2020版高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第三章+第一节+导数的概念和运算、定积分和答案

第三章导数及其应用

全国卷5年考情图解高考命题规律把握

1.本章内容在高考中一般是“一大一小”．

2.在选择题或填空题中考查导数的几何意义，有时与

函数的性质相结合出现在压轴小题中．

3.解答题一般都是两问的题目，第一问考查求曲线的

切线方程，求函数的单调区间，由函数的极值点或

已知曲线的切线方程求参数，属于基础问题．第二

问利用导数证明不等式，已知单调区间或极值求参

数的取值范围，函数的零点等问题.2018年全国卷Ⅱ

和全国卷Ⅲ均以不等式的证明为载体，考查了导数

在函数单调性中的应用，总体难度偏大.

第一节导数的概念及运算、定积分

1．导数的概念

(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy

Δx

＝li m

Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ❶

为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)

＝li m

Δx →0 Δy

Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx

.

函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )

的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

(2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．

❷曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线.

(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li m

Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )

Δx

为f (x )的导函数．

(4)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0. 2．基本初等函数的导数公式

3.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

5．定积分的概念

在∫b a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．

6．定积分的性质

(1)∫b a kf (x )d x ＝k ∫b a f (x )d x (k 为常数)； (2)∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫b a f 1(x )d x ±∫b a f 2(x )d x ； (3)∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫b c f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．❸

❸求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算.

7．微积分基本定理

一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )

－F (a )，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即∫b a f (x )d x ＝F (x )|b

a ＝F (

b )－F (a )．

8．定积分的几何意义❹

定积分∫b

a f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )及直线x ＝a ，x ＝

b 之间的曲边梯形

的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S .

①S ＝∫b a f (x )d x ；②S ＝－∫b a f (x )d x ；③S ＝∫c a f (x )d x －∫b c f (x )d x ； ④S ＝∫b a f (x )d x －∫b a g (x )d x ＝∫b a [f (x )－g (x )]d x .

❹(1)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.

(2)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.

[熟记常用结论]

1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论：(1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2；(2)(ln|x |)′＝1x ； (3)⎣⎡⎦⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2

(f (x )≠0)； (4)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )． 3．常见被积函数的原函数