂直的判定
(1) 两直线平行的判定
①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行 .
平面的基本性质
公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点都
在这个平面内 .
公理 2 如果两个平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条通过这个点的
公共直线 .
公理 3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面 .
根据上面的公理，可得以下推论 .
推论 1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 .
推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 .
推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 .
空Baidu Nhomakorabea线面的位置关系
共面 平行—没有公共点
(1) 直线与直线
相交—有且只有一个公共点
异面 ( 既不平行，又不相交 )
直线在平面内—有无数个公共点
(2) 直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点
(
直线在平面外 ) 相交—有且只有一公共点
等距，则 AB∥α .
⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，
即若 α∥ β,a α，a β， a∥ α，则 α∥β .
⑦如果一条直线与一个平面垂直， 则平面外与这条直线垂直的直线与该平面
平行，即若 a⊥α,b α， b⊥ a，则 b∥α .
⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面， 那么另一条也平行于这个平
α∥
β ,l α ，则 l ∥β .
④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面， 那么这条直线和这
个平面平行 . 即若 α⊥ β,l ⊥ β，l α ，则 l ∥α .
⑤在一个平面同侧的两个点， 如果它们与这个平面的距离相等， 那么过这两
个点的直线与这个平面平行，即若 A α， B α ，A、B 在α 同侧，且 A、B 到α
面 ( 或在这个平面内 ) ，即若 a∥b,a ∥ α,b ∥ α( 或 b α)
(4) 直线与平面垂直的判定
①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直， 则这条直线和这个
平面垂直 .
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 那么这条直线垂直于
这个平面 . 即若 m α， n α，m∩n=B,l ⊥m,l ⊥n, 则 l ⊥α.
∩ β=a, β∩ γ=b, γ∩α =c，则 a⊥b,b ⊥c,c ⊥a.
(3) 直线与平面平行的判定
①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行 .
②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行， 则这条直线与这个平
面平行 . 即若 a α,b α，a∥b, 则 a∥α .
③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若
若 l ⊥β,l α，则 α⊥β . ③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个 . 即若 α ∥β，
α ⊥γ，则 β⊥ γ. 直线在平面内的判定 (1) 利用公理 1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内 . (2) 若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的
β ∩γ=b, 则 a∥ b
⑥如果一条直线和两个相交平面都平行， 那么这条直线与这两个平面的交线
平行，即若 α∩ β=b,a ∥ α,a ∥ β，则 a∥b.
(2) 两直线垂直的判定
1. 定义：若两直线成 90°角，则这两直线互相垂直 .
2. 一条直线与两条平行直线中的一条垂直， 也必与另一条垂直 . 即若 b∥ c,a
②如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面相交， 那
么这条直线和交线平行，即若 a∥ α,a β， α∩β=b, 则 a∥b.
③平行于同一直线的两直线平行，即若 a∥b,b ∥ c, 则 a∥ c.
④垂直于同一平面的两直线平行，即若 a⊥α ，b⊥α，则 a∥b
⑤两平行平面与同一个平面相交， 那么两条交线平行， 即若 α ∥β, α∩ γ,
直线在第一个平面内，即若 α⊥ β,A ∈ α，AB⊥β，则 AB α. (3) 过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线
平面平行，即若 a,b α,c,d β ,a ∩b=P,a∥c,b ∥d, 则 α∥β . (6) 两平面垂直的判定 ①定义： 两个平面相交， 如果所成的二面角是直二面角， 那么这两个平面互
相垂直，即二面角 α－a－β =90° α⊥β . ②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面互相垂直， 即
⊥ b, 则 a⊥ c
3. 一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线 . 即若 a
⊥ α,b α，a⊥b.
4. 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直 . 即
若 a∥α,b ⊥α, 则 a⊥b.
5. 三个两两垂直的平面的交线两两垂直， 即若 α⊥β , β ⊥γ，γ ⊥α, 且α
③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面， 那么另一条也垂直于同一平面 .
即若 l ∥a,a ⊥α , 则 l ⊥α.
④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面， 它也垂直于另一个平面， 即
若 α∥β ,l ⊥β ，则 l ⊥α .
⑤如果两个平面互相垂直， 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于
另一个平面，即若 α⊥β ,a ∩β =α ，l β， l ⊥ a, 则 l ⊥α . ⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面， 则它们的交线也垂直于第三个平
面，即若 α⊥γ , β⊥ γ, 且 a∩β =α , 则 a⊥γ. (5) 两平面平行的判定 ①定义：如果两个平面没有公共点， 那么这两个平面平行， 即无公共点 α
∥β. ②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面， 那么这两个平面平
行，即若 a,b α， a∩ b=P,a∥β ,b ∥β , 则 α∥β. ③垂直于同一直线的两平面平行 . 即若 α⊥a, β⊥a, 则 α∥β . ④平行于同一平面的两平面平行 . 即若 α∥β , β∥ γ, 则α∥ γ. ⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线， 则这两个
(3) 平面与平面 相交—有一条公共直线 ( 无数个公共点 )
平行—没有公共点
异面直线的判定
证明两条直线是异面直线通常采用反证法 .
有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的
直线是异面直线” .
线面平行与垂直的判定
(1) 两直线平行的判定
①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行 .