_化二次型为标准形的方法
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧1. 引言1.1 化二次型为标准形的重要性化二次型为标准形是线性代数中一个重要的概念。
在实际问题中，我们经常会遇到涉及二次型的计算和分析，因此将二次型化为标准形可以简化计算过程，方便问题的进一步研究和解决。
化为标准形后，我们可以更清晰地看到二次型的特征，比如主轴方向、主轴长度等，这有助于我们对二次型的性质进行深入了解。
将二次型化为标准形也为后续的计算和分析提供了便利。
通过化为标准形，我们可以更方便地进行求导、求极值等操作，从而更好地研究二次型的性质和应用。
标准形也为我们提供了一种比较统一的形式，使得不同二次型之间的比较和分析更加简便和直观。
化二次型为标准形是具有重要意义的。
它不仅简化了计算过程，提供了便利的分析工具，还有助于我们深入理解二次型的性质和特征。
选择合适的方法和技巧进行化标准形的操作可以更快速地解决问题，提高工作效率，是线性代数学习中不可或缺的一环。
2. 正文2.1 方法一：通过配方法求解通过配方法求解是一种将二次型化为标准形的常用方法。
在这种方法中，我们首先将二次型中的平方项配方，使其变为完全平方，然后再通过变量替换的方法将其化为标准形。
具体步骤如下：1. 将二次型中的平方项配方。
对于二次型Q(x_1,x_2,...,x_n)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+...+a_{nn}x_n^2+2(a _{12}x_1x_2+...+a_{1n}x_1x_n+...+a_{n-1,n}x_{n-1}x_n)，我们可以将每一项中的平方项提出并进行配方，得到完全平方的形式。
2. 然后，通过适当的变量替换将配方后的二次型化为标准形。
通常情况下，我们选择适当的线性变换矩阵P，使得Q(x)=x^TAX中的A 为对角矩阵，即A=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)。
这样就将二次型成功化为标准形。
通过配方法求解的优点在于操作简单直观，容易理解和掌握。
化二次型为标准型的方法解读
化二次型为标准型的方法二、 二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴） ''''x x cos y sin y x sin y cos θθθθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ （2）把方程（1）化成标准方程。
在二次曲面的研究中也有类似的情况。
（1）的左端是一个二次齐次多项式。
从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。
二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。
现在就来介绍它的一些最基本的性质。
设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。
设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn nx c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩ （4） 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。
如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。
在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。
化二次型为标准型
1 1 得基础解系 1 , 单位化即得 p1 1 1
1 1 1 . 2 1 1
当l l l 1时 , 解方程( I A ) x 0 ,
2 3 4
可得正交的基础解系 1 0 1 1 0 1 2 , 3 , 2 , 0 1 1 0 1 1 1 2 0 12 1 2 0 1 2 , p3 , p4 单位化即得 p2 1 2 12 0 1 2 1 2 0
T
T
3．将特征向量正交化 a 2 , 3 a2, 取 a 1 1 ,a 2 2 , a 3 3 a 2 ,a 2 得正交向量组
a 1 (1 2,1,1) , a 2 ( 2,1,0) , a 3 ( 2 5, 4 5,1) .
T T
T
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
6 2018/1/4
定理 设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使
PT AP L
l1 l2 T P AP L
ln
P (e1 e2
en )
7 2018/1/4
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式 f xT Ax, 求出A;
一、用正交变换化二次型为标准型
在前面讲过, 对于任一个n阶实对称矩阵A, 一定 存在正交矩阵Q, 使得QTAQ=L. 由于Q1=QT, 所以有 QTAQ=diag(l1,l2,...,ln). 因此有下面的定理.
化二次型为标准型的方法
化二次型为标准型的方法二、二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程ax 2 +2bxy+ cy 2 = f .为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度。
，作转轴（反时针方把方程（1）化成标准方程,在二次曲面的研究中也有类似的情况.（1）的左端是一个二次齐次多项式。
从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量 的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。
二次齐次多项式不但在几 何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。
现在就来介绍它的一些最 基本的性质。
设P 是一数域，一个系数在数域P 上的X“X2，...,Xn 的二次齐次多项式 f （X],x^,・・・,Xn ） = a.eX.2 +2a“X]X, +... + 2a.x.x n+... + 2a. x ?x n +... + a n x n 2J xnii Ii i *in i n匕 .n 二 n nil n称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。
设x p x 2,...,x n ； y,,y 2，…,yn 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式x 1=c I1y I +c 12y 2+...c ln y nx 2=c 2iyi +c 22y 2+-c 2nyn X 3=C 3iyi +C 32y2+-C 3ny n（4）/n =C niy2+C n2y2+-C nnyn称为由X|,X2，...,Xn 到力必，…,yn 的一个线性替换，。
如果|cJ #。
，那么线性替换（4）就 称为非退化的。
在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。
另, i<j.由于XjXj=XjXi ,所以f （x p x 2,...,x n ） = a 11x 12 +2a 12X!X 2 +... +2a ln X!X n +a 22x 22 +... + 2a 2n x 2x n +... + a nn x n 2n n= Z»,jXjXjj —1它的系数排成一个n*n 矩阵(1)向转轴） x = x cos 0-y sin 。
§62 二次型化为标准型的三种方法
2 n n n
2
a 12 a 1n a 11 x 1 x 2 ... xn a 11 a 11 1 a 12 x 2 a 13 x 3 ... a 1n x n a 11
2 2 a 22 x 2 ... 2a 2 n x n 2 ...... a nn x n
2 1
y 的 系 数 2 a 0 , 再 用 ( 1 ) 化 简 . 1 2
反复使用(1)与(2),可以在有限步内将二次型 化为标准形. y=Dz,|D|≠0 因为 x=Cy, |C|≠0 则 x=(CD)z, |CD|=|C||D|≠0 也是非退化线性替换.
以上做法中,每一步都是非退化线性替换.
2 2 2 x 2 x x 2 x x 2 x 5 x 6 x x 1 12 13 2 3 2 3 2 2 2 去掉配方后多出来的项 x x x x 4 x 4 xx 1 2 3 2 3 23 2 2 2 2 2 x x 2 x x 2 3 2 3 x x x x 4 x 4 x x
g ( y , y , , y ) d y d y d y ,
2 n n
上 式 称 为 f 的 标 准 型 .
(2)如果存在，如何求C?
问 题 ： ( 1 ) 非 退 化 得 线 性 替 换 X C Y 是 非 存 在 ？
定理 任何一个二次型都可以通过非退化线性 替换 化为标准形。
' 2 ay n nn
当aii'不全为零时,继续上述方法.否则用下述(2)
(2)若a ii=0 (i=1,2,…,n),但至少有一个aij≠0,
设a12≠0,则
f(x ,x ,...,x 1 2 n) 2 a xx a xx a xx 1 2 1 2 2 1 3 1 3 ...2 1 n 1 n 2 a xx a xx 2 3 2 3 ...2 2 n 2 n ...... 2 a x x n 1 , n n 1 n
5-2化二次型为标准型
例1 用正交变换化二次型
f ( x1, x2, x3 ) 2x12 3x22 3x32 4x2 x3
为标准形. 解：二次型的矩阵为
2 0 0
A
0
3
2
0 2 3
2 0 0
I A 0 3 2
0 2 3
( 2) ( 3)2 4 ( 1)( 2)( 5)。
A 的特征值为 1 1, 2 2, 3 5。
令
z1 z2
y1 y2
y3
，即
z1 z2
1
0
0 1
1 y1
0
y2
z3 y3
z3 0 0 1 y3
则二次型就化为标准形：z12 z22 z32 .
例4 用配方法化二次型
f ( x1, x2 ) x12 x1 x2 x22
为标准形.
解：一种配方法为
f
令
x1 x2
x3
y1 y1 y3
y2 y2 ，即
x1 x2 x3
1
1
0
1 1 0
0
0
y1 y2
1 y3
则 f ( x1, x2, x3 ) y12 y22 y1 y3 y2 y3 y1 y3 y2 y3 y12 y22 2 y1 y3 y12 2 y1 y3 y32 y22 y32 ( y1 y3 )2 y22 y32，
解： 1 1 1
1
2
2
1 0
1
1
0 (1)
1
1 2 1
1 1 0
A I
=
1
0
-
0
-
-
-
1 1 1
0 1 0
0 1 0
用配方法化二次型为标准形
2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
2 2 y1 y2 .
所用变换矩阵为
1 1 1 C 0 1 2 , 0 0 1
C
1 0.
例2 化二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 成标准形, 并求所用的变换矩阵. 解 由于所给二次型中无平方项，所以 x1 y1 y 2 x1 1 1 0 y1 令 x 2 y1 y 2 , 即 x 2 1 1 0 y 2 x y x 0 0 1 y 3 3 3 3
2
x1 x2 x3 x2 2 x3 .
2 2
y1 x1 x2 x3 令 y2 x 2 2 x 3 y x 3 3
x1 y1 y2 y3 x 2 y2 2 y3 x y 3 3
x1 1 1 1 y1 x 2 0 1 2 y2 y x 0 0 1 3 3
2 2 2 2 x1 x 2 2 x1 x 3 2 x 2 x1 5 x3 6 x2 x3 x1 x 2 x 3 2 去掉配方后多出来的项
2 2 2 2 5 x3 6 x2 x3 x2 x3 2 x2 x3 2 x2
x1 x2 x3 x22 4 x32 4 x2 x3
y1 1 0 1 z1 即 y 2 0 1 2 z 2 y 0 0 1 z 3 3
二次型化为标准规定型的三种方法
2x1x2
2x1x 3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
化为标准形
解:配方化简
x12
2x1x2
2x1x3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
x12 2x1(x2 x3) (x2 x3)2 (x2 x3)2 2x22 4x2x3 x32
x1 x2 x3 2 x22 2x2x3
x1 x2 x3 2 x2 x3 2 x32
再配方，得
f 2 y1 y3 2 2 y2 2 y3 2 6 y32 .
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
y3 z3
y
1
1
即
y
2
y 3
0
0
0 1 0
z 1 z 2 z 1
1 ,Y 2 3
实二次型f(x1, x2, , xn )=XT AX (AT A), 由于A为实对称，则存在正交矩阵Q使得
Q 1AQ QT AQ diag(1, 2, , n ),
于是线性替换X=QY(称为正交变换)化f为
标准型1y12
2y
2 2
n
y
2 n
.
定理 对于任意n元实二次型f(x1, x2, , xn ) X T AX (AT A),都存在正交变换X=QY化f为
令
y1
y2
x1
x2 x2
x x3
3
y3 x3
即
x1 x2
y1 y2
y2 y3
x3 y3
1 1 0 C 0 1 1 1 0
化二次型为标准型的方法
化二次型为标准型的方法【1】二、 二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴）''''x x cos y sin y x sin y cos θθθθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ （2）把方程（1）化成标准方程。
在二次曲面的研究中也有类似的情况。
（1）的左端是一个二次齐次多项式。
从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。
二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。
现在就来介绍它的一些最基本的性质。
设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。
设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn nx c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩ （4） 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。
如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。
在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。
线性代数14.配方法化二次型、正定二次型
1 2
x3）2 +（2 x2
+x3）2 +（
-
52）x32
当 5， f 正定;
2
规范形为 f z12 z22 z32
当 5，f 半正定;
2
规范形为 f z12 z22
当 5， f 不定;
2
规范形为 f z12 z22 -z32
例6.3.3 设A是n阶正定矩阵, 证明A1, A, Ak (k为正整数)都是正定矩阵.
(x1 2x2 2x3)2 2(x2 x3)2 5x32
令： yy12
x1
2
x2 x2
2x3 x3
y3
x3
y1 1 2 2 x1
即：
y2
0
1
1
x2
y3 0 0 1 x3
x1 1 2 2 1 y1
从而： x2
0
1
1
y2
x3 0 0 1 y3
故该实二次型的正惯性指数p 2,
负惯性指数q 0
秩r p q 2 规范形为h(z) z12 z22.
6.3 定性分类
定义6.3.1 设有二次型 f xT Ax ，其中 A 为实对称矩阵,
若对任意非零向量 x ，总有： （1）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为正定二次型， 并称 A 为正定矩阵； （2）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为半正定二次型，并称 A 为半正定矩阵； （3）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为负定二次型， 并称 A 为负定矩阵； （4）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为半负定二次型，并称 A 为半负定矩阵；
A正定 A的各阶顺序主子式均大于零
A负定 A的奇数阶顺序主子式均为负，
线代课件§6用配方法化二次型成标准形
4. 配方
最后，我们对每一项进行 配方，得到 $(x-g)^2 = D - g^2$，$(y-f)^2 = D f^2$ 和 $(z-h)^2 = D h^2$。
证明步骤详解
1. 引入配方法
2. 展开式子
这一步是为了将二次型转化为一个更易于处 理的形式，通过引入 $g, f, h$ 和 $D$，使得 二次型可以更容易地被配方。
证明结论总结
• 通过上述的证明过程，我们证明了二次型 $f(x,y,z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + 2gx + 2fy + 2fz$ 可以被配方法化为标准形 $f(x,y,z) = a(x-g)^2 + b(y-f)^2 + c(z-h)^2 + D$。
05
配方法化二次型成标准形的应 用
配方法简介
01
配方法的定义：通过配方将二次型转化为完全平方的形式 ，从而将其化为标准形的方法。
02
配方法的步骤
03
1. 将二次型中的每一项写成平方项与线性项之和。
04
2. 将二次型中的平方项组合成完全平方项。
05
3. 将二次型中的线性项与完全平方项相加，得到标准形 。
06
配方法的适用范围：适用于任何实数域上的二次型，尤其 在实数域上的一元二次方程求解中有广泛应用。
理解了二次型标准形在解决实际问题 中的应用价值。
对未来研究的展望
深入研究其他化二次型为标准形 的方法，如三角分解法、正交变
换法等。
探索二次型标准形在各个领域的 应用，如物理学、工程学、经济
学等。
进一步研究二次型标准形与矩阵 理论之间的关系，以及其在矩阵 分解和特征值计算等领域的应用。
化二次型为标准型的三种方法
化二次型为标准型的三种方法
一元二次型式可以通过三种方法来化为标准型：
① 将一元二次型式化为一元二次型系数形式，然后使用猜想法找出根；
② 将一元二次型式化为一元二次型系数形式，然后利用完全平方根的性质将一元二次型式化为一元二次型标准形式；
③ 将一元二次型式化为一元二次型联立形式，然后求解联立方程得出一元二次型标准型式。
以上三种方法都可以将一元二次型式化为标准型，帮助我们更好地分析根的存在性以及其它性质。
化二次型为标准形的方法 - 扬州大学
−3 λ+2
得到 A 特征值为： λ 1 = λ 2 = λ 3 = 1 ， λ 4 = −3 ； ⑶求特征值 λ = 1 所对应的特征向量： ① 解 ( I − A) X = 0 ，以求三个线性无关的特征向量，运用矩阵的初等行变
⎡ 1 −1 −1 1 ⎤ ⎡1 − 1 − 1 1 ⎤ ⎢− 1 1 ⎢0 0 1 − 1⎥ 0 0⎥ ⎥⎯ ⎥， ( I − A) = ⎢ ⎯→ ⎢ 换， ⎢− 1 1 ⎢0 0 1 − 1⎥ 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0⎦ ⎣ 1 −1 −1 1 ⎦ ⎣0 0 x1 − x 2 − x3 + x 4 = 0 ， x1 = ~ x2 + ~ x3 − ~ x4 ， 得到同解方程组
③ 再使它们单位化：
α 1 1 [1 1 0 0] T = ⎡ β1 = 1 = ⎢ α1 2 ⎣ 2 1 2 ⎤ 0 0⎥ ⎦
T
α β2 = 2 = α2
2 3
⎡1 ⎢2 ⎣
⎡ 1 ⎢− 3 ⎣
⎡ 1 1 ⎤ − 1 0⎥ = ⎢ 2 ⎦ ⎣ 6
1 3
T ⎡ 1 1 ⎤ 1⎥ = ⎢− 3 ⎦ ⎣ 2 3
T
α1 = [0 0 1] ；
② λ2 = 1
⎡1 − 1 0 ⎤ ⎡ 1 − 1 0⎤ ⎥ ⎥ ⎢ λ 2 I − A = ⎢ − 1 1 0⎥ → ⎢ ⎢0 0 1 ⎥ ， ⎢ ⎢ 0 1⎥ ⎦ ⎣0 0 0⎥ ⎦ ⎣0
T
∴
α 2 = [1 1 0] ；
③ λ 3 = −1
⎡1 1 0⎤ ⎡− 1 − 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎢ λ 3 I − A = ⎢− 1 − 1 0 ⎥ → ⎢ ⎢0 0 1 ⎥ ， ⎢ ⎢ 0 − 1⎥ ⎦ ⎣0 0 0 ⎥ ⎦ ⎣0
线性代数 第六章第二节 二次型化为标准型三种方法
C为所 求
思考
1、化二次型为标准形的正交变换是否 唯一？
2、二次型的标准形是否唯一？
3、二次型的平方和和标准形主要区别 是什么？
4、在实数域里考虑，正交变换法和配
平方法没有改变二次型的那些特征？
思考题解答
1、正交变换不唯一；
2、标准形不计顺序的话是唯一的；
3、标准形的系数为其特征值，而平方 和的系数则不是特征值，可以任意变 动.
即：
求逆 矩阵
记Y=DZ
所用变换矩阵为
定理4 对于任一n元二次型 都存在非退化的线性变换X=CY，使之成为标准型（平方和） 证明 对变量个数进行归纳。
平方项的系数不全为零，不妨设
是n-1元二次型或零多项式。由归纳假设，存在非退化线性变换
则非退化线性变换为
情形2
不含平方项，必有
是非退化的线性变换，使得
零多项式，故 可化为标准型.
含有平方项，这归结为情形1，
推论1 任意n阶对称矩阵A都与对角形矩阵合同. 证明 由定理4，存在非退化线性变换X=CY，使得
右端标准型的矩阵为
新旧变量二次型的矩阵A与B满足CTAC=B，即A与对角形矩阵 B合同.
3 初等变换法 根据实对称矩阵及合同变换的特征得到.
只作列 变换
时,解方程组
得基础解系
当
时,解方程组
得基础解系
将特征向量正交化、单位化
再对α1,β2, β3单位化,得
写出正交变换的矩阵
由
构成正交矩阵
则二次型经正交变换x=Ty化为标准形
显然,f =1表示的二次曲面为单叶双曲面. 注意：化f为标准形的正交变换不唯一.
例2 解
拉格朗日配方法的具体步骤
化二次型为标准型的方法
化二次型为标准型的方法二、 二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. （1）为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴） ''''x x cos y sin y x sin y cos θθθθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ （2）把方程（1）化成标准方程。
在二次曲面的研究中也有类似的情况。
（1）的左端是一个二次齐次多项式。
从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。
二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。
现在就来介绍它的一些最基本的性质。
设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。
设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn nx c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩ （4） 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。
如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。
在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。
用可逆线性变换化二次型为标准形
用可逆线性变换化二次型为标准形课程中心：http://202.194.131.160/sunli.html 山东农业大学数学系孙莉 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是222ax bxy cy f ++=为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度 ，作转轴使得上式变为只含有平方项的标准方程。
用可逆线性变换化二次型为标准形的方法1. 配方法关键：消去交叉项，其要点是利用两数和的平方公式与两数平方差公式Case 1:二次型中含某变量i x 的平方项和交叉项，先集中i x 的交叉项，然后与i x 配方，化成完全平方，令新变量代替各个平方项中的变量，即可做出可逆的线性变换，同时立即写出它的逆变换（即用新变量表示旧变量），这样后面求总的线性变换就比较方便，每次只对一个变量配方，余下的项中不应再出现这个变量。
再对剩下的1n -个变量同样进行。
Case 2: 二次型中没有平方项，只有交叉项，先利用平方差构造可逆线性变换。
例如：12,f x x =令112212,,,1,2k k x y y x y y x y k =-=+=≠.2. 合同变换法（成对初等行列变换法）构造分块矩阵如下，对该分块矩阵进行一系列初等行变换和对应相同的列变换把A 换为对角矩阵B 的同时，其中相应的列变换将单位矩阵E 化成了合同变换矩阵C .,r c A B E C ⎛⎫⎛⎫−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3. 正交变换法Step 1. 写出二次型对应的系数矩阵A ；Step 2. 求出系数矩阵A 的特征值和特征向量；（因为实二次型的系数矩阵为实对称矩阵，有定理表明：n 阶实对称矩阵一定可以对角化，即实对称矩阵一定可以找到n 个线性无关的特征向量。
需要注意的是实二次型单根特征值只对应一个线性无关的特征向量，k 重根特征值，对应k 个线性无关的特征向量。
前面所说的线性无关的特征向量，是某个特征值对应的齐次线性方程组所求得的基础解系。
二次型化为标准型的三种方法
f
(x1, x2,..., xn )
a11
x121
2x1
a12 a11
x2
...
a1n a11
xn
a
x2
22 2
...
2a2n xn2
配方
...... ann xn2
a11 x1
a12 a11
x2
...
a1n a11
xn
2
1
a11
a12x2 a13x3 ... a1n xn
x1
x1
xxx2222xxx3332222xxx22222x344xx32去324掉4xx2配x2 3x方3 后多出来的项
x1 x2 x3 2 x2 2x3 2.
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3 x3
x3 y3
例1 化二次型 f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
为标准形,并求所用的变换矩阵.
解
含有平方项
含有 x1的项配方
f x12 2x22 5x32 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3
x12 2x1 x2 2x1 x3 2x22 5x32 6x2 x3
B
1
2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0
(i j),则先作可逆线性变换
2x1x2
2x1x 3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
化为标准形
解:配方化简
x12
2x1x2
2x1x3
2x
2 2
4x2x3
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密级：JINING UNIVERSITY学士学位论文THESIS OF BACHELOR题目化二次型为标准型的方法系别：数学系专业年级：数学与应用数学专业 2012级(3+2) 学生姓名：邢桃桃学号： 2012063331 指导教师：唐庆晨职称：副教授起讫日期： 2014年3月7日至2014年5月27日目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (1)1 配方法 (2)1.1解题步骤 (2)1.2 典型例题 (3)2 初等变换法 (4)2.1 解题步骤 (5)2.2 典型例题 (5)3正交变换法 (6)3.1解题步骤 (6)3.2 典型例题 (7)4 雅克比法 (8)4.1解题思路 (8)4.2典型例题 (8)5偏导数法 (9)5.1 解题思路 (9)5.2典型例题 (10)6 总结 (12)参考文献 (13)致谢 (13)化二次型为标准形的方法数学与应用数学专业学生邢桃桃指导教师唐庆晨摘要：二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形。
这既是一个重点又是一个难点．本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法和偏导数法．正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明。
其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方。
关键词：配方法初等变换法正交变换法雅可比方法偏导数法Several Methods of Changing the Quadratic into the Standard Student majoring in mathematics and applied mathematics xingtaotaoTutor Tang QingchenAbstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula.Keywords: orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method引言二次型是代数学中的一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。
在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形，本文介绍了五种化二次型为标准形的方法，各种方法的解题思路步骤及依据在正文部分都有详细的说明，并且每种方法后面配有例题这样理解起来就会更加容易。
正交变换法是常用的方法之一，需要求出特征值，特征值就是对应的平方项的系数；配方法需要通过观察依次对每项配方，直到各项全部配成平方为止；初等变换法用一系列的合同变换将二次型矩阵化成与之合同形式上又比较简单的对角矩阵；雅可比方法相对其他方法更为简便，但是它要求二次型矩阵的各阶顺序主子式都不为零，然后通过固定的公式确定平方项的系数；偏导数法的实质与配方法是一样的，但是偏导数法有固定的步骤，相对更好实施。
．1 配方法配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。
使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。
1.1 解题步骤定理：数域P 上任意二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式，即标 准型证明：下面的证明实际就是一个具体的把二次型化成平方和的方法，也就是“配方法”。
我们对变量的个数做数学归纳法。
对于n=1，而二次型就是21111f (x )a x =已经是平方和的形式了。
现假定对n-1元二次型，定理的结论成立。
再假设n n12n ij i j i 1j 1f (x ,x ,...,x )a x x ===∑∑（ij a =ji a ）分三种情况来讨论：1）ii a （i=1，2，…，n ）中至少有一个不为零，例如11a ≠0。
这时12n f (x ,x ,...,x )=2111a x +n 1j 1j j 2a x x =∑+n i1i 1i 2a x x =∑+n nij i j i 2j=2a x x =∑∑=2111a x +2n 1j 1j j 2a x x =∑+n nij i j i 2j=2a x x =∑∑=11a 2n 11111j j j 2x a a x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑-111a -2n 1j j j 2a x =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑+n n ij i j i 2j=2a x x =∑∑=11a 2n 11111j j j 2x a a x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑+n n ij i j i 2j=2b x x =∑∑，这里n nij i j i 2j=2b x x =∑∑=-111a -2n 1j j j 2a x =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑+n n ij i j i 2j=2a x x =∑∑是一个2n x ,...,x 的二次型。
令n -111111j j j 222n n y x a a x y x ...........y x =⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∑即n-111111j jj 222n nx y a a x x y ...........x y =⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∑ 这是一个非退化线性替换，它使12n f (x ,x ,...,x )=2111a y +n nij i j i 2j=2b x x =∑∑。
有归纳法假定，对n nij i j i 2j 2b y y ==∑∑有非退化线性替换22222332n n 33223333n n n n22n33nn nz c y c y ...c y z c y c y ...c y ...........z c y c y ...c y =++⎧⎪=++⎪⎨⎪⎪=++⎩能使它变成平方和2222233n n d z d z ...d z ++。
于是非退化的线性替换1122222332n n 33223333n n n n22n33nn nz y z c y c y ...c y z c y c y ...c y ...........z c y c y ...c y =⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩ 就使12n f (x ,x ,...,x )变成12n f (x ,x ,...,x )=2222233n n d z d z ...d z ++由归纳法，即证。
2）所有ii a 都等于0，但至少一1j a 0≠（j>1），不是一般性，设12a 0≠。
令112212n nx z z x z - z ...........x z =+⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩它是非退化线性替换，且使12n f (x ,x ,...,x )=12122a x x ...+ =1212122a (z z )(z - z )...++=221211222a z 2a z ...-+ 这时上式右端是12n z ,z ,...,z 的二次型，且21z 的系数不为0，属于第一种情况，定理成立。
3）11121n a a ...a 0===由于对称性，有21222n a a ...a 0===这时nn12n ij i j i 2j 2f (x ,x ,...,x )a x x ===∑∑是n-1元二次型。
根据归纳假设，它能用非退化线性替换变成平方和。
这样就完成了定理得证明。
1.2典型例题例1 用上述所给出的方法化二次型23(,,)f x x x =22112223224x x x x x x +++为标准形，写出所用的变换矩阵。
解：原二次型中含有i x 的平方项，先将含有1x 的项集中，利用平方和公式消去12x x ， 然后对2x 配平方，消去23x x 项。
此过程为23(,,)f x x x =221122(2)x x x x +++222233(44)x x x x ++-234x()()2221223324x x x x x =+++-于是作非退化的线性替换：11221233y x x y x x y x =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩⇒11232233322x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩即123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=112012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭123y y y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭于是就得到23(,,)f x x x =2221234y y y +-所用的变换矩阵为C =112012001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭且有'C AC =100110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭110122020⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭112012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭=100010004⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭说明：虽然配方法是基础方法，但在应用化简二次型时比较麻烦。
配方法需要通过观察 来配方，对初学者来讲，具有一定的盲目性。
2初等变换法（合同变换法）从以上配方法的过程可以看出，将一般二次型通过配方法化成标准形，实际上就是通过一系列的可逆线性替换将n 个元逐渐配方的过程，从上述例1也可以看出，这个过程可以用矩阵的形式来表示，这就是将二次型化为标准形的第二种方法------初等变换法。