数学分析教学探究

二 、关 于极 限 的认 识 （－Ｊ）极 限思想是 一个 用已知探求 未知的过程 。是 规则 到 不 规 则 的 研 究 过 程 让学生在学 习 中不 断认 识体 会 用 已知 探求 未 知 的过 程 ，从规则 到不规则 的探究过程．不论是从数 学分析 的知识 的学 习 把 握 ，还 是 从 学 生 解 决 问题 能力 的 提 高 上 都 很 重 要 ． 这 是 一 个 让 学 生 更 好 学 会认 识 和 解 决 所 有 客 观 问 题 的 思 想 方法 ，是提高解决 问题能力 的基本方法．例 如 ，求 圆的周 长 ， 未 知 曲边 形 周 长用 极 限 思 想 转 化 为 已知 正 多 边 形 周 长 ，用
一 数 学分 析 课 程 内容 的 全 面 认 识 、
数 学 分 析 内容 很 多 ，让 初 学 者 摸 不 到 头 绪 ．在 教 学 时 不 断 强 调 数 学 分 析 课 程 只 做 一 件 事 情 ，就 是 以极 限 为 工 具 在 实 数 范 围 内来 研 究 函数 ，让 学 习者 轻 装 上 阵 ．数 学 分 析 的 每 一 章节无一不是在研究 函数 ，而且 都是用极 限研 究 函数 ．具 体做 了如下事情 ：① 极限思想 ，函数 的极 限定义和计算极限 值．② 用极 限定义一种 特殊重 要 的连 续 函数 ．③ 用极 限定 义 函数的导数．④ 用极 限定 义 出的函数导数研 究 函数 的近 似计算．⑤ 用 极 限定 义 出 的导 数 把 函数 展 开 成 多 项式 ． ⑥ 利用极限定义 出 的导 数讨 论 函数 的单 调性 与极 值 和最 值 、凹凸性 与拐点 ，渐近线 ，描绘 出了函数的图像．⑦ 用极限 定义 出的定积分讨论一元 函数 图像 （曲线 ）所 围区域面 积 ， 一 元 函数 图像 （曲线 ）的弧长 ，一元 函数 图像 （曲线 ）旋 转所 得旋转体体积．⑧ 用极限定义出的导数把函数写成级 数 ，又 可以用级数来研究函数．⑨ 用极 限定 义 出的偏 导数研 究多 元 函数．⑩ 用极 限定义 出的重积分研 究多元 函数所对 应曲 面围成的空间几何 体体 积．⑩ 用极 限定义 出的第一型 曲线 积分求物质曲线的质量．⑥ 用极 限定 义 出的第 二型 曲线积 分讨论力场做功问题．⑩ 用 极限定 义出 的第一 型 曲面 积分 求物质曲线的质量．⑩ 用极 限定义 出的第二 型曲面积 分求 流过 曲面 ｓ的流量．可见 ，除了第 ① 没有 什么新 的内容 ，都 是在 ① 极 限的基础上来用 已知探求未 知 ，整个 学 习过 程同 时也是我们用极限探 索 函数 性质 的过程．让 学生 明 白这一 点能使学生对课程有一个全局性 的把握 ，学 习时思路 清楚 、 目标 明确 ．
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◎马忠莲 （滇西科技师 范学院 ，云南 临沧 ６７７０００）
【摘 要】本文通过作 者 多年 数学分析 教 学经验 的思考 ， 总 结 出一 些 数 学分 析 教 学 中 的基 本 概 念 的理 解 与 认 识 的 方 法．在教学过 。！中向学生讲解清楚这 些理 解与认识 ，能够 降 低 学生初 学数 ｊ分析ห้องสมุดไป่ตู้的学 习难度 ，提高 学 生对 数 学分析课 程 的 理 解 的 深度 ，更 有 效 地 把 握 数 学分 析 的 思 想 方 法 ，高 效 率地真正学懂数学分析 ，提高分析解决 问题 的能力，并 能应 用 数 学 分 析 中的 思 想 方 法和 知识 解决 实 际 问题 ．
【关键词 】数 学分析 ；关系；教学
数 学 分析 对 理 工 科 学 生 来 说 是 一 门 专 业 基 础 课 ，而 在 二本 及专 科 学 生 普 遍 认 为 该 门 课 程 抽 象 难 学 ．究 其 课 程 本 身 的 原 因 大致 为 三 个 ：第 一 ，课 程 内容 丰 富．数 学 分 析 大 致 ２５０～３００学 时 左 右 ，上 下 两 册 ，八 百 页 左 右 ，这 么 多 的 内容 ， 学起 来难 度 大 ．第 二 ，极 限 本 身 难 于 理 解 ．很 多 学 生 在 理 解 极限思想和定 义时就一 知半解 ．第三 ，初学者未 能很好地把 握 知 识 间 的 密 切 关 系 和 解 决 问 题 的 方 法 ．课 程 原 因 与 学 生 基础问题的共 鸣产生 了学 弱现象 ，使得 大部分 学生 根本 达 不 到 课 程 学 习 的最 终 目标 ，就 这 样 草 草 了 结 ．知 识 上 对 后 续 学习产生了影响 ，从能力提升上达不 到学科 的真 正要求．经 过长期教学实践证 明 ，在 教学 中重视 引导学生 发现 和把握 下文探讨 的学科规 律认识 ，大 大地降低 了学生 学 习数学 分 析的难度 ，并能更加有效地达成课程学 习 目标．下面我们 就 围绕 以上三点来谈谈数学分析教学 中有必 要让学生把 握的 一 些 认 识 ．
（二 ）极限思 想的关键是 用极限将近似变成 了相等 极限思想最让学生迷 惑的是 近似 与相 等 的关系．很 多 学生在学完了极限定 义之后 一直认 为是 一个近 似关 系．我 曾在不强调“相等”地按教 材讲 解该 内容 ，讲解 完后提 问学
已知 探 求 未 知 ，用 规 则 的正 多 边 形 周 长 探 求 不 规 则 的 圆 周 长 ，工具是极限．数学分析里每一个 问题的解决 都毫无 例外 地使 用了这一 思想．整个数 学分 析的 内容就清 晰透 彻地 多 次重复体 现了这一过 程．然而 ，在教 学 中我们发 现 ，学 生在 做了很 多题 目后仍然没有用 已知探求未知 的意识．因此 ，教 学 中 有 必要 就 着极 限实 例 不 断 强 调 这 一 思 想 方 法 ，一 方 面 ， 使极 限本 身更 易于理解 ，另一方面 ，也提高 了学 生解决 问题 的 能 力．