第一节定积分的概念和性质优秀课件
合集下载
《定积分的定义》课件
总结词：定积分具有线性性质、可加性、可减性、可 乘性和可除性。
详细描述：定积分具有一系列的性质，其中最重要的是 线性性质，即两个函数的和或差的积分等于它们各自积 分的和或差；其次，定积分具有可加性和可减性，即函 数在一个区间上的积分等于该区间左端点处的函数值与 区间长度乘积的一半减去右端点处的函数值与区间长度 乘积的一半；此外，定积分还具有可乘性和可除性，即 函数与常数的乘积的积分等于该常数乘以函数的积分， 函数除以常数的积分等于函数乘以该常数的倒数。这些 性质在求解定积分时非常有用。
功的计算
定积分可用于计算力在空间上所做的功，通过将力在空间上进行积 分得到总功。
电磁学中的应用
在电磁学中，电场强度和磁场强度是空间的函数，通过定积分可以 计算电场强度和磁场强度在空间上的分布。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用非常广泛，它 为解决各种实际问题提供了重要的数 学工具。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算 各种函数的定积分，从而解决诸如面 积、体积、长度、平均值、极值等问 题。此外，它也是微分方程求解的重 要基础。
微积分基本定理的证明
总结词
微积分基本定理的证明涉及到了极限理论、实数性质等深奥的数学知识，是数学严谨性的一个典范。
详细描述
证明微积分基本定理需要利用极限的运算性质和实数完备性等数学知识。其证明过程体现了数学的严 谨性和逻辑性，是数学教学中的重要内容。同时，对于理解微积分的本质和深化数学素养具有重要意 义。
03
定积分的计算方法
直接法
总结词
直接计算定积分的基本方法
详细描述
直接法是计算定积分最基本的方法，它基于定积分的定义，通过将被积函数进行微分和 积分，然后进行计算。这种方法适用于一些简单的定积分计算，但对于一些复杂的定积
高等数学定积分的概念及性质课件
2.可积的充分条件：
定理1.函数f (x)在[a,b]上连续，则f (x)在[a,b]可积。 定理2.函数f (x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点， 则f (x)在[a,b]可积。
(1) f (x) 0,
b
a f (x)dx A
定积分等于曲边梯形的面积
(2) f (x) 0,
n
A Ai i 1
2.取近似
y
f (i )
y f (x)
Ai
o
x0 x1 x2
x xi1 i
x
x x xn2 n1 n
2.取近似
任取i xi1, xi , Ai f (i )xi
n
A f (i )xi
i =1
3.取极限
y
分割越来越细（也就是插入的分点越来越多）
确定的常数I，则称f (x)在[a,b]上可积，称此极限I为函数
f (x)在区间[a,b]上的定积分, 记作 b f (x)dx，即 a
b
n
a
f (x)dx lim 0 i1
f (i )xi
积分上限 a,b称为积分区间
积分号
b
n
a
f (x)dx lim 0 i1
b
a f (x)dx A
定积分等于曲边梯形面积的相反数
(3) f (x)在区间a,b变号时,
b
a f (x)dx A1 A2 +A3 A4 A5
定积分等于各部分面积的代数和
例1 计算 b f (x)dx a
解：此曲边梯形是高为1,
底边长为b a的矩形
f (x) 0
b
a dx b a
定积分的概念【高等数学PPT课件】
4
2
ba , 24 4
2 4
2 4
sin xdx x
2 2, 4
1
2
2
4
sin xdx x
2. 2
性质7（定积分中值定理）
如果函数f ( x)在闭区间[a, b]上连续，
则在积分区间[a, b]上至少存在一点,
使
b
f ( x)dx
则 b a
f
(
x
)dx
0.
(a b)
例3 比较积分值 -2 e xdx和 2 xdx的大小.
0
0
解 令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
0 (e x x)dx 0, 2
0 e xdx
0
xdx,
2
2
f ()(b a)
(a b).
a
积分中值公式
证
m(b
a)
b
a
f
( x)dx
M(b
a)
m
1b
b a a
f ( x)dx
M
由闭区间上连续函数的介值定理知
在区间[a, b]上至少存在一个点 ，
使
f
()
b
1
a
b
a
f
(
x)dx,
即
b
a f ( x)dx
dx x
的值.
解
f
(
x)
3
1 sin 3
《定积分的性质》课件
详细描述
设函数f(x)在区间[a,b]上可积，任意c∈[a,b]，则∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx。
函数可加性
总结词
函数可加性是指定积分具有函数可加性，即对于任意分割的两个子区间[a,c]和 [c,b]，其上的定积分之和等于整个区间[a,b]上的定积分。
定积分的几何意义
面积
01
定积分表示曲线与x轴所夹的面积，即曲线下方的区域面积。
体积
02
对于二维平面上的曲线，定积分表示的是面积；对于三维空间
中的曲面，定积分则表示的是体积。
物理应用
03
定积分在物理中有广泛的应用，如计算力矩、功、速度等物理量。Βιβλιοθήκη 定积分的性质线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的积分，可以分别对 每个函数进行积分后再求和或求差。
详细描述
积分第二中值定理说明了一个函数在两个闭 区间上的定积分值相等时，该函数在这两个 区间上必须满足的条件。这个定理在解决一 些等式问题时非常有用，因为它提供了一种 将两个区间的积分等式转化为函数性质的途 径。
积分第三中值定理
总结词
该定理表明如果一个函数在一个闭区间上的定积分值为零，那么该函数在该区间内至少 存在两个点，使得在这些点的函数值等于零。
详细描述
设函数f(x)在区间[a,b]上可积，任意c∈[a,b]，则 ∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx。
03
定积分的比较性质
无穷区间上的比较性质
总结词
定积分在无穷区间上的比较性质是指，如果函数在无穷区间上的积分值与其在有限区间上的积分值相 等，则函数在无穷区间上的积分值也相等。
设函数f(x)在区间[a,b]上可积，任意c∈[a,b]，则∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx。
函数可加性
总结词
函数可加性是指定积分具有函数可加性，即对于任意分割的两个子区间[a,c]和 [c,b]，其上的定积分之和等于整个区间[a,b]上的定积分。
定积分的几何意义
面积
01
定积分表示曲线与x轴所夹的面积，即曲线下方的区域面积。
体积
02
对于二维平面上的曲线，定积分表示的是面积；对于三维空间
中的曲面，定积分则表示的是体积。
物理应用
03
定积分在物理中有广泛的应用，如计算力矩、功、速度等物理量。Βιβλιοθήκη 定积分的性质线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的积分，可以分别对 每个函数进行积分后再求和或求差。
详细描述
积分第二中值定理说明了一个函数在两个闭 区间上的定积分值相等时，该函数在这两个 区间上必须满足的条件。这个定理在解决一 些等式问题时非常有用，因为它提供了一种 将两个区间的积分等式转化为函数性质的途 径。
积分第三中值定理
总结词
该定理表明如果一个函数在一个闭区间上的定积分值为零，那么该函数在该区间内至少 存在两个点，使得在这些点的函数值等于零。
详细描述
设函数f(x)在区间[a,b]上可积，任意c∈[a,b]，则 ∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx。
03
定积分的比较性质
无穷区间上的比较性质
总结词
定积分在无穷区间上的比较性质是指，如果函数在无穷区间上的积分值与其在有限区间上的积分值相 等，则函数在无穷区间上的积分值也相等。
高教社2024高等数学第五版教学课件-5.1 定积分的概念与性质
第五章 定积分
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
由连续曲线 = ()(() ≥ 0)、
轴、直线 = 、 = 所围成的图形
称为曲边梯形。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
y
a
b
（四个小矩形）
x
o
a
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
→0
= max ∆
1≤≤
= σ=1 ± σ=1
=
→0
±
→0
性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.
性质2 被积函数的常数因子可提到积分号的外面，即
)(
总有下式成立：
)( = )( + )( .
例如，若 < < ，则
=
+
，
故 )( = )( − )(
= )( + )( .
证
因为 ≤ () ≤ ,由性质4得
≤ ≤ )( ,
又 = − ,
故( − ) ≤ ( ≤ )( − ).
性质6(积分中值定理)
∈
[, ]，使)(
设函数()在[, ]上连续，则至少存在一点
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
由连续曲线 = ()(() ≥ 0)、
轴、直线 = 、 = 所围成的图形
称为曲边梯形。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
y
a
b
（四个小矩形）
x
o
a
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
→0
= max ∆
1≤≤
= σ=1 ± σ=1
=
→0
±
→0
性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.
性质2 被积函数的常数因子可提到积分号的外面，即
)(
总有下式成立：
)( = )( + )( .
例如，若 < < ，则
=
+
，
故 )( = )( − )(
= )( + )( .
证
因为 ≤ () ≤ ,由性质4得
≤ ≤ )( ,
又 = − ,
故( − ) ≤ ( ≤ )( − ).
性质6(积分中值定理)
∈
[, ]，使)(
设函数()在[, ]上连续，则至少存在一点
《定积分课件》课件
03 定积分的应用
CHAPTER
面积与体积的计算
总结词
定积分在计算平面图形的面积和三维物体的体积方面具有广 泛应用。
详细描述
利用定积分，可以计算出由曲线围成的平面图形的面积，例 如由y=sinx和y=cosx围成的图形面积。此外，定积分还可以 用于计算三维物体的体积，例如球体、圆柱体和旋转体的体 积。
详细描述
在静水压力问题中，压力分布是深度的函数。通过定积分，我们可以计算任意 深度的压力分布，从而了解水下物体的受力情况。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度，理解引 力场的分布规律。
VS
详细描述
在引力场中，场强是位置的函数。通过定 积分，我们可以计算任意位置的场强，从 而了解物体在引力场中的运动规律。
符号表示
02
定积分的符号为∫，读作“拉姆达”。
计算方法
03
定积分的计算方法是通过微积分基本定理，将定积分转化为求
原函数在某点的值。
定积分的几何意义
平面区域面积
定积分可以用来计算平面图形的面积，特别是 当面积元素与坐标轴平行时。
体积
定积分还可以用来计算三维物体的体积，例如 旋转体的体积。
曲线下面积
定积分可以用来计算曲线下在某一区间内的面积。
定积分的计算方法
要点一
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
要点二
详细描述
定积分的计算可以通过多种方法进行。直接法是根据微积 分基本定理，通过求原函数并计算其差值来得到定积分的 结果。换元法是在积分变量进行换元，使得积分简化。分 部积分法则是通过将两个函数的乘积进行积分，将一个积 分转化为另一个积分，从而简化计算。这些方法在计算定 积分时常常需要结合使用。
高等数学第五章第一节定积分的概念及性质课件.ppt
二、定积分定义
a x0 x1 x2 xn b ,
任一种分法 任取
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数
上的定积分,
记作
b
a
f
( x) dx
即
b a
f
(
x)
dx
lim
0
n
i1
f
(
i
)
xi
o
a x1
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
在区间
i
x xi1xi b
证: f (i ) xi 0
i1
b
n
a
f
( x) d
x
lim
0 i1
f
(i ) xi
0
推论1. 若在 [a , b] 上
则
推论2.
(a b)
证: f (x) f (x) f (x)
b
b
b
a f (x) dx a f (x) dx a f (x) dx
即
b
b
a f (x) dx a f (x) dx
使
因此定理成立.
说明:
• 积分中值定理对
• 可把
b
a f (x) dx f ( )
ba
因
y f (x) y
oa bx
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例4. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均 速度.
解: 已知自由落体速度为
v gt
故所求平均速度
1 1 g T 2 gT
第一节
第五章
定积分的概念及性质
一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质
高二数学-定积分概念-课件
0
( x f (t)dt)2
0
( x f (t)dt)2
0
0
依题意，在[0, x](x 0)上, f (t) 0, (x t) f (t) 0,
且(x t) f (t) 0,故
x
f (t)dt 0,
x
(x t) f (t)dt 0,
0
0
F(x) 0(x 0),从而F(x)在(0,)内单调增加。
(2) lim 4 sin n xdx 0. n 0
解： （利用积分中值定理）
(1)
1 2
xn
dx
n
(1 0)
(0 1)
0 1 x 1 2
2
原式 lim n 0.
n 2(1 )
(2)
4
sin
n
xdx
sin
n
(
0)
0
4
原式 lim sin n 0.
n 4
(0 )
n
n
(iii)求和： A Ai f (i )xi
i1
i1
o a xi1i xi
bx
(iv)取极限：令 max{ x1,xn}，则曲边梯形面积
n
A lim 0 i1
f (i )xi
1.定积分定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，
(i)分割： 在[a,b]内插入若干个分点a x0 xn1 xn b，
x
0
(1) (1) 2
例4 设f (x)在[0,)内连续，且f (x) 0.证明
x
tf (t)dt
F(x)
0 x
在(0,)内卫单调增加函数。
0 f (t)dt
证
x
x
定积分第一节定积分的概念及性质-25页PPT精品文档
性质1 a b [f(x ) g (x )d ] x a b f(x ) d x a b g (x ) d.x
性质2
b
b
a kf ( x)dx ka f ( x)dx
(k 为常数).
性质3 假 设 a<c<b
a bf(x )d x a cf(x )d x c bf(x )d.x
部分路程值
某时刻的速度
n
（2）求和 s v(i )Dti
i1
（3）取极限 m D t 1 ,a D t2 , x ,D tn } {
n
路程的精确值 slim 0i1v(i)Dti
二、定积分定义
a x 0 < x 1 < x 2 < < x n b ,
任一种分法 任取
b
n
a
f
(x)dx
lim
0 i1
f
(xi )Dxi
积分下限 被 积 函 数
被积 积分 表变 达量
积 分 和
式
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即
b
f (x)dx
a
b f (t ) dt
b
f (u)du
a
a
定积分存在的条件
定理1. 定理2.
(4)取极限:设max{Dx1, Dx2,, Dxn}, 曲边梯形的面积为
n
x A l 0 i 1 f ( i ) D x i i m
2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度vv(t)是 时间间隔[T1,T2]上t 的一个连续函数，且 v(t)0，求物体在这段时间内所经过的路程.
《定积分的概念》课件
微积分基本定理是定积分计算的核心 ，它建立了定积分与不定积分之间的 联系。
详细描述
微积分基本定理指出，一个定积分可 以用被积函数的不定积分来表示。这 个定理是计算定积分的基石，因为它 提供了一种将定积分问题转化为求不 定积分问题的途径。
பைடு நூலகம்
微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用广泛，包括计算面积、体积、速度和加速度等。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算各种物理量，如物体的运动速度、加速度，以及平面图形的面积 等。这些应用在科学、工程和经济学等领域都有广泛的应用。
定积分的计算方法
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法 和分部积分法等。
VS
详细描述
直接法是直接利用微积分基本定理计算定 积分的方法；换元法是通过换元公式将复 杂的积分转化为简单的积分；分部积分法 则是通过将两个函数的乘积进行求导，再 利用微积分基本定理计算定积分的方法。 这些方法在解决实际问题时各有优缺点， 需要根据具体情况选择合适的方法。
通过将物体的运动轨迹分割成无数小的线段，再利用定积分计算这些线
段上的速度和加速度的积分和，可以求得物体的整体速度和加速度。
定积分在经济学中的应用
计算边际成本和边际收益
在经济学中，定积分可以用于计算边际成本和边际收益，这是通过将成本或收益函数在一定的范围内进行分割，再利 用定积分计算这些分段上的成本或收益的积分和，可以求得整体的边际成本和边际收益。
预测市场需求
通过将市场需求函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的需求函数的积分和，可以预测整体的 市场需求。
评估投资项目的风险
通过将投资项目的风险函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的风险函数的积分 和，可以评估整体的投资项目的风险。
详细描述
微积分基本定理指出，一个定积分可 以用被积函数的不定积分来表示。这 个定理是计算定积分的基石，因为它 提供了一种将定积分问题转化为求不 定积分问题的途径。
பைடு நூலகம்
微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用广泛，包括计算面积、体积、速度和加速度等。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算各种物理量，如物体的运动速度、加速度，以及平面图形的面积 等。这些应用在科学、工程和经济学等领域都有广泛的应用。
定积分的计算方法
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法 和分部积分法等。
VS
详细描述
直接法是直接利用微积分基本定理计算定 积分的方法；换元法是通过换元公式将复 杂的积分转化为简单的积分；分部积分法 则是通过将两个函数的乘积进行求导，再 利用微积分基本定理计算定积分的方法。 这些方法在解决实际问题时各有优缺点， 需要根据具体情况选择合适的方法。
通过将物体的运动轨迹分割成无数小的线段，再利用定积分计算这些线
段上的速度和加速度的积分和，可以求得物体的整体速度和加速度。
定积分在经济学中的应用
计算边际成本和边际收益
在经济学中，定积分可以用于计算边际成本和边际收益，这是通过将成本或收益函数在一定的范围内进行分割，再利 用定积分计算这些分段上的成本或收益的积分和，可以求得整体的边际成本和边际收益。
预测市场需求
通过将市场需求函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的需求函数的积分和，可以预测整体的 市场需求。
评估投资项目的风险
通过将投资项目的风险函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的风险函数的积分 和，可以评估整体的投资项目的风险。
定积分的性质PPT课件(2024版)
例 2
估计积分
0
3
1 sin 3
dx x
的值.
解
f
(
x)
3
1 sin3
x
,
x [0, ],
0 sin3 x 1,
1 4
3
1 sin3
x
1 3
,
1dx
04
0
3
1 sin3
dx x
1dx, 03
4
0
3
1 s in3
dx x
. 3
第11页/共24页
例 3
估计积分
2
4
使
x2 t sin3
x
t
f
(t )dt
sin 3
f
()( x
2
x),
x2
3
lim t sin
x x
t
f
(t)dt
2 lim
sin 3
f
(
)
2 lim 3 f ( ) 6.
第14页/共24页
1
*例5 设 f ( x) 在[0, 1] 上可微，且满足 f (1) 2 2 xf ( x)dx ， 0
第20页/共24页
5、下列两积分的大小关系是：
（1） 1 x 2dx _____ 1 x 3dx
0
0
（2） 2 ln xdx _______ 2 (ln x)2 dx
1
1
（3）
1 e x dx _______
1
( x 1)dx
0
0
二、证明：
b
kf ( x)dx k
b f ( x)dx（ k 是常数 ）.
补充：不论 a,b,c 的相对位置如何, 上式总成立.
高中数学(人教版)定积分的概念与性质课件
b
a
f ( x )dx
积分上限
b
[a , b ]
积分区间
n
f ( i ) xi a f ( x) d x lim 0 i 1
积分下限 被 积 函 数
b
被 积 表 达 式
T2 T1
积 分 变 量
积 分 和
注 (1)
A f ( x )dx , s v ( t )dt .
a a
性质2 设 a c b , 则
b a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
可加性
不论a,b,c的相对位置如何,上述等式均成立
性质3 如果在区间 [a , b ]上 f ( x ) 1,那么
1dx dx b a
a a
a x 0 x1 x 2 x n 1 x n b .
2) 取近似.
T1 t 0 t1 t 2 t n1 t n T2
2) 取近似.
T1
Ai f ( i ) x i
n
3) 求和. A A i f ( i )xi
i 1
n
si v ( i )t i
)x i 4) 取极限. A lim f ( i取极限
0
i 1
n
i 1
4) 取极限.
不同点： 背景不同
相同点： 方法相同
（一）引例
1．曲边梯形的面积 1) 分割. 在[a , b]中任意插入 n –1 个分点 2.变速直线运动的路程 1) 分割. 在[T1 , T2]中任意插入 n –1 个分点
b a
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2
ti ti ti1
si v( i )ti
部分路程值
某时刻的速度
n
（2）求和 s v( i )ti
i 1
（3）取极限 max{t1, t2 ,, tn }
n
路程的精确值
s
lim
0
i 1
v(
i
)ti
二、定积分的定义
n
并作和S f (i )xi，
i 1
记 max{x1 , x2 ,, xn }，如果不论对[a, b]
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当 0时，和S 总趋于
确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分，记为
f (i )xi
k lim 0 i1
f (i )xi
b
k a f ( x)dx.
性质3 假设a c b
b
a
f
( x)dx
c
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx .
补充：不论 a,b,c的相对位置如何, 上式总成立.
例 若 a b c,
c
a
f ( x)dx
b
a
f
(
x
)dx
c
b
f
( x)dx
第一节定积分的概 念和性质
一、定积分问题举例
实例1 （求曲边梯形的面积）
y
曲边梯形由连续曲线
y f (x)
y f ( x)( f ( x) 0)、
x轴与两条直线x a 、
x b所围成.
A?
oa
bx
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
)]xi
n
n
lim
0
i 1
f (i )xi
lim 0
i 1
g(i )xi
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x
)dx.
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质2
abkf
(
x
)dx
k
b
a
f
(
x
)dx
(k 为常数).
证
bkf a
( x)dx
lim
0
n i 1
kf
(i )xi
n
n
lim k 0 i1
定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有界，在[a,b]中任意插入
若干个分点 a x x x x x b
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为
xi xi xi1，(i 1,2,)，在各小区间上任取
一点i（i xi ），作乘积 f (i )xi (i 1,2,)
曲边梯形面积为
A lim 0 i1
f (i )xi
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v(t ) 是 时 间 间 隔 [T1 ,T2 ] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t ) 0，求物体在这段时间内所经过的路程.
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
例1 利用定义计算定积分 1 x2dx. 0
解
将[0,1]n等分，分点为 xi
i ，(i n
1,2,, n)
小区间[ xi1 , xi ]的长度xi
1 ，(i n
1,2,, n )
取i xi ，(i 1,2,, n)
n
n
n
f (i )xi i2xi xi2xi ,
i 1
i 1
i 1
则
b
a
f
(
x)dx
c
a
f
(
x)dx
c
b
f
(
x)dx
c
b
a f ( x)dx c f ( x)dx.
（定积分对于积分区间具有可加性）
性质4
b
a
上任取一点
，
i
o a x1
b xi1i x i xn1
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
i 1
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{x1, x2 ,xn } 趋近于零 ( 0) 时，
n
n
i 1
i n
2
1 n
1 n3
n
i 1
i
2
1 n3
n(n
1)(2n 6
1)
1 6
1
1 n
2
1 n
,
0 n
1 x2dx
0
n
lim 0 i1
i 2xi
lim 1 1 1 2 1 1 . n 6 n n 3
三、定积分的性质
对定积分的补充规定:
（1）当a
b时， b a
积分上限 b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
积分和
f (i )xi
积分下限
被 积 函 数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表
变
达 式
量
注意：
（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，
而与积分变量的字母无关.
b
a
f
( x)dx
b
a
f
(t )dt
b
a
பைடு நூலகம்
f
(u)du
（2）定义中区间的分法和i 的取法是任意的.
定积分的几何意义
f ( x) 0, f ( x) 0,
b
a
f
( x)dx
A
曲边梯形的面积
b
a
f
( x)dx
A
曲边梯形的面积 的负值
A1 A2
A3 A4
b
a f ( x)dx
A1 A2
A3
A4
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f (x) 的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代数和． 在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面 积取负号．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
曲边梯形如图所示， 在区间[a,b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b,
把区间[a,b] 分成 n y
个小区间[ xi1, xi ]， 长度为 xi xi xi1;
在每个小区间[ xi1, xi ]
f
(
x)dx
0；
（2）当a
b 时， b a
f
( x)dx
a
b
f
( x)dx .
说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小．
性质1
b
a [
f
(
x)
g(
x)]dx
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx
.
证
b
a[ f ( x) g( x)]dx
n
lim
0
[
i 1
f
( i
)
g( i
（3）当函数 f ( x)在区间[a,b]上的定积分存在时，
称 f ( x)在区间[a,b]上可积.
存在定理
定理1 当函数 f ( x)在区间[a, b]上连续时， 称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
定理2 设函数 f ( x)在区间[a, b]上有界， 且只有有限个间断点，则 f ( x)在 区间[a, b]上可积.