_化二次型为标准形的方法

密级：

JINING UNIVERSITY

学士学位论文

THESIS OF BACHELOR

题目化二次型为标准型的方法

系别：数学系

专业年级：数学与应用数学专业 2012级(3+2) 学生姓名：邢桃桃学号： 2012063331 指导教师：唐庆晨职称：副教授

起讫日期： 2014年3月7日至2014年5月27日

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Key words (1)

引言 (1)

1 配方法 (2)

1.1解题步骤 (2)

1.2 典型例题 (3)

2 初等变换法 (4)

2.1 解题步骤 (5)

2.2 典型例题 (5)

3正交变换法 (6)

3.1解题步骤 (6)

3.2 典型例题 (7)

4 雅克比法 (8)

4.1解题思路 (8)

4.2典型例题 (8)

5偏导数法 (9)

5.1 解题思路 (9)

5.2典型例题 (10)

6 总结 (12)

参考文献 (13)

致谢 (13)

化二次型为标准形的方法

数学与应用数学专业学生邢桃桃

指导教师唐庆晨

摘要：二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形。这既是一个重点又是一个难点．本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法和偏导数法．正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明。其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方。

关键词：配方法初等变换法正交变换法雅可比方法偏导数法

Several Methods of Changing the Quadratic into the Standard Student majoring in mathematics and applied mathematics xingtaotao

Tutor Tang Qingchen

Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula.

Keywords: orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method

引言二次型是代数学中的一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形，本文介绍了五种化二次型为标准形的方法，各种方法的解题思路步骤及依据在正文部分都有详细的说明，并且每种方法后面配有例题这样理解起来就会更加容易。正交变换法是常用的方法之一，需要求出特征值，特征值就是对应的平方项的系数；配方法需要通过观察依次对每项配方，直到各项全部配成平方为止；初等变换

法用一系列的合同变换将二次型矩阵化成与之合同形式上又比较简单的对角矩阵；雅可比方法相对其他方法更为简便，但是它要求二次型矩阵的各阶顺序主子式都不为零，然后通过固定的公式确定平方项的系数；偏导数法的实质与配方法是一样的，但是偏导数法有固定的步骤，相对更好实施。．

1 配方法

配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像

()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的

消去非平方项并构造新的平方项。

1.1 解题步骤

定理：数域P 上任意二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式，即标 准型

证明：下面的证明实际就是一个具体的把二次型化成平方和的方法，也就是“配方法”。 我们对变量的个数做数学归纳法。

对于n=1，而二次型就是2

1111f (x )a x =已经是平方和的形式了。现假定对n-1元二

次型，定理的结论成立。再假设n n

12n ij i j i 1j 1

f (x ,x ,...,x )a x x ===∑∑（ij a =ji a ）

分三种情况来讨论：

1）ii a （i=1，2，…，n ）中至少有一个不为零，例如11a ≠0。这时

12n f (x ,x ,...,x )=2

111

a x +n 1j 1j j 2a x x =∑+n i1i 1i 2a x x =∑+n n

ij i j i 2j=2

a x x =∑∑

=2111

a x +2n 1j 1j j 2a x x =∑+n n

ij i j i 2j=2

a x x =∑∑

=11a 2n 11111j j j 2x a a x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑-1

11a -2

n 1j j j 2a x =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑+n n ij i j i 2j=2a x x =∑∑

=11a 2

n 1

1111j j j 2x a a x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑+n n ij i j i 2j=2

b x x =∑∑，

这里

n n

ij i j i 2j=2

b x x =∑∑

=-1

11a -2

n 1j j j 2a x =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑+n n ij i j i 2j=2

a x x =∑∑