解三角形知识点归纳总结

第一章 解三角形

一.正弦定理：

1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外

接圆的直径，即 R C

c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C

++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C

A c a = 3）化边为角：C R c

B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===

4）化角为边：

;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c

a C A = 5）化角为边： R

c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：

①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；

例：已知角B,C,a ，

解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C

B c b = ;sin sin C

A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。

例：已知边a,b,A,

解法：由正弦定理B

A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C

A c a sin sin =求出c 边

4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则

①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解；

③b a A b <

如：①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解)

②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解)

注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。

二.三角形面积

1.B ac A bc C ab S ABC sin 2

1sin 21sin 21===∆ 2. r c b a S ABC )(2

1++=∆,其中r 是三角形内切圆半径. 3. ))()((c p b p a p p S ABC ---=∆, 其中)(2

1c b a p ++=, 4. R

abc S ABC 4=∆,R 为外接圆半径 5.C B A R S ABC sin sin sin 22=∆,R 为外接圆半径

三.余弦定理

1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即

A bc c b a cos 2222-+=

B ac c a b cos 2222-+=

C ab b a c cos 2222-+=

2.变形：bc

a c

b A 2cos 2

22-+= ac

b c a B 2cos 2

22-+= ab

c b a C 2cos 2

22-+= 注意整体代入，如：2

1cos 222=⇒=-+B ac b c a 3．利用余弦定理判断三角形形状：

设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：

①若，

，所以为锐角

②若为直角A a b c ⇔=+222 ③若

， 所以为钝角，则是

钝角三角形

4.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：

1）已知三边，求三个角

2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

四、应用题

1.已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A +B +C = π求C ，由正弦定理求a 、b ．

2.已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A +B +C = π，求另一角．

3.已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A +B +C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况．

4.已知三边a 、b 、c ，应用余弦定理求A 、B ，再由A +B +C = π，求角C ．

5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目

标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东××度， 北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度.

6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上 方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.

五、三角形中常见的结论

1）三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；

2）三角形三边关系：

两边之和大于第三边：

，，； 两边之差小于第三边：，，；

3）在同一个三角形中大边对大角：B A b a B A sin sin >⇔>⇔>

4) 三角形内的诱导公式：

sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-

铅直线 水平线 视线 视线

仰角

俯角

)2

sin()2cos()22cos()22sin()22tan(2tan C C C C C B A =--=-=+πππ 5) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.

(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.

(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β

. 6) 二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin 2α＝2sin αcos α.

(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)2

2cos 1cos ;22cos 1sin 22αααα+=-=

(4)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.

7) 三角形的五心：

垂心——三角形的三边上的高相交于一点

重心——三角形三条中线的相交于一点

外心——三角形三边垂直平分线相交于一点

内心——三角形三内角的平分线相交于一点

旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点