第一节 定积分的概念与性质
高等数学-定积分的概念与性质
= σ=1 ( ) .
→0
其中()称为被积函数，()称为被积表达式，称为积分变量,
[, ]称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限．
15
02 定积分的定义
注（1）定积分)( 是一个数值，它只与被积函数()
和积分区间[, ]有关，而与积分变量的符号无关，即
(2)近似（“以直代曲”）
在区间 [−1 , ] 上任取一点 ，以 ( ) 为高，
y
y=()
以 为底，作小矩形．小矩形的面积为
( ) ，用该结果近似代替[−1 , ]上的小
O
a
x i -1 ξ i x i
b
x
曲边梯形的面积 ，即
≈ ( ) （ = 1, 2, ⋯ , ）．
)(
=
)(
=
)( ．
（2）定积分存在，与区间的分法和每个小区间内 的取法无关.
Hale Waihona Puke （3）按照定积分的定义，记号)( 中的, 应满足关系
< ，为了研究的方便，我们补充规定：
① 当 =
② 当 >
时， = )( = )( 0；
在区间 [1,2] 内， 0 ≤ < 2 < 1 ，
则( )3 < .由性质5.5的推论1，得
2
1
>
2
1 ( )3 ．
28
极限，得 σ=1 ( ) .
→0
如果对于[, ]的任意分法及小区间[−1 , ]上点 的任意
取法，上述极限都存在，则称函数()在区间[, ]上可积，
第一节定积分的概念与性质.
定积分定积分与不定积分是两个不同的概念，前者是数，后者是函数族，但两者之间有着密切的联系．§1 定积分的概念与性质【目的要求】1、了解定积分的定义；2、了解定积分的性质、定积分存在的必要条件和充分条件；3、会熟练应用第一中值定理和估值定理．【重点难点】定积分的概念与定积分的性质．【教学内容】一、定积分概念引例1. 曲边梯形的面积在初等数学中，已经解决了圆、三角形、矩形、梯形等平面图形的面积问题，而对由任意曲线所围成的一般平面图形的面积计算问题尚未解决，其原因是用初等数学方法解决这类问题相当困难. 下面将介绍一种求曲边梯形的面积的方法，有了这种方法就可以解决一般封闭图形的面积问题.例1所谓曲边梯形，是指由连续曲线()(()0)y f x f x=≥，x轴以及直线==所围成的图形（如图6-1所示）. 现计算它的面积A.,x a x b图6-1分析从图中可以看出，当()a b上为常数时，图形变成矩形，其y f x=在[,]面积为：面积=底⨯高.而对于一般的曲面梯形，其高度是变化的，因而不能直接按矩形面积公式来求，然后，由于()y f x =在区间[,]a b 上的变化是连续，在很小的一段区间上它的变化量非常小. 因此，通过分割曲边梯形的底边[,]a b ，将整个曲边梯形分成若干个小曲边梯形，而每个小曲边梯形的底边长度非常小，并且其面积近似于一个小矩形的面积. 然后，将这些小矩形的面积相加，就是整个曲边梯形面积的近似值. 当然，随着分割的份数增多，近似程度越来越高.当无限分割[,]a b ，令每个小曲边梯形的底边长度趋于0，那么整个近似值的极限就是我们要求的曲边梯形的面积.先将详细过程叙述如下：(1) 分割：把区间[,]a b 任意分成n 份，设分点为012···n a x x x x b =<<<<=，于是每个小曲边梯形的长度为1i i i x x x -∆=-.过每个分点做x 轴的垂线，则可把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，再设每个小曲边梯形面积为i A .(2) 取近似：对于第i 个小曲边梯形，在其底边1[,]i i x x -上任取一点i ξ，并以()i f ξ为高作矩形，并用该矩形的面积近似替代每个小曲边梯形的面积，即()i i i A f x ξ≈⋅∆，其中1,2,,i n =.(3) 求和：将所有小矩形的面积求和，即得到原曲边梯形的近似面积1()ni i i A f x ξ==⋅∆∑.(4) 取极限：无限分割区间[,]a b ，使所有小区间的长度趋于0. 为此，记{}12max ,,,n x x x λ=∆∆⋅⋅⋅∆.当λ趋向于0时，1()ni i i A f x ξ==⋅∆∑的极限就是曲边梯形的面积A ，即1lim ()ni i x i A f x ξ→==⋅∆∑.2. 成本问题例 2 某公司对其产品的变化情况满足如下关系式：()5003xf x =-.其中x 表示该产品的数量；()f x 表示当产品数量为x 时，在增加一个单位产品所增加的成本（即边际函数）. 试求当产品从300件增加到900件时该公司所增加的成本C .分析 如同本教材前面章节对边际函数所描述的那样，在经济和商务中遇到的函数自变量往往取正整数，其函数值也是离散型的. 为数学处理方便，下面将其连续化，转化成具有连续倒数的函数来处理. 这是许多结果只能看成近似的，但不影响对实际问题的分析.(1) 分割： 该公司产品产量从300件增加到900件，将其连续化，把区间[300,900]任意分成n 份，设分点为012300900n x x x x =<<<<=.(2) 取近似：考虑产量从1i x -增加到i x 时所增加的成本，1()i f x -作为边际成本在1i x -的值表示当产量为1i x -时增加单位产量所增加的成本. 当产品数量增加i x ∆单位时，所增加的成本为1()i i f x x -⋅∆.(3) 求和：当产量从300增加到900时，所增加的总成本为11()ni i i f x x -=⋅∆∑.(4) 取极限：为了更精确估计，同样可设12max{,,,}n x x x λ=∆∆∆，当λ趋向于0时，所增加的总成本为101lim ()ni i i C f x x λ-→==∆⋅∆∑.二、定积分定义抛开这些问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括，我们就可以抽象出下述定积分的定义.定义 1.1 设函数()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点012···n a x x x x b =<<<<=，把区间[,]a b 分成n 个小区间01121[,],[,],,[,]n n x x x x x x -⋅⋅⋅，各个小区间的长度依次为1102211,,,n n n x x x x x x x x x -∆=-∆=-⋅⋅⋅∆=-.在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ1()i i i x x ε-≤≤，作函数值()i f ε与小区间长度i x ∆的乘积()i i f x ξ∆(1,2,,)i n =⋅⋅⋅，并作和1()ni i i S f x ξ==∆∑.记{}12max ,,,n x x x λ=∆∆⋅⋅⋅∆，如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称函数()f x 在区间[,]a b 上可积，并称这个极限I 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分（简称积分），记作()d ba f x x ⎰，即()d baf x x ⎰=I =01lim ()ni i i f x λξ→=⋅∆∑，其中()f x 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[,]a b 称为积分区间.根据积分定义，例1中的曲边梯形的面积A 是函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，即()d ba A f x x =⎰；例2中当产量从300件增加到900件时，所增加的成本为900300()d C f x x =⎰.关于定积分，作以下几点说明：(1) 函数()f x 在区间[,]a b 上可积是指积分()d ba f x x ⎰存在，即无论区间如何分割以及i ξ如何选取，01lim ()ni i i f x λξ→=⋅∆∑始终存在.(2) 定积分表示一个数值，它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量用何字母表示无关，即有()d ()d ()d ()d bb b baaaaf x x f y y f t t f u u ===⎰⎰⎰⎰.(3) 在定义中，记号()d b af x x ⎰只有当a b <时才有意义，而当a b =或a b >是没有意义的.但为以后计算及应用方便起见，规定：()d 0aaf x x =⎰， ()d ()d ()b aabf x x f x x a b =->⎰⎰.(4) 几何意义：定积分()d b af x x ⎰的几何意义为由曲线()y f x =，x 轴及直线x a =，x b =所围成的封闭图形在x 轴上方与下方面积的代数和，其中x 轴上方面积为正，下方面积为负.对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x 在区间[,]a b 上满足怎样的条件，()f x 在[,]a b 上一定可积？这个问题我们不作深入讨论，而只给出以下两个充分条件.定理 1.1 设函数()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积.定理 1.2 设函数()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上可积.最后，举一个按定义计算定积分的例子. 例 3 利用定义计算定积分120d x x ⎰.解 因为被积函数2()f x x =在区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所 以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关. 因此，为了便于计算，不妨把区间[0,1]分成n 等份，分点为i ix n=，1,2,1i n =-；这样，每个小区间1[,]i i x x -的长度1i x n∆=，1,2,i n =；取i i x ξ=，1,2,i n =.于是，得和式22111()n nniiii i i i i i f x x x x ξξ===⋅∆=∆=∆∑∑∑=2231111nn i i i i n n n ==⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭∑∑=311(1)(21)6n n n n ⋅++① =111(1)(2)6n n ++.当0λ→即n →∞时，取上式右端的极限. 由定积分的定义，即得所要计算的积分为1220011111d lim lim (1)(2)63ni i n i x x x n n λξ→→∞==∆=++=∑⎰. 二、定积分基本性质由定积分的定义与极限运算法则和性质，可以推出下列定积分的基本性质和积分中值定理（下面所涉及的函数在没说明情况下均表示在讨论区间上可积）.1．定积分的基本性质 性质 1[]()()d ()d ()d bbbaaaf xg x x f x x g x x±=±⎰⎰⎰. 对有限个函数1()f x ，2()f x ，,()n f x 亦成立，即[]12()()() d bn afx f x f x x ±±±⎰12()d ()d ()d b b bn aaa f x x f x x f x x =±±±⎰⎰⎰.性质 2 若k 为常数，则()d ()d bbaak f x x k f x x =⎰⎰.性质 3 （区间可加性）()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰.若()f x 连续且c 介于a 与b 之间，即a b c <<时，该性质从几何意义看是显然的，当不介于a 与b 之间，该性质仍然成立. 因为当a b c <<时，()d ()d ()d cb c a a b f x x f x x f x x =+⎰⎰⎰， ()d ()d ()d bc c a a bf x x f x x f x x =-⎰⎰⎰.因为 ()d ()d cba cf x x f x x =-⎰⎰，所以()d ()d (()d bcbaacf x x f x x f x x=--⎰⎰⎰ ()d()d cb acf x x f x x =+⎰⎰. 当c a b <<时，可类似证明.性质 4 如果在区间[,]a b 上，有()()f x g x ≤，则()d ()d ()bbaaf x xg x x a b ≤<⎰⎰.性质 5 （估值定值）如果函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值与最小值分别为M 与m ，则()()d ()()ba mb a f x x M b a a b -≤≤-<⎰，即 ()d baf x xm M b a≤≤-⎰.证 因为()m f x M ≤≤，由性质4得d ()d d bb baaam x f x x M x ≤≤⎰⎰⎰，再由性质2和d b ax b a =-⎰，即有 ()()()d b am b a f x xM b a-≤≤-⎰. 估计定值的几何意义是曲边梯形面积介于以区间[,]a b 为底，以最小纵坐标为高的矩形面积与以最大纵坐标为高的矩形面积之间. 性质5可用来估计积分值的大致范围.性质 6 （积分中值定理）设函数()y f x =在区间[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少存在一点()a b ξξ≤≤，使()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰.证 因为()y f x =在[,]a b 上连续，由闭区间上连续函数的性质可知，()y f x =在[,]a b 上必存在最大值M 和最小值m .若a b =，显然.若a b <，利用性质5，并将不等式除以b a -，得1()d ba m f x x Mb a≤≤-⎰. 根据闭区间上连续函数的介值定理，在[,]a b 上至少存在一点，使得1()()d ba f f x xb aξ=-⎰. 即()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰. 几何意义（见图6-2）是在曲边梯形底边上至少存在一点ξ，使得该曲边梯形面积等于同一底边、髙为()f ξ的矩形面积.图 6-2其中，1()()d baf f x x b a ξ=-⎰称为函数()y f x =在区间[,]a b 上的平均值.。
定积分的概念与性质(new)
0 e xdx
0
xdx,
2
2
于是
2 e xdx
2
xdx.
0
0
21
性质6
设 M 及m分别是 f ( x)在[a, b]上的最大值及最小值，
则
m(b
a)
b
a
f
(
x)dx
M
(b
a).
证 m f (x) M,
b
b
b
a mdx a f ( x)dx a Mdx,
6
上述两个问题的共性: 1、解决问题的方法步骤相同 :
（1）分割（2）近似（3）求和（4）取极限
2、极限形式一样
曲边梯形面积：
n
A lim 0
i 1
f (i )xi
n
变速直线运动路程：
S
lim
0
i 1
v(i )ti
7
二、定积分的定义
定义 设 f (x)在[a,b]上有界. 在[a,b]内任意插入
i n
n
1
sin xdx.
0
i xi
16
四、定积分的性质
对定积分的补充规定:
（1）当a
b时， b a
f
(
x)dx
0；
（2）当a
b时， b a
f
( x)dx
a
b
f
( x)dx.
在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑 积分上下限的大小．
性质1
b
b
b
第一节定积分的概念与性质
第五章定积分5.1 定积分的概念与性质数学与统计学院武忠祥12定积分问题举例1主要内容34定积分的定义定积分的性质12定积分问题举例1主要内容34定积分的定义定积分的性质1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1) 分bx x x x x x x a n n k k =<<<<<<<<=--11210 a bxyo1x 1-k x k x 1-n x1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1) 分b x x x x x x x a n n k k =<<<<<<<<=--11210 a bxyo1x 1-k x k x 1-n x kξ2) 匀任取)()(1--=∆∆≈∆k k k k k k x x x x f A ξ],[1k k k x x -∈ξ1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1) 分b x x x x x x x a n n k k =<<<<<<<<=--11210 a bxyo1x 1-k x k x 1-n x kξ2) 匀任取)()(1--=∆∆≈∆k k k k k k x x x x f A ξ],[1k k k x x -∈ξ3) 合knk kx f ∆∑=1)(ξ≈A1 定积分问题举例例1曲边梯形的面积问题abxyo)(x f y =面积,)(k x f ≡,)(k x f ≡/)(a b k A -=(设f 是[a ,b ]上的非负连续函数)1) 分b x x x x x x x a n n k k =<<<<<<<<=--11210 a bxyo1x 1-k x k x 1-n x kξ2) 匀任取)()(1--=∆∆≈∆k k k k k k x x x x f A ξ],[1k k k x x -∈ξ3) 合knk kx f ∆∑=1)(ξ≈A 4) 精},,max{21n x x x d ∆∆∆= knk kd x f ∆∑=→1)(lim ξ=A两个问题的共性：1) 求解具有同样特征的量2) 解决问题的思想方法和步骤相同3) 都归结为同样数学结构的和式极限的计算体现在两个方面：(1)都是分布在区间上的量，且对区间具有可加性；(2)量是非均匀分布在区间上的.思想方法都是四步：分、匀、和、精，核心都是匀、精，在均匀分布时都采用积运算.都是乘积的和式的极限，只是函数的表示不同罢了.12定积分问题举例1主要内容34定积分的定义定积分的性质1）定义（定积分）],,[b a 任意划分bx x x x x a n n =<<<<<=-1210 1）分],,[1k k k x x -∈ξ任取.)(k k x f ∆ξ做乘积2）匀3）合knk kx f ∆∑=1)(ξ时怎样选取怎样划分如果无论0,,],[→d b a k ξk nk kx f ∆∑=1)(ξ4）精趋于同一常数，⎰b adx x f )(knk k d x f ∆=∑=→)(lim 1ξ2 定积分的定义,],[)(上的有界函数是定义在设b a x f .],[)(上可积在则称b a x f=⎰b ax x f d )(k nk k d x f ∆∑=→1)(lim ξ；代替所以不能用不等价与）0,01→∞→+∞→→d n n d 注：2）两个任意性；.],[)()(3有关和仅与）b a x f dx x f ba⎰.],[称为积分区间b a 积分是处理均匀量的积运算在处理相应非均匀量中的发展⎰=baxx f A d )(⎰=batt v s d )(积分上限积分下限被积函数积分变量被积式积分和时，b a >⎰b a dx x f )(时，b a =0)(=⎰badx x f ②补充规定：①⎰-=abdxx f )(曲边梯形面积曲边梯形面积的负值1A2A 3A 2）定积分的几何意义abxyo)(x f y =,)(变号x f ⎰>ba dx x f x f )(,0)(A =⎰<b a dx x f x f )(,0)(A-=312)(A A A dx x f b a--=⎰x120.x d x ⎰例4 计算定积分3）定积分存在的条件可积的充分条件可积有界可积性计算上连续；在],[)()1b a x f .],[)()2断点上只有有限个第一类间在b a x f knk k bad x f dx x f ∆=∑⎰=→1)(lim )(ξ个子区间的右端点，则有12定积分问题举例1主要内容34定积分的定义定积分的性质],[b a R 3.定积分的性质Riemann积分R b a R g f ∈∈βα,],,[,],[b a R g f ∈+βα⎰⎰⎰+=+ba b ab a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([βαβα1）线性性质：设，则且I Ic b a ∈,,2)对区间的可加性：设是有限闭区间，)(I R f ∈⎰⎰⎰+=b a ca b c dx x f dx x f dx x f )()()(且，则k b c k k k c a x f x f ∆+∆=∑∑)()(],[],[ξξk b a k x f ∆∑)(],[ξ证设,b c a <<。
定积分的概念和性质
部分功的值
某一小段的力
（3）求和
n
W F (i )xi
i 1
（4）取极限 m1iaxn {xi}
n
功的精确值
W
lim
0
i 1
F (i )xi
二、定积分的定义
定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有定义，在 (a, b) 中任意插入
n 1 个分点 a x x x x x b
lim
0
i
1
g(
i
)xi
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx.
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质2
b
b
a kf ( x)dx k a f ( x)dx
(k 为常数).
证
b
kf
a
( x)dx
lim
0
n i 1
kf
(i
)xi
n
n
lim k
0 i1
f (i )xi
k lim 0 i1
底边， 以曲线 y f ( x)
为曲边的曲边梯形的面积
等于同一底边而高为 f ( ) o a b x 的一个矩形的面积。
1
例4 试估计积分 exdx 的值。 0
解：在区间0,1 上，f (x) ex 的最大值、
最小值分别为e 和 1 ，由性质6 得：
1
1(1 0) fb上的定积分存在，就称函数 f ( x) 在
a, b上可积. 称为分割的模或细度.
利用“ ” 语言，定积分的定义可精确地 表述为：
设有常数 I ，如果对任意给定的 0 ，
总存在 0 ，使得对于区间 a,b 的任意
5.1 定积分的概念与性质
lim ( )Δ =
→0
=1
则称这个极限为函数()在区间[, ]上的定积分,记为
න ()d
第一节 定积分的概念与性质
定积分
第五章
即
积分上限
定积分
积分和
න ()d = = lim ( )Δ
积分下限
→0
=1
被积被
积分积
[, ]积分区间 函 变 表
[, ]
[, ]
( − )≤ න ()d ≤( − ) ( < )
证
∵ ≤()≤,
∴ න d≤ න ()d≤ න d ,
( − )≤ න () d≤( − ).
第一节 定积分的概念与性质
此性质可用于
估计积分值的
第五章
8. 定积分中值定理
如果 () 在区间[, ]上连续, 则至少存在一点 ∈ [, ], 使
න ()d = ( )( − )
证
设()在[, ]上的最小值与最大值分别为 , ,
1
න ()d≤
则由性质7可得 ≤
−
根据闭区间上连续函数介值定理, ∃ ∈ [, ], 使
= lim ( )
=
lim ( ) ⋅
→∞
− →∞
故它是有限个数的平均值概念的推广.
第一节 定积分的概念与性质
把区间[, ]分成个小区间,
[0 , 1 ], [1 , 2 ], ⋯ , [−1 , ], ⋯ , [−1 , ]
各个小区间的长度依次为
定积分的概念及性质
一、定积分的概念及性质定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。
要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。
被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。
定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。
二、定积分的计算定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。
在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。
定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。
尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。
例如用换元法来计算定积分⎰22cos sin πxdx x ，如果计算过程中出现了新的变元：x u sin =，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即⎰202cos sin πxdx x x u sin =313110312==⎰u du u 。
可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。
但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即=⎰202cos sin πxdx x 31sin 31sin sin 203202==⎰ππx x xd 。
在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。
后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。
5-1 定积分的概念与性质
a x0 x1 x2
n
x n 1 x n b .
n
T1 t0 t1 t 2
T1
t n1 t n T2
T2 v(t )
2) 取近似. Ai f ( i )x i
2) 取近似. si v( i )t i
3) 求和. A A i f ( i )xi
b
(2) 定积分是一个数! 区间分法 被积函数 与 ξi的取法 无关 有关， (3) 定积分仅与 积分区间 积分变量记法 b b b a f ( x) d x f (t ) d t f (u ) d u
a
a
（三）可积条件
定理1 设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积.
4) 取极限. A lim f ( i )x i
0
i 1 n
i 1
4) 取极限.
不同点：背景不同
相同点：方法相同 数学形式相同
lim f ( i )x i
0
i 1
n
（二）定义
设函数 f ( x ) 在 [a , b] 上有界，在 [a , b] 中任意插入若干个分点 a x0 x1 x2 xn b , 把区间[a , b] 分成 n 个小区间
y
(1) xdx
0 5
o
y
(2)
a a
5
x
a 2 x 2 dx
a
o
a x
二、定积分的性质
约定
当a b时,
当a b时,
b
a b
f ( x )dx 0 f ( x )dx f ( x )dx
b
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二、定积分定义
a x0 x1 x2 xn b ,
任一种分法 任取
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数
上的定积分,
记作
b
a
f
( x) dx
即
b a
f
(
x)
dx
lim
0
n
i1
f
(
i
)
xi
o
a x1
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
在区间
i
x xi1xi b
证: f (i ) xi 0
i1
b
n
a
f
( x) d
x
lim
0 i1
f
(i ) xi
0
推论1. 若在 [a , b] 上
则
推论2.
(a b)
证: f (x) f (x) f (x)
b
b
b
a f (x) dx a f (x) dx a f (x) dx
即
b
b
a f (x) dx a f (x) dx
使
因此定理成立.
说明:
• 积分中值定理对
• 可把
b
a f (x) dx f ( )
ba
因
y f (x) y
oa bx
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例4. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均 速度.
解: 已知自由落体速度为
v gt
故所求平均速度
1 1 g T 2 gT
第一节
第五章
定积分的概念及性质
一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质
定积分概念与性质
S v( i )t i ;
b
n
n
i =1
a
首页
b
f (x)dx = lim f (i )xi .
0
i=1
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二、定积分定义
定积分的定义
a
b
f (x)dx = lim f (i )xi .
0
i=1
n
•定积分各部分的名称 n ————积分符号, f (i )xi ———积分和. i =1 f(x) ———被积函数, f(x)dx ——被积表达式, x ————积分变量, a ————积分下限, b ————积分上限, [a, b]———积分区间，
c b a c
注：值得注意的是不论a, b, c的相对位置如何上式总成立.
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三、定积分的性质
•性质1 性质 1 •性质2 性质 2 •性质3 性质 3 •性质4 性质 4
a[ f (x) g(x)]dx = a f (x)dx a g(x)dx . a kf (x)dx = k a f (x)dx . a f (x)dx = a f (x)dx c
i =1 i =1 b n n b
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定积分的概念与性质
(2)取近似:取每个小区间的右端点i n
为ξi(
i=
1,2,…,n),
作乘积
f
(i )xi
( i )2 n
(3)求和:
n
i 1
f (i )xi
n i2 ()
i1 n
1 n
n i 1
i2 n3
Байду номын сангаас
1 n3
(12
22
n2)
=
1 n3
1 6
n(n
1)(2n
1)
1 6
(1
1 )(2 n
1 n
)
例1.1 用定积分的定义计算 1 x2dx 0
1
2e 4
2 ex2 xdx 2e2
0
证明：
函数在闭区间[0, 2]上的最大值为 e2
最小值为
1
e4
所以由积分估值定理可知
1
性质6(定积分估值定理) 设m, M 是f(x) 在区间 [a,b] 上最 小值和最大值,则
b
m(b a) a f (x)dx M (b a)
性质7(定积分中值定理) 如果函数f(x) 在闭区间 [a,b] 上 连续,则在 [a,b] 上至少存在一点ξ使
b
a f (x)dx f ( )(b a)
b
dx
b1 dx 高为1、底为b a的矩形面积=b a
a
a
a xdx 高为a、底为a的直角三角形面积= 1 a2
0
2
R R2 x2 dx 半径为R的上半圆面积= 1 R2
R
2
2 sin xdx （0 正负面积相消后的代数面积为0） 0
例1.1 用定积分的定义计算 1 x2dx 0
5.1定积分的概念与性质
b b
证 ∵ m ≤ f ( x) ≤ M
—定积分的估值性质 定积分的估值性质
b
∴
∫a mdx ≤ ∫a f ( x )dx ≤ ∫a Mdx
O
a
y = f ( x)
A= ?
b
x
3
定积分的概念与性质
采取下列四个步骤来求面积A. 采取下列四个步骤来求面积 (1) 分割 任意用分点 [ ∆Ai 表示 xi−1 , xi ]上对应 a = x0 < x1 < x 2 < ⋯ < x n −1 < x n = b,
的窄曲边梯形的面积
y
把区间 [a , b] 分成 n个 小区间 [ xi −1 , xi ]， 长度为 ∆ x i = x i − x i −1 ;
∫0 x dx = lim ∑
2
λ → 0 i =1
1
n
1 1 1 1 ξ i ∆xi = lim 1 + 2 + = n→ ∞ 6 n n 3
2
于是得
1 ∫0 x dx = 3 .
1 2
16
定积分的概念与性质
五、定积分的性质
对定积分的补充规定 对定积分的补充规定
* * * 问题举例 定积分的定义 定积分的几何意义和物理意义 关于函数的可积性 定积分的性质 小结 作业
定 积 分
2
定积分的概念与性质
一、问题举例
1.曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 曲边梯形 求由连续曲线 y = f ( x ) > 0及
y
直线 x = a , x = b和y = 0 所围成
的曲边梯形的面积 A .
2. 变速直线运动的路程 . 设某物体作直线运动, 设某物体作直线运动 已知速度 v = v (t ) 是时间间隔 [T1 , T2 ]上t 的一个连续函数 且v ( t ) ≥ 0, 的一个连续函数, 求物体在这段时间内所经过的路程. 求物体在这段时间内所经过的路程
定积分的定义和性质
定积分的定义和性质定积分是微积分中的重要概念，用以计算曲线下的面积或曲线所围成的图形的面积。
在本文中，我们将介绍定积分的定义和性质，并探讨其在数学和实际问题中的应用。
一、定积分的定义定积分是将曲线下的面积分成无穷多个无穷小的矩形，并对它们进行求和的过程。
它可用以下形式进行定义：设f(x)在区间[a, b]上连续，将[a, b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b - a)/n。
选择每个小区间上的任意一个点ξi，计算出相应的函数值f(ξi)，然后将这些函数值与Δx相乘并求和，即可得到定积分的值：∫[a, b]f(x)dx = lim(n→∞)Σf(ξi)Δx二、定积分的性质1. 可加性：对于函数f(x)在区间[a, b]上可积分，并且c位于该区间内，则有∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx。
这意味着可以将区间进行分割，根据不同段的定积分值进行求和。
2. 线性性质：对于函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积分，以及任意实数k，则有∫[a, b](kf(x) + g(x))dx = k∫[a, b]f(x)dx + ∫[a, b]g(x)dx。
这表明可以将函数进行线性组合后再进行积分。
3. 区间可变性：如果函数f(x)在区间[a, b]上可积分，并且在区间[a,b']上也连续（其中b' > b），则有∫[a, b']f(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[b,b']f(x)dx。
这意味着可以扩展区间并计算新增部分的定积分值。
三、定积分的应用定积分在数学和实际问题中具有广泛的应用。
下面列举一些典型的应用场景：1. 面积计算：通过计算定积分可以求得曲线和坐标轴所围成图形的面积。
例如，可以利用定积分计算圆的面积、椭圆的面积等。
2. 弧长计算：通过计算定积分可以求得曲线的弧长。
这在工程学、物理学和几何学等领域中都有应用。
定积分的概念和性质
b a n
a
0
其中：f(x)叫做被积函数; x叫做积分变量;
i 1
f(x)dx叫做被积表达式; a叫做积分下限，b叫做积分上限; [a,b]叫做积分区间。
如果f(x)在[a，b]上的定积分存在，也称 f(x)在[a，b]上可积。否则，称f(x)在[a，b] 上不可积。
[ a ,b ]
f ( )x f ( )x f ( )x
i i i i i [ a ,c ] [ c ,b ]
i
• 令λ→0，上式两端同时取极限，得 • 注：不论a，b，c的相对位置如何，性质3
总是成立的。例如，当a<b<c时，由性质3，
b
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
定积分的概念和性质
1、定积分基本概念 2、定积分的性质
定积分概念
一、定积分问题举例 1、求曲边梯形的面积
y
y=f(x)
0
a
b
x
思想方法
（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条
在区间[a,b]中任取若干分点： a x0 x1 x2 xi 1 xi xn1 xn b 把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间 ： [ xi 1 , xi ] 小区间长度记为： xi xi xi 1 (i 1,2,3,, n) 过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分 成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为Ai
a c
c
b
有
• 于是
c
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
微积分 第六章 第一节 定积分的概念与性质
b
b
| f ( x) |dx a f ( x)dx a | f ( x) | dx ,
b
b
即 | a f ( x)dx | a | f ( x) |dx .
23
例 1 比较积分值 2 e xdx 和 2 xdx 的大小.
0
0
解 令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
于是 f (x) 单调增加, f ( x) f (0) 0，
x ln(1 x)， x 0 .
于是
1
1
x dx ln(1 x)dx .
0
0
25
性质5（估值定理）
设 M及m 分别是 f ( x) 在区间[a, b] 上的最大值及
最小值，则
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a) .
a
a
进一步，若 f (x) g(x) ，且 f ( x) 和g(x) 不恒等，则有
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx .
证 令 h( x) g( x) f ( x) 即可.
22
b
b
推论2 | f ( x)dx | | f ( x) |dx (a b)
a
a
证 | f (x)| f (x) | f (x)| ,
f ( x)dx lim 0
i 1
f (i )xi
可直接得出.
18
b
b
b
性质2 (1) a[ f ( x) g( x)]dx a f ( x)dx a g( x)dx
b
b
(2) kf ( x)dx k f ( x)dx
(k为常数)
证略.
定积分定义及性质
y y f (x)
b f ( x)dx 曲边梯形面积； a
20 f (x) 0 ， a b， 则
oa
y
b a
f ( x)dx
(曲边梯形面积)；
o
a
bx
bx
y f (x)
b
y
a f ( x)dx A 1 A 2 A 3
A1
ao
y f (x)
A2
A3
积
分 变
[a,b]积分区间
量
曲边梯形的面积 A 是曲边函数 y f ( x)
在区间
[a,b]
上的定积分：
A
b a
f
(
x)dx
．
变速直线运动的物体所经过的路程 S 是速度函数
vv(t) 在时间区间[a,b] 上的定积分： S
b
v(t
)dt
．
a
Note (1) 定积分的值与积分变量记号无关，即
b
b
性？质f (2x（) ，可分g(性x)）可积或，称f (积x)分对g(区x)间，的可加性
对 三个不同的则数aab，f (bx，)dxc ，无ab 论g(其x)d顺x序关如系何? ，均有
b
f ( x)dx
c
f ( x)dx
b
f ( x)dx
．
a
a
c
性质 3 若 f ( x) 在[a, b]上可积，且 f ( x ) 0，则
b
y
m(ba) a f ( x)dx M(ba) M
思考：附加什么条件，
y f (x)
就可以得到“ ”？
m
思考：能否找到一个长方形，其面积等于
第一节-定积分的概念与性质
o a
x1
x i 1 x i
xn1 b
x
作y轴的平行线，将曲边梯形分割成n个小曲边矩形.
在每个小区间 [ xi 1 , xi ] 上任取一点 i，
以 为底，
y
i
x1
x i 1 x i xn1 b
为高的小矩形
面积为
取近似
o a
x
曲边梯形面积的近似值为
A f ( i )xi
Solution: Divide the interval to four equal interval [0,1],[1,2],[2,3] and [3,4].
Left Riemann sum:
Right Riemann sum:
Midpoint Riemann sum:
Example 2: The function is continuous on the closed interval [0,10] and has values
积 分 变 量
[a , b] 积分区间
【注意】
(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关，
而与积分变量的字母无关.（因为定积分是一个数值）
a f ( x )dx a f ( t )dt a f ( u)du
(2)为了以后讨论方便，规定
b
b
b
三、定积分的几何意义
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
[ x1, x2 ]， ...， [ xi1, xi ]， ， [ xn1, xn ] 把区间[a,b]分成n个小区间 [ x0 , x1 ]，
y
把区间 [a , b] 分成 n 个小区间 [ xi 1 , xi ]， 长度为 xi xi xi 1;
定积分的概念与性质
定义 设 f (为x ) 定义在区间 上 a ,的b 有界函数，在 中 a任, b意 插入
n-1个分点： a x 0 x 1 x 2 x i 1 x i ， x n b
将区间 a , b分 为n个小区间 xi1, xi ，i小1,2区,间n的长度分
别记为 x i x i x i 1 (i ，1 ,2 在,小,n 区).间
分割
近似
作和
.
逼近
第一步：分割.在区间 a , 内b 任意插入n-1个分点：
a x 0 x 1 x 2 , x i x n b
把区间 a ,分b 割成n个小区间
xi1, xi 。i小1区,2间,n
的长度分别记为
xi,i1,2, ,n.
第二步：近似.即“以不变代变”，在小区间 xi1, xi 上任取一
x，i
1 n
分点为
xi
，i 取 n
， i 由 x此i 得到积分和式
n
n
f(i)xi
i1
i1
n
i2xi xi2xi
i1
n i1
(i)2 n
1nn13
n
i2
i1
1 n3
12
22
.
n2
n13
n(n1)(2n1) 6
当 ，0即 n时 (现在 )，上式1两端取极限即得
1 x 2 d x 0
A if(i) x i,i 1 ,2 , ,n .
第三步：作和.把所有小矩形面积相加，得整个曲边梯形面积A
的近似值，即
n
n
A Ai . f(i)xi.
i1
i1
第四步：逼近.显然，随着区间 a , 内b 的分点不断增加，第三步
新编文档-定积分的概念与性质(new)-精品文档
变 速 直 线 运 动 路 程 ： Sli m 0i 1v(i) ti
7
二、定积分的定义
定义 设 f(x)在 [a ,b ]上 有 界 .在 [a,b]内 任 意 插 入
若 干 个 分 点 a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b ，
把 [a ,b ]分 成 n 个 小 区 间 ， 各 小 区 间 的 长 度 依 次 为 ：
4
实例2 （求变速直线运动的路程） 设某物体作直线运动，已知速度v v(t)是
时 间 间 隔 [T1 ,T2 ] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t ) 0，求物体在这段时间内所经过的路程.
想法：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求极限得路程的精确值．
5
1、分割
T1 t0 t 1
n
S Si i 1
Si
ti1 i
ti
t n 1 T2 tn
2、近似 siv(i) ti 其 中 ， ti titi1.
n
n
3、求和 S Si v ( i ) ti
i 1
i1
4、取极限
n
记为
积分上限
积分和
a bf(x )d x I l i0i n m 1f(i) x i
积分下限
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
[a,b]:积 分 区 间
9
说明：
（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的字母无关.
b
a
f
(x)dx
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tn-1 tn = T2
t
物体近似以 v(i) 速度匀速运动，于是路程
si v( i )ti (i 1,2,, n) .
第一节 定积分的概念与性质
Step3 求和
n
n
s si v( i )ti .
i 1
i 1
Step4 取极限
n
n
s lim si lim v(i )ti ,
0 i1
(3) 如果 f (x) 在 [a , b] 上可积，则对积分区间可以进
行特殊划分，小区间上的点也可以取特殊的点.
第一节 定积分的概念与性质
2. 可积的条件 定理1 设 f (x) 在区间 [a , b] 上连续，则 f (x) 在区
间 [a , b] 上可积. 简单地说：连续一定可积. 定理1中的连续条件可以减弱。见定理2
个极限 I 为函数 f (x) 在区间 [a , b] 上的定积分，记作
b f (x)dx , 即 a
lim b
n
a f ( x)dx I 0 i1 f ( i ) xi .
第一节 定积分的概念与性质
积分上限
被积函数
lim b
n
a
f (x)dx
0
f ( i ) xi
i 1
积分下限
第一节 定积分的概念与性质
二、定积分的定义
1. 定义
定义 设函数 f (x) 在 [a , b] 上有界，
(1) 分割：把 [a , b] 任意分成 n 个小区间
[ x0 , x1] , [ x1 , x2 ] , , [ xn1, xn ] ,
第 i 个小区间的长度记为 x i x i x i 1 ( i 1 , 2 , n ) .
O
xi1 xi
xO
x
第一节 定积分的概念与性质
2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动，已知速度 v = v(t) 是时间间隔 [T1 , T2] 上的连续函数，且 v(t) 0 ，计算在这段时间内 物体所经过的路程.
等速直线运动路程计算 路程 = 速度 时间.
第一节 定积分的概念与性质 计算变速直线运动路程步骤： Step1 分割 将时间段任意分成 n 个小时间间隔
(2)近似: 在 [xi-1 , xi] 上任意取一点 i ， 作乘积
f
(
i
)
n
x
i
(i
1,2 ,
,n) ,
(3)求和： S f ( i ) xi .
i 1
第一节 定积分的概念与性质
(4)取极限: 记 m a x { x 1 , x 2 , , x n } ,
若当 0 时，和 S 总趋于确定的极限 I， 那么称这
T1 = t0 t1 t2
ti-1 ti
tn-1 tn = T2
t
第 i 个小时间间隔记为 ti ti ti1 (i 1 , 2 , , n),
该间隔上的路程记为 si (i 1 , 2 , , n).
Step2 近似 任取一时刻 i ti , i
T1 = t0 t1 t2
ti-1 ti
0 i1
其中 为 n 个小时间间隔中的最大值．
第一节 定积分的概念与性质 上述两个问题的共性：
(1) 求解方法步骤相同： 分割、近似、求和、取极限;
(2) 计算公式的结构相同：
n
n
面积 A lim f ( i ) xi , 路程 s lim v ( i ) ti
0 i1
0 i1
i 1
i 1
y y = f (x) = x+2sin x
O
xi1 xi
x
第一节 定积分的概念与性质
Step4 取极限
n
n
A lim Ai lim f (i )xi ,
0 i1
0 i1
其中 为 n 个小区间长度中的最大值．
y y = f (x) = x+2sin x
y y = f (x) = x+2sin x
积分变量
被积表达式
积分和
第一节 定积分的概念与性质
几点说明
(1) f (x) 在 [a , b]上定积分存在，那么称 f (x)在 [a , b]
上可积.
(2) 如果 f (x) 在 [a , b] 上可积，则 与积分变量的记
号无关
b
b
b
a f ( x )d x a f (t )d t a f (u )d u .
边梯形.
y
y = f (x) = x+2sin x
Oa
bx
第一节 定积分的概念与性质
求解思路： （1）将曲边梯形分割成若干个小的曲边梯形， （2）每个小曲边梯形用对应的小矩形近似， （3）计算曲边梯形面积的近似值， （4）当分割数趋于无穷大
时便得精确值.
第一节 定积分的概念与性质
求解步骤：
Step1 分割 将 [a , b] 分成 n 个小区间，
第一节 定积分的概念与性质
一、定积分问题举例 二、定积分定义 三*、定积分的近似计算 四、定积分的性质
第一节 定积分的概念与性质
一、定积分问题举例
1. 曲边梯形的面积
设 y = f (x) 在区间 [a , b] 上非负、连续，由直线
x = a , x = b , y = 0 及曲线 y = f (x) 所围成的图形称为曲
第一节 定积分的概念与性质
b
(2) f (x) < 0 时， f (x)dx A , A 为下图所示的曲 a
定理2 设 f (x) 在区间 [a , b] 上有界，且只有有限个
间断点，则 f (x) 在区间 [a , b] 上可积.
第一节 定积分的概念与性质
3. 定积分的几何意义
b
(1) f (x) > 0 时， f (x)dx A , A 为下图所示的曲 a
边梯形的面积. y
y f (x)
a
O
bx
第 i 个小矩形的面积为 Ai f (i )xi ,
y
y
y = f (x) = x+2sin x
y = f (x) = x+2sin x
Oxi1 xiO源自xa x0 x1 x2 xi1 xi
x xn1 xn b
第一节 定积分的概念与性质
Step3 求和 曲边梯形面积的近似值
n
n
A Ai f (i )xi .
a x0 x1 x2 xn1 xn b ,
第 i 个小区间记为 xi (i 1 , 2 , , n),
它也表示其长度.
y
y = f (x) = x+2sin x
O
a x0 x1 x2 xi1 xi
x xn1 xn b
第一节 定积分的概念与性质
Step2 近似 以每个小区间为底，以 f (i ) (i xi ) 为高作矩形。