1 第一型曲线积分的概念
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2
二、第一型积分的性质
积分不等式：
若f ( p ) 和g ( p ) 在 可积且f ( p ) g ( p ), 则
f ( p)d g( p)d
积分中值定理：
若 f ( p )在闭区域 连续，则 上至少存在一点Q，使得
f pd
f ( Q ) ( )
f P d f x dx
b a
（2）当Ω为平面区域D，测度理解为面积，此时 dμ=dσ，这时称为二重积分，记成
f P d f P d
D
一、质量分布模型和第一型积分
（3）当Ω是空间区域V，测度理解为体积， 这时称为三重积分或体积分，记成
f P d f P dv
二、第一型积分的性质
sin x sin y I e d 例:估计二重积分 D
2 2 其中D为圆形域 x y 4.
解：（x , y） R 2 ,因 1 sin x sin y 1, 故有 1 e sin x sin y e 又（D） 4，所以 e 4 sin x sin y e dxdy 4e e D
二、第一型积分的性质
例 : 设D : ( x 2)2 ( y 1)2 2, 则
2 3
( x y ) d
D
( , )
( x y ) d
D
例 : 若f ( x , y )在D ( x , y ) | x 2 y 2 t 2 上连续,求 1 lim 2 t 0 t
f P gP d f P d gP d
积分可加性：设f P 在 可积，将 分为 1 2 两个可测的部分 1和 2 ，
则f P 在 1 和 2 都可积,且
1
f ( p)d f ( p)d f ( p)d
1 k n
n
f ( P ) ( ) f P d lim
n 0 k 1 k k
一、质量分布模型和第一型积分
其中f(p)为被积函数，Ω为积分区域，dμ为积 分微元。
（1）当 = a , b , f P f x , 则dμ= dx。则
则
n A P d lim Aj Pk k ej 0 j 1 k 1
m
A1 P d , A2 P d , , Am P d
二、第一型积分的性质
1 x 2 例 : 设A( x ) { x , sin x , }, 计算积分 2 1 x 1 A( x ) dx.
0
f ( x, y )d .
D
设 f ( x，y，z )在点(0， 0， 0)的某邻域内连续， Dr : x 2 y 2 z 2 r 2 , 求 1 lim 3 f ( x , y , z )dV . r 0 r Dr
三、矢量函数的第一型积分
A( P ) 设 是可测集，若 是定义在 的向量 函数，我们定义A( P )沿 的第一型积分为
n A( P )d lim A( P ) k
0
k 1
以为向量函数求极限相当于它的各个分量 求极限，若
三、矢量函数的第一型积分
A P A1 P , A2 P , , Am P
A1 P e 1 A2 P e 2 Am P em
上的函数，将 任意细分成可测的小块： 1， 2， ， n， ( k )表示 k的测度， 记 max diam k
任取 Pk k，若和式极限 lim f Pk k 0 k 1 存在切与Ω的分割方式及 Pk k无关，则称之 为函数u= f（p）沿Ω的第一型积分或第一类积分， 记为 d f ,P即
V
（4）当Ω是平面或空间曲线L，其体积 微元是弧长微元，这时称为第一型曲线 积分，记为
f ( P )d f ( P )dS
L
一、质量分布模型和第一型积分
（5）当Ω是有界空间曲面，测度理解为 面积，此时称为第一型曲面积分，记为
f ( P)d f P dS
s
第一型积分的定义可以推广到Ω是n 维 欧氏空间Rn的区域的情况。可以证明，若 Ω是Rn的有界闭区域，f（p）在Ω连续，则 ∫Ωf（p）dμ存在，即f（p）在Ω可积。
将Ω分割成可测的小几何体 1 , 2 , , n ,
一、质量分布模型和第一型积分
) 当λ够小,就可使分割无限细, ( k 表示 k的测度, 任取 Pk k ( k 1, , n ),则分布在 k的质量:
PK K MK f
§1 第一型积分的概念和性质
一、质量分布模型和第一型积分 二、第一型积分的性质
三、矢量函数的第一型积分
一、质量分布模型和第一型积分
1 测度: 把直线段和曲线段的长度、平面区域 和曲面区域面积、空间区域的体积。
2 问题的提出: 设Ω是有可测度的的有界几何 体分布在Ω的密度为f(P) [P∈Ω],
diamk diam( k )表示 k的直径, max 1 k n 表示这些大几何体的最大直径.
n n
物质分布在几何体上的质量:
M MK f PK K
k 1 k 1
n
分割无限细则 lim f Pk k
0
k 1
就可以描述Ω的质量,记成
f Pd
一、质量分布模型和第一型积分
3 第一型积分的概念：
定义1 设 是可测几何体， u f ( P )是定义在
一、质量分布模型和第一型积分
例1.
记
若 f P 1, p ,则
n k
Leabharlann Baidu
d 1d lim
0 k 1
这就是说，积分
d
等于Ω的测度。
二、第一型积分的性质
线性性质 : 设Ω是可测的几何体，函数f（p） 和g(p)在Ω可积,α,β是实常数，则
二、第一型积分的性质
积分不等式：
若f ( p ) 和g ( p ) 在 可积且f ( p ) g ( p ), 则
f ( p)d g( p)d
积分中值定理：
若 f ( p )在闭区域 连续，则 上至少存在一点Q，使得
f pd
f ( Q ) ( )
f P d f x dx
b a
（2）当Ω为平面区域D，测度理解为面积，此时 dμ=dσ，这时称为二重积分，记成
f P d f P d
D
一、质量分布模型和第一型积分
（3）当Ω是空间区域V，测度理解为体积， 这时称为三重积分或体积分，记成
f P d f P dv
二、第一型积分的性质
sin x sin y I e d 例:估计二重积分 D
2 2 其中D为圆形域 x y 4.
解：（x , y） R 2 ,因 1 sin x sin y 1, 故有 1 e sin x sin y e 又（D） 4，所以 e 4 sin x sin y e dxdy 4e e D
二、第一型积分的性质
例 : 设D : ( x 2)2 ( y 1)2 2, 则
2 3
( x y ) d
D
( , )
( x y ) d
D
例 : 若f ( x , y )在D ( x , y ) | x 2 y 2 t 2 上连续,求 1 lim 2 t 0 t
f P gP d f P d gP d
积分可加性：设f P 在 可积，将 分为 1 2 两个可测的部分 1和 2 ，
则f P 在 1 和 2 都可积,且
1
f ( p)d f ( p)d f ( p)d
1 k n
n
f ( P ) ( ) f P d lim
n 0 k 1 k k
一、质量分布模型和第一型积分
其中f(p)为被积函数，Ω为积分区域，dμ为积 分微元。
（1）当 = a , b , f P f x , 则dμ= dx。则
则
n A P d lim Aj Pk k ej 0 j 1 k 1
m
A1 P d , A2 P d , , Am P d
二、第一型积分的性质
1 x 2 例 : 设A( x ) { x , sin x , }, 计算积分 2 1 x 1 A( x ) dx.
0
f ( x, y )d .
D
设 f ( x，y，z )在点(0， 0， 0)的某邻域内连续， Dr : x 2 y 2 z 2 r 2 , 求 1 lim 3 f ( x , y , z )dV . r 0 r Dr
三、矢量函数的第一型积分
A( P ) 设 是可测集，若 是定义在 的向量 函数，我们定义A( P )沿 的第一型积分为
n A( P )d lim A( P ) k
0
k 1
以为向量函数求极限相当于它的各个分量 求极限，若
三、矢量函数的第一型积分
A P A1 P , A2 P , , Am P
A1 P e 1 A2 P e 2 Am P em
上的函数，将 任意细分成可测的小块： 1， 2， ， n， ( k )表示 k的测度， 记 max diam k
任取 Pk k，若和式极限 lim f Pk k 0 k 1 存在切与Ω的分割方式及 Pk k无关，则称之 为函数u= f（p）沿Ω的第一型积分或第一类积分， 记为 d f ,P即
V
（4）当Ω是平面或空间曲线L，其体积 微元是弧长微元，这时称为第一型曲线 积分，记为
f ( P )d f ( P )dS
L
一、质量分布模型和第一型积分
（5）当Ω是有界空间曲面，测度理解为 面积，此时称为第一型曲面积分，记为
f ( P)d f P dS
s
第一型积分的定义可以推广到Ω是n 维 欧氏空间Rn的区域的情况。可以证明，若 Ω是Rn的有界闭区域，f（p）在Ω连续，则 ∫Ωf（p）dμ存在，即f（p）在Ω可积。
将Ω分割成可测的小几何体 1 , 2 , , n ,
一、质量分布模型和第一型积分
) 当λ够小,就可使分割无限细, ( k 表示 k的测度, 任取 Pk k ( k 1, , n ),则分布在 k的质量:
PK K MK f
§1 第一型积分的概念和性质
一、质量分布模型和第一型积分 二、第一型积分的性质
三、矢量函数的第一型积分
一、质量分布模型和第一型积分
1 测度: 把直线段和曲线段的长度、平面区域 和曲面区域面积、空间区域的体积。
2 问题的提出: 设Ω是有可测度的的有界几何 体分布在Ω的密度为f(P) [P∈Ω],
diamk diam( k )表示 k的直径, max 1 k n 表示这些大几何体的最大直径.
n n
物质分布在几何体上的质量:
M MK f PK K
k 1 k 1
n
分割无限细则 lim f Pk k
0
k 1
就可以描述Ω的质量,记成
f Pd
一、质量分布模型和第一型积分
3 第一型积分的概念：
定义1 设 是可测几何体， u f ( P )是定义在
一、质量分布模型和第一型积分
例1.
记
若 f P 1, p ,则
n k
Leabharlann Baidu
d 1d lim
0 k 1
这就是说，积分
d
等于Ω的测度。
二、第一型积分的性质
线性性质 : 设Ω是可测的几何体，函数f（p） 和g(p)在Ω可积,α,β是实常数，则