《数学分析》中关于极限概念教学的一点探讨
高等数学中极限概念教学的探析
高等数学中极限概念教学的探析【摘要】本文主要探讨了高等数学中极限概念教学的重要性及方法。
针对教学目标的设定与意义，应注重培养学生的抽象思维能力和数学推理能力；在教学内容的设计与安排上，需要结合实际问题，引导学生理解极限概念的实际意义；接着，在教学方法的选择与运用方面，可以采用案例分析、讨论等互动方式，激发学生的学习兴趣；教学手段的创新与实践也至关重要，可以结合多媒体、网络资源等辅助工具，提升教学效果。
应重视学生评价与教学效果的评估，不断调整教学策略，提升教学质量。
本文旨在总结高等数学中极限概念教学的经验，展望未来的发展趋势，为教学实践提供参考。
【关键词】高等数学、极限概念、教学、探析、教学目标、教学内容、教学方法、教学手段、学生评价、教学效果、启示、发展趋势1. 引言1.1 高等数学中极限概念教学的探析高等数学中极限概念是数学中非常重要的概念之一，对于学生的数学素养和逻辑思维能力的培养具有重要意义。
教学中如何有效地教授极限概念，引导学生深入理解和掌握这一概念，是每一位数学教师都需要认真思考和努力实践的问题。
在本文中，我们将就高等数学中极限概念教学进行深入探讨。
我们将从教学目标的设定与意义、教学内容的设计与安排、教学方法的选择与运用、教学手段的创新与实践、学生评价与教学效果的评估等方面进行分析和讨论，以期为数学教师提供一些有益的启示和参考。
通过对高等数学中极限概念教学的探析，我们希望能够深入理解这一重要概念的本质和内涵，探讨如何更好地引导学生理解和掌握极限概念，提高教学效果和学生学习兴趣，为教育教学工作提供一些有益的参考和借鉴。
的研究将有助于推动数学教育的创新和发展，培养更多优秀的数学人才，为建设创新型国家和推动社会发展做出积极贡献。
2. 正文2.1 教学目标的设定与意义在高等数学中，极限概2.2 教学内容的设计与安排教学内容的设计与安排是高等数学中极限概念教学的重要环节，合理的内容设计和安排可以帮助学生更好地理解和掌握极限概念。
《数学分析》中关于极限概念教学的一点探讨
《数学分析》中关于极限概念教学的一点探讨作者：张彩霞来源：《科技创新导报》2011年第12期摘要:在初学数学分析时,共有二十八种极限概念,这些极限概念是数学分析的基础,学生对各种极限概念的理解程度直接影响到对这门课程学习的成败。
教师在教学过程中要引导学生将各种极限概念的定性描述准确地转化为定量描述,并能深刻理解,逐渐灵活运用。
关键词:数学分析极限概念教学中图分类号:G6 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)04(c)-0147-02《数学分析》课程是大学数学系一门重要的基础课,对这门课程学习的好坏,直接影响到学生思维能力的形成及对后续课程的接受能力。
学生从高中刚入大学,学习内容从原来的具体到抽象、从离散到连续、从有限到无限,使学生感到《数学分析》很难,特别是刚开始接触各种极限概念的定量描述,理解起来很吃力.而数学分析这门课程就其自身而言,有着理论上的严密性和前后的连贯性,极限概念是数学分析的基石,学生对各种极限概念的理解程度直接影响到对这门课程学习的成败。
本人在教学过程中,深刻体会到关于极限概念教学的重要性。
在初学数学分析时,就有二十八种极限概念(包括正常极限和非正常极限),教师在教学过程中的任务是引导学生将这二十八种极限概念从定性描述准确地转化为定量描述。
并使学生对各种极限概念的定量描述能深刻理解,逐渐灵活运用。
1 正常极限概念1.1 数列极限概念数列极限的概念是最开始要学习的极限概念,如果学生对这个概念能准确理解的话,对于理解接下来要学习的函数极限概念就容易多了,所以对数列极限概念的教学至关重要。
首先观察数列::特征:当无限增大时,无限接近于此时称该数列收敛于0,或称0为该数列的极限。
“无限增大”和“无限接近”是对数列变化性态的一种形象描述,是定性的说明,而不是定量的描述,这在数学上无法进行严谨地论证。
所以我们要定量地描述该数列的特征。
例如:(1)对于要使只需即数列从第项开始,以后所有项都满足这一要求。
数学分析中极限求法的教学探讨
数学分析中极限求法的教学探讨
此文章探讨的话题是数学分极限求法的教学，本文着重讨论如何正确的教授极限求法，在讲授极限求法的过程中应该注重哪些方面。
首先，我们需要讨论有关极限求法的定义，以及极限求法有哪些用途。
在这一过程中，我们要深入介绍极限求法的定义，介绍极限求法有什么用处，如何利用极限求法求解数学问题。
同时，我们还可以深入讨论极限求法的解法，如极限的定义、极限的基本性质、有界性、无界性、极值，以及极限求法的计算方法与定理等，充分让学生从理论上掌握极限求法的精妙，提高学生的数学技能和数学思维。
其次，教授极限求法时，要让学生体会极限求法的重要性，以便学生们能够理解极限求法对现实问题的求解有多么重要，并要在现实生活中发现极限的运用，使学生明白极限的广泛性，从而培养学生的科学态度。
另外，教授极限求法时，最好融入实际计算，将极限求法与具体实例结合，让学生深入理解极限求法的有效性。
对学生掌握极限求法，可以引导学生主动探索，让学生进行解题实践，尝试用极限求法解决实际问题，增强学生在数学知识学习中获得成就感，提高数学水平。
最后，在授课的过程当中，注重培养学生的自学能力和独立解题能力，鼓励学生多运用极限思维，增强对极限求法的认识与运用能力，使学生把极限求法运用到各种数学问题中，用数学技巧大胆地解决实际问题，培养学生的科学精神，锻炼学生的数学分析能力，使学生在数学学习上取得更多的成就。
以上就是本文关于数学分极限求法的教学探讨的相关内容。
本文从极限求法的定义、有效性、应用以及培养学生的自学能力几个方面来讨论极限求法的教学策略，从而提高学生在极限求法方面的学习水平。
数学分析中关于极限概念的几点教学体会
数学 分 析 的 真 正意 义 上 的创 立 始 于 １ ７ 世 纪 发 展形 成 的 至极 限概念 的精 确化 共经 历 了约两 千 多年 据 已有文 献 ， 公 微 积分 学科 ， 但极 限理论 作为 数 学分 析 的 基础 理论 却 是 到 １ ９ 元前 五世 纪开 始 已经 产生 了一 些朴 素极 限思想 ，如 古希 腊雅 世 纪末 才得 以完 善 。 极 限理论 作 为数学 分析 的基 础 ， 贯穿 于整 典 时期形 而上 学学者 Ｚ ｅ ｎ ｏ 的 “ 神行 太保 Ａ ｃ ｈ ｉ ｌ ｌ ｅ ｓ 永 远 追不 上 个 数学 分析 学科 。 因此 ， 学 好极 限概 念是 学 习与掌握 数学 分析 乌龟 ” 悖论和 Ａ ｎ ｔ ｉ ｐ ｈ ｏ ｎ 为解 “ 化 圆为 方 ” 问题 的穷 竭法 ， 中 国古 的关键 。并 且 ， 数学 分析 作为 数学 专业 的 一 门主 干基础 课 ， 对 代梁 国宰 相施 的 “ 一尺 之棰 ， 日取其 办 ， 万 世不 竭 ” 与 魏 晋时期
学好其他后续课程意义重大，这进一步地突显了学好极限概 数学 家刘 徽 的“ 割圆术 ” 等都涉 及 了极 限的思想 。
念 的重 要作 用 。 到了 １ ７ 世 纪 上半 叶 ， 随 着 自然 科 学领 域 的重 大突 破 （ 行 极 限概 念作 为学 生学 习数 学分 析 时要 掌握 的第 一个 重要 星 运动 三大定 律 、 自由落体 定律 、 动量 定律 等 ） ， 人 们迫 切需 要 概念 ， 数学分 析 中 的很 多重 要概 念都 是通 过极 限来 定 义 ， 如 导 新 的数 学工 具来 解决所 面 临 的新 问题 ， “ 微 积分 ” 应运 而 生 。 然 数定 义为 差商 的极 限 、 数项级 数定 义 为部 分 和数 列 的极 限 、 定 而 ，虽然 微积 分 的诞 生 和发展 在 众多 领域 都取 得 了丰 硕 的成
极限概念的教学心得
极限概念的教学心得
在数学课程中，极限概念是一个比较重要的话题，它是一种希望理解数学结构的一种方法。
尽管在数学课堂上，这个概念很难理解，但是数学老师们还是坚持要把它教学给学生们。
在教极限概念的过程中，我发现学生们面对新的概念都十分的困惑，他们不知道从哪里开始去学习，有的甚至放弃学习这个概念。
因此，作为一个老师，我要积极准备教学材料，做好足够的准备，让学生能够很好地理解这个概念，而不是对它感到迷惑。
首先，我为学生们准备了一些演示文稿，其中包含了一些相关概念的图表和例子。
这些图表和例子有助于学生们更好地理解极限概念、具体及抽象之间的联系。
此外，我还准备了一些游戏，让学生们练习解决问题的能力，以便更好地理解极限概念的概念。
另外，学习极限概念的过程也需要学生们进行灵活的思维，以便他们能够正确地理解这个概念。
因此，在教极限概念的过程中，我力求让学生们自主思考，分析问题，并让他们发现问题的本质。
除了提供给他们一些实例来帮助他们理解概念外，我也会带他们一起分析一些更复杂的例子，让学生自己去理解概念、找出解决问题的答案。
通过上述准备，学生们终于开始习得这个概念，也熟悉了如何解决一些极限问题。
将这个概念融入日常生活中，学生也能够分析一些现实问题，做出合理的结论，从而有更深的认识。
总的来说，极限概念的教学可以说十分成功，学生们对这个概念的认识变得更加深入，也能够将这个概念运用到实际中。
最后，要准
备充足的教学材料，有效地激发学生的学习兴趣；要让学生们有更多的思考空间，让他们有机会自主学习，帮助他们更好地理解这个概念。
高等数学中极限概念教学的探析
高等数学中极限概念教学的探析高等数学中的极限概念是数学分析的重要基础，对于学生来说，掌握极限概念是十分必要的。
由于极限概念的抽象和深奥性，很多学生在学习过程中可能会感到困惑和挫折。
如何有效地教学极限概念，帮助学生深入理解和掌握这一概念，是高等数学教学中亟待探讨的问题。
在教学极限概念时，教师应该引导学生理解极限的定义和性质，培养学生的数学思维和推理能力，帮助他们建立正确的数学观念。
教师可以通过具体的例子和实际问题引入极限概念，让学生从直观上理解极限的涵义。
教师应该引导学生掌握极限的基本概念和性质，例如极限存在的判断方法、极限运算法则等。
通过大量的练习和实例分析，帮助学生掌握极限的计算方法和技巧。
教师应该注重培养学生的数学思维和逻辑推理能力，让他们在学习极限概念时能够更加理性和严谨地进行分析和推导。
除了传统的教学方法外，现代技术手段也为极限概念的教学提供了新的可能性。
利用多媒体教学手段，可以将抽象的数学概念通过图像、动画等形式进行直观呈现，帮助学生更好地理解和掌握极限概念。
借助互联网资源，学生可以在课后进行更多的自主学习和练习，丰富和拓展对极限概念的理解。
教师在利用现代技术手段进行极限概念教学时，也需要注意保持教学的针对性和有效性，避免过分追求形式上的新颖和炫技，导致教学效果的削弱。
除了教师的教学方法和技术手段外，教学环境和氛围也对学生的极限概念教学产生重要影响。
在课堂教学中，教师应该营造积极、轻松的学习氛围，鼓励学生敢于提问、思考和探索。
通过小组讨论、互动问答等形式，增强学生的参与感和学习热情，激发他们对极限概念的兴趣和求知欲。
也需要关注学生的学习状态和心理感受，及时进行个性化的辅导和帮助，让每个学生在学习极限概念时都能够感受到成功的喜悦和成就感。
高等数学中极限概念的教学需要教师选择适当的教学方法和技术手段，培养学生的数学思维和逻辑推理能力，营造积极、轻松的学习氛围，从而帮助学生更好地理解和掌握极限概念。
数学分析中的极限理论
数学分析中的极限理论数学分析是数学的一个重要分支，它研究的是实数和复数的性质以及它们之间的关系。
而在数学分析的学习中，极限理论是一个非常重要的概念，它是数学分析中的基石之一。
本文将从数学分析中的极限理论入手，探讨其在数学中的重要性和应用。
一、极限的定义和性质在数学分析中，极限是一个基本概念，它描述了一个函数或者数列在自变量趋近于某个值时的行为。
一般来说，我们用符号“lim”来表示极限，用“x→a”表示自变量x趋近于a的过程。
对于函数f(x)，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，那么我们就称函数f(x)在x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
极限具有一些重要的性质。
首先，极限是唯一的。
也就是说，如果一个函数在某个点的极限存在，那么这个极限是唯一的。
其次，极限与函数在该点的取值无关。
也就是说，函数在某个点的极限与该点的函数值无关，只与函数在该点附近的取值有关。
最后，极限与函数在该点的定义无关。
也就是说，函数在某个点的极限只与函数在该点附近的取值有关，而与函数在该点的具体定义无关。
二、极限的计算方法在数学分析中，计算极限是一个非常重要的任务。
对于一些简单的函数，我们可以直接通过代入法来计算极限。
例如，对于函数f(x)=x²，当x趋近于2时，我们可以直接代入x=2，得到f(2)=4，因此lim(x→2)f(x)=4。
对于一些复杂的函数，我们可以通过一些特定的计算方法来求解极限。
例如，对于函数f(x)=sin(x)/x，当x趋近于0时，我们可以通过泰勒展开将sin(x)展开成x的无穷级数，然后利用极限的性质求解。
这种方法被称为泰勒展开法。
此外，我们还可以利用极限的性质和一些常用的极限公式来计算极限。
例如，对于函数f(x)=(1+x)^(1/x)，当x趋近于无穷大时，我们可以利用自然对数的性质和极限的性质来计算。
数学分析中极限概念的教学策略分析
数学分析中极限概念的教学策略分析作者：张帅来源：《知识文库》2019年第06期在高等院校中，数学分析是数学专业的主要教学课程，极限概念是数学的基本理论，极限概念的教学会直接影响学生对这一门课的理解，教师在教学过程中可以转换观念对学生进行引导式的教学。
本文通过阐述数学分析中極限概念的相关概念，探索教师开展极限概念教学的策略，让学生学习极限时能更确切的理解，以期为数学努力奋斗的学者们提供参考。
引言：数学分析是一门具有数学基础的现代科学技术应用的学科，是高等院校数学专业一门基础的课程。
在数学分析中极限概念是最重要的一个概念，例如：曲线积分、重积分、导数、连续、定积分等的基础概念都是建立在极限概念中的。
数学的基础理论是极限概念理论，教师在展开极限概念教学时，应引导学生在数学学习时，充分注重思维和理解的学习，从而锻炼自己的思维能力，不断提高学习效果。
1 数学分析中极限概念的基本阐述初等的数学教学是对数量关系、事物运动、事物相对的状态、变化过程中数量关系的研究。
数学从初等数学不断地研究，不断地变化和改革慢慢演变成了极限概念，根据研究对象的变化，引起了各种方式的改革。
极限就是为了适应物体运动而研究的，一种新的和数量有关的数学方法。
从产生极限的背景历史来看，极限概念产生自微积分学的长、体积、瞬时速度、求面积、曲线在一点的切线等问题。
然而人们在很早的时候就已经有了极限思想。
极限思想起源于古希腊，数学家欧多克索斯将其命名为极限。
欧多克索斯认为量是无限可能的，并对此立下原理：“如果从任意量中减去不小于它的一半的部分，从余量中再减去不小于它的一半的另一部分，如此下去，则最后剩下一个小于任何给定的同类量的量”。
古希腊阿基米德在《论球和柱体》一本书中第一次说到球冠和球的表面积，球的表面积是圆柱体总面积的二分之一，圆柱体的面积也等于球的面积的三分之二，这个推理过程中含有微积分思想。
2 教师开展极限概念教学的策略对于刚接触到极限数学的学生来说，掌握极限概念是具有一定的积极作用的。
数学中的数学分析与极限
数学中的数学分析与极限数学分析是数学中的一个重要分支，它研究实数集合及其相关性质和定理。
而在数学分析中，极限是一个核心概念，它在许多数学领域中都扮演着重要的角色。
本文将探讨数学分析中的极限及其应用。
一、极限的定义与性质数学分析中，我们通常使用极限来研究函数的趋势和变化。
假设有一个函数f(x)，当自变量x趋近某个值a时，如果函数值f(x)也趋近于一个确定的值L，我们就说f(x)在x趋近于a时有极限，并记作：lim（x→a）f(x) = L其中，x→a表示x趋近于a，L表示极限值。
如果函数在某一点a 的邻域内都有定义，并且满足上述条件，我们就称函数在该点具有极限。
极限有一些重要的性质。
首先，极限是唯一的，即当极限存在时，其值是确定的。
其次，极限可以通过数列来理解，即函数的极限存在等价于它的自变量的数列极限存在，并且两者的极限值相等。
此外，函数的极限与函数在极限点的邻域内的取值无关，只与函数在极限点的附近行为有关。
二、极限的计算方法在实际计算中，我们需要掌握一些常用的极限计算方法。
以下是一些常见的极限计算方法：1. 代数运算法则：对于两个函数f(x)和g(x)，如果它们在极限点a附近具有极限，则它们的和、差、积和商也在该点附近有极限。
2. 基本初等函数的极限：我们可以通过求极限的方法来计算幂函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的极限。
3. 夹逼定理：夹逼定理是一种常用的计算极限的方法，它通过找到一个与待求极限函数夹在中间的函数序列来确定极限的值。
4. L'Hospital法则：L'Hospital法则是一种处理极限的特殊方法，适用于求不定型极限。
它通过对函数的导数进行计算来求解极限。
三、极限的应用极限的应用广泛存在于各个数学领域。
以下是一些极限的典型应用：1. 近似计算：在实际计算中，我们经常使用极限来进行近似计算。
例如，利用自然对数的级数展开式，我们可以近似计算指数函数的值。
2. 函数的连续性：极限的存在是函数连续的一个重要条件。
高等数学极限概念教学难点分析及其突破
高等数学极限概念教学难点分析及其突破随着教育技术的发展，高等数学的极限概念在数学教学中扮演着重要角色。
然而，在授课过程中，极限概念的教学却存在一些难点。
针对这一现象，本文以高等数学极限概念教学难点分析及其突破为主题，从概念、定义等方面，对极限概念进行论述，并针对极限概念教学过程中面临的难点，进行分析和研究，最终提出有关解决极限概念教学难点的有效策略。
一、极限概念的概述极限概念是高等数学的基本概念之一，它概括了自变量接近某特定值的情况下，函数的行为。
极限的定义很多，一般归为“极限的极限定义”、“极限的普通定义”、“及其他形式”。
下面分别介绍其定义： 1、极限的极限定义：当自变量x从左端接近某一特定值a时，其函数f（x）也从左端接近一定的值L，若存在L，又称L为函数f （x）在a处的左极限，符号表示为limx→a-f（x）=L。
2、极限的普通定义：当自变量x从a处右边接近一定的值R，其函数f（x）也从右端接近一定的值R，若存在R，又称R为函数f （x）在a处的右极限，符号表示为limx→a+f（x）=R。
3、算子定义：当自变量x从a处向任一方向接近时，其函数f （x）也从a处向同一方向接近一定的值M，若存在M，又称M为函数f（x）在a处的算子，符号表示为limx→af（x）=M。
二、极限概念教学中的难点由于极限概念教学涉及范围较广，涉及技能较多，因此在授课过程中就存在一些难点。
（1）教学主体理解极限概念存在较大困难。
极限概念是数学的基本概念，学生接触时，教学主体把握困难较大，容易出现理解概念、定义准确性大约不足的情况。
（2）掌握极限概念难以形成系统。
极限概念涉及概念、定义、分类方式等多方面的知识，数学的知识体系复杂，学生在学习过程中，难以将各类知识有机结合起来，从而形成系统框架。
同时，极限的概念中具有内在的逻辑性，学生容易忽视，以致不能从根本上掌握这一概念。
（3）极限算法的应用能力较弱。
极限算法的应用能力是极限概念教学过程中不可或缺的一环，但是很多学生在掌握了极限概念的基础知识后，在极限算法的应用上仍有较大困难，特别是极限算法复杂类型的应用能力较弱。
《数学分析》中关于极限概念教学的一点探讨
都 落 在 【（； ）内 ， 在 ｕ（ ； ） 外 ， 列 ｛ ，日ｓ 而 口ｓ 之 数 口 ｝中 的项 至 多 只有 Ⅳ “ 限 增 大 ” “ 限 接 近 ” 对 数 列 变 化 性 态 的 一 种 形 象 描 无 和 无 是 项 ． 在 （ ） 外 ， 列 中 ｝ 项 只 有 有 限 个 ， 这 有 限 项 的 若 ｓ 之 数 的 设 述 ， 定 性 的 说 明 ， 不 是 定 量 的 描 述 ， 在 数 学 上 无 法 进 行 严 谨 是 而 这 最 大 下 标 为 ｜ ， 当 ＞Ｎ 时 ， ｕ（ ； ） 从 而 数 列 极 限 的 另一 ｖ 则 ａ ∈ 口ｓ ， 地 论 证 。 以 我 们 要 定 量 地 描 述 该数 列 的 特 征 所 种描述 ： ， 拍 对 ＝ １ 定义１１设 ｛ 是数列， ． ： ｝ ａ为 定 数 。 若对 于 任 意 给 定 的 ￡＞Ｏ 数 ， 要使
限 概 念 的 定 量描 述 能 深 刻 理 解 ， 渐 灵 活 运 用 。 逐
１正常极限概念
１ １数 列极 限概念 ． 数 列 极 限 的概 念 是 最 开 始 要 学 习 的 极 限 概 念 ， 果 学 生 对这 如 个 概 念 能 准 确理 解 的话 ， 对于 理 解 接 下来 要 学 习 的 函 数 极 限 概 念 就 容 易 多 了 ， 以对 数 列 极 限 概 念 的 教学 至 关 重 要 。 所
该 数 列 特 征 的 定 量 描 述 ： 于 任 意 给 定 ｓ＞０ 总 存 在 正 整 数 对 ，
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浅谈极限概念的教学
浅谈极限概念的教学
极限概念是数学中的一个重要概念，它是一种计算某个函数取极限值的方法。
极限概念的教学是中学数学教学中的一个重要内容，它不仅是学习微积分的基础，而且是数学思维训练的重要环节。
首先，在教学极限概念之前，要确保学生对一元函数的概念和定义有所了解，如函数的定义域、值域、极值点、单调性等等，这些基础知识是学习极限概念的前提。
其次，在教学极限概念时，要重点掌握极限的定义及其特性，如极限的定义、极限的性质、极限的计算等，这些知识点是掌握极限概念的基础。
再次，要让学生熟悉极限的计算方法，如通过解不等式来求极限、通过函数的变形求极限、通过函数的分析求极限等，让学生熟练掌握这些方法，才能在实际应用中灵活运用。
最后，要让学生熟悉极限的应用，如极限的应用于微积分、极限的应用于函数的分析等，让学生熟悉极限的应用，以便在实际应用中更加熟练。
总之，极限概念的教学应该注重基础知识的掌握，注重计算方法的熟悉，注重应用的熟练，以便让学生掌握极限概念，提高数学思维能力。
高等数学中极限概念教学的探析
高等数学中极限概念教学的探析【摘要】在高等数学中，极限概念是一个至关重要的概念。
本文首先从极限概念的基本理解入手，探讨了其在高等数学中的重要性。
然后分析了当前极限概念教学存在的问题，提出了相应的教学方法探讨。
最后通过案例分析，深入探讨了如何有效地教授极限概念。
高等数学中极限概念的教学是一个复杂而重要的课题，需要不断探索和改进。
通过本文的研究，我们可以更好地理解极限概念在数学中的重要性，为提升学生的数学水平和能力提供一定的借鉴和指导。
【关键词】高等数学、极限概念、教学、探析、基本理解、重要性、问题、方法探讨、案例分析、引言、结论1. 引言1.1 引言在高等数学中，极限概念是一个至关重要的概念，它在分析、微积分等领域都有着重要的应用。
对于大多数学生来说，极限概念往往是比较抽象和难以理解的，因此在教学中如何有效地传授这一概念成为了一个亟待解决的问题。
本文将对高等数学中极限概念的教学进行探析，首先将会介绍极限概念的基本理解，包括数列极限和函数极限的概念及计算方法；接着将分析极限概念在高等数学中的重要性，阐明其在微积分、数学分析等学科中的核心地位；然后将探讨当前极限概念教学存在的问题，包括学生对概念理解的困难、教师教学方法的单一等；紧接着将提出一些教学方法的探讨，探讨如何通过案例分析等方式来提高学生对极限概念的理解和掌握；最后将对本文进行总结，得出结论。
通过本文的探析，希望能够为高等数学中极限概念的教学提供一些启发和思路。
2. 正文2.1 极限概念的基本理解极限概念是高等数学中非常重要的概念之一，它在分析与证明数学问题时起着至关重要的作用。
简单来说，极限就是描述一个数列或者函数在接近某个特定值时的情况，以及该值对应的性质。
具体来说，极限概念包括以下几个部分：1. 数列的极限：当数列中的元素趋向于某个值时，这个值被称为数列的极限。
数列的极限可以通过数学符号表示，比如lim(n→∞)an= L，表示当n趋向于无穷大时，数列an的极限是L。
浅析数学分析中极限解答方法
浅析数学分析中极限解答方法【摘要】数统计、格式要求等等。
数学分析中的极限是一项重要的概念，在解决数学问题中起着至关重要的作用。
本文首先介绍了极限的定义和性质，然后详细阐述了极限解答方法的基础步骤。
接着介绍了利用代数运算简化极限解答的方法，以及利用夹逼准则和洛必达法则求解极限的技巧。
通过这些方法，我们可以更快更准确地计算各种极限问题。
结论部分总结了数学分析中极限解答方法的重要性，并展望了未来极限解答方法的发展方向。
通过不断探索和创新，我们相信极限解答方法在数学分析中的应用将不断得到拓展和提升，为数学领域的发展做出更大的贡献。
【关键词】数学分析，极限，解答方法，定义，性质，基础步骤，代数运算，夹逼准则，洛必达法则，重要性，发展方向。
1. 引言1.1 介绍数学分析中极限的重要性在数学分析中，极限是一个非常重要的概念。
它在分析函数的性质、求导、积分等方面起着至关重要的作用。
极限可以帮助我们理解函数在某一点的趋势和变化规律。
通过研究函数在某一点的极限，我们可以揭示函数在该点的导数、积分等性质，从而深入了解函数的变化情况。
极限在数学分析中具有举足轻重的地位。
在推导一些重要的数学定理和结论时，往往需要借助极限的概念，如中值定理、泰勒展开式等。
极限的定义和性质也是许多数学问题的基础，它贯穿于整个数学分析的学习过程中。
极限还是数学分析中解决实际问题的重要工具。
通过对极限的研究，我们可以求解一些极限实例，从而解决一些实际问题。
极限解答方法的熟练掌握，可以提高我们在数学分析中的解题效率，加深对数学概念的理解。
了解数学分析中极限的重要性，对于我们深入学习数学分析，提升数学分析能力具有重要的意义。
通过掌握极限的概念和解答方法，我们能够更好地理解数学问题，提高数学建模和解题能力。
1.2 阐述极限解答方法在数学分析中的应用在数学分析中，极限是一种基础概念，它在整个数学领域中都具有重要的地位。
极限解答方法作为解决数学分析中复杂问题的重要工具，被广泛运用于各种数学领域的研究和应用中。
解析数学分析掌握数学分析的基本定理和方法
解析数学分析掌握数学分析的基本定理和方法解析数学分析是数学学科中的重要分支，主要研究数学对象的极限、连续性、可微性、可积性等性质。
掌握数学分析的基本定理和方法对于深入理解和应用数学具有重要作用。
本文将从极限、连续性、可微性和可积性等方面来解析数学分析的基本定理和方法。
一、极限的基本定理和方法极限作为数学分析的基本概念，在数学分析中扮演着重要的角色。
我们首先来看极限的基本定理和方法。
1.1 极限的定义极限是数列和函数的基本概念，它描述了数列或函数在某个点或无穷远处的趋势。
在数学分析中，极限的定义是：对于实数数列{an}和数列的收敛性，称常数A是该数列的极限，记作lim(an) = A。
当且仅当对于任意给定的正数ε，总存在自然数N，使得当n > N时，有|an - A| < ε成立。
1.2 常见的极限定理数学分析中常见的极限定理有很多，其中包括极限的四则运算、夹逼准则、单调有界数列的极限等。
这些定理对于求解极限问题非常有帮助，能够简化计算过程，提高解题效率。
1.3 应用举例以求解极限问题为例，我们可以通过极限的基本定理和方法来解决一些常见的数学问题。
如求解函数f(x) = sinx / x在x趋向于0时的极限，可以通过夹逼定理和极限的四则运算得到lim(x→0) sinx / x = 1这一结果。
二、连续性的基本定理和方法连续性是数学分析中研究函数性质的重要概念之一，它描述了函数在某一点附近的无间断性。
接下来我们将介绍连续性的基本定理和方法。
2.1 连续函数的定义数学分析中，连续函数的定义是：对于函数f(x)，如果对于任意给定的实数ε > 0，总存在实数δ > 0，使得对于x满足0 < |x - x0| < δ时，都有|f(x) - f(x0)| < ε成立，则称函数f(x)在点x0处连续。
2.2 常见的连续性定理在数学分析中，有一些常见的连续性定理可以帮助我们研究函数的连续性。
高等数学中极限概念教学的探析
高等数学中极限概念教学的探析极限是高等数学中的重要概念，也是数学分析中最基本的概念之一。
极限概念的学习不仅是高等数学学习的必要环节，更是理解数学中许多概念和理论的基础。
本文就高等数学中极限概念教学的重要性、难度和方法进行探析。
一、极限概念的重要性极限概念是高等数学基础知识，也是进一步研究微积分、微分方程等数学领域的前提。
如果没有极限概念，很多微积分和微分方程中的理论和公式都很难解释。
在应用中，极限概念常常被用来解决实际问题，如计算物体的速度、某种现象的趋势变化等。
极限的概念是抽象的，需要通过具体的例子来理解。
在初学阶段，由于初学者对极限的抽象概念理解有限，掌握起来比较困难。
而且，极限概念涉及到无限小和无限大的概念，这些概念本身就具有一定的复杂性和深奥性。
此外，极限的计算需要熟练掌握相关的运算技巧和基本概念，需要对连续函数、导数等知识有一定的掌握。
三、极限概念的教学方法针对极限概念难以理解的特点，教师应该采用多种方式进行教学。
比如，应该从具体的例子入手，让学生通过具体问题的讨论和分析来理解极限的概念。
在具体问题分析之后，再逐步引入抽象的概念和理论，从而帮助学生更深入地理解极限概念。
此外，教师还应该注重培养学生的实际应用能力，注重极限概念在实际问题中的应用，在实际的例子中演示极限概念的证明和计算方法。
总之，极限概念是高等数学中最基本的概念之一，具有很高的重要性。
教师应该注重在教学中应用多种方法，从具体的问题入手，逐步引入概念和理论，帮助学生深入理解极限概念，掌握相关的运算技巧和方法，提高学生的应用能力。
浅论数学分析中极限问题的存在性和若干求解方法
浅论数学分析中极限问题的存在性和若干求解方法1. 引言1.1 数学分析中极限问题的重要性数、标题等。
以下是根据您的要求整理的内容：在数学分析中，极限问题一直是研究的重点和难点之一。
极限的概念在整个数学体系中具有重要性，它为我们理解函数的性质、推导导数和积分等提供了基础和工具。
极限的存在性直接关系到数学推导的正确性和严谨性，因此在数学分析中，对极限问题的研究具有重要意义。
极限问题的重要性主要体现在以下几个方面：极限是现代数学理论体系的基础之一。
在数学研究中，许多问题都可以通过对极限的研究和运用来解决，例如微积分、实分析、复分析等领域都离不开极限的概念。
极限问题的研究有助于我们理解函数的性质和行为。
通过对极限存在性的研究，我们可以更好地了解函数在某一点的局部行为，从而推导出函数的导数、积分等性质。
极限存在性的讨论是数学严谨性的体现。
在数学证明中，经常需要利用极限的性质来推导结论，因此对极限的存在性进行深入研究是确保数学推导正确性的重要保障。
数学分析中极限问题的研究不仅具有理论意义，而且对于数学的应用和发展也具有重要的指导意义。
在对极限问题的讨论中，我们应该深入理解其重要性，不断完善研究方法，推动数学分析领域的发展和进步。
1.2 极限存在性的重要性极限存在性是数学分析中一个重要的概念，其重要性体现在多个方面。
在数学理论的建立过程中，极限存在性是一个基础性的概念，许多数学定理和推论都是建立在极限存在性的基础上。
要深入理解和掌握数学分析这一学科，首先需要弄清楚极限存在性的概念及其性质。
极限存在性的分析在实际问题中具有广泛的应用。
在物理、工程、经济等领域的问题中，往往需要对变量的极限进行分析和求解。
只有准确地判断极限是否存在，才能得到有效的结论和预测。
极限存在性的重要性不仅体现在理论研究中，也体现在实际问题的解决过程中。
极限存在性的重要性在于它是数学分析理论的基础，是解决实际问题的关键。
深入研究极限存在性的概念和性质，不仅有助于我们对数学分析理论的深入理解，也有助于我们在实际问题中做出准确的判断和预测。
《数学分析》教案第三章 函数极限
《数学分析》教案-第三章函数极限第三章 函数极限在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”.二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例.通过数列极限的学习.应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”.例如，数列{}n a 这种变量即是研究当n →+∞时，{}n a 的变化趋势.我们知道，从函数角度看，数列{}n a 可视为一种特殊的函数f ，其定义域为N +，值域是{}n a ，即:()n f N R n a +→→; 或 (),n f n a n N +=∈或()n f n a =.研究数列{}n a 的极限，即是研究当自变量n →+∞时，函数()f n 变化趋势. 此处函数()f n 的自变量n 只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即n →+∞.但是，如果代之正整数变量n 而考虑一般的变量为x R ∈，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x 可能的变化趋势是否了仅限于x →+∞一种呢？为此，考虑下列函数:1,0;()0,0.x f x x ≠⎧=⎨=⎩类似于数列，可考虑自变量x →+∞时，()f x 的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量x →-∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x →∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x a →时，()f x 的变化趋势,.由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化.但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同.而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限.下面，我们就依次讨论这些极限.§1 函数极限的概念教学目标：掌握各种函数极限的分析定义，能够用分析定义证明和计算函数的极限．教学要求：掌握当0x x →；∞→x ；∞+→x ；∞-→x ；+→0x x ；-→0x x 时函数极限的分析定义，并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简单的函数极限．教学建议：本节的重点是各种函数极限的分析定义．对多数学生要求主要掌握当0x x →时函数极限的分析定义，并用函数极限的分析定义求函数的极限.一、x →+∞时函数的极限 (一) 引言设函数定义在[,)a +∞上，类似于数列情形，我们研究当自变量x →+∞时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ.这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质.例如 1(),f x x x =无限增大时，()f x 无限地接近于0；(),g x arctgx x =无限增大时，()f x 无限地接近于2π；(),h x x x =无限增大时，()f x 与任何数都不能无限地接近.正因为如此，所以才有必要考虑x →+∞时，()f x 的变化趋势.我们把象()f x ，()g x 这样当x →+∞时，对应函数值无限地接近于某个定数Ａ的函数称为“当x →+∞时有极限Ａ”.问题 如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当x →+∞时函数极限的精确定义如下. (二) x →+∞时函数极限的定义定义1 设f 为定义在[,)a +∞上的函数，Ａ为实数.若对任给的0ε>，存在正数Ｍ()a ≥，使得当x M >时有 |()|f x A ε-<, 则称函数f 当x →+∞时以Ａ为极限.记作lim ()x f x A →+∞=或()()f x A x →→+∞.(三) 几点注记 1、义1中作用ε与数列极限中ε作用相同，衡量()f x 与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数列极限定义中Ｎ相类似，表明x 充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数x ，而不仅仅是正整数n.2、lim ()x f x A →+∞=的邻域描述：,(),U ε∀∃+∞当()x U ∈+∞时，()(;).f x U A ε∈3、lim ()x f x A →+∞=的几何意义：对ε∀，就有y A ε=+和y A ε=-两条直线，形成以Ａ为中心线，以2ε为宽的带形区域.“当x M >时有|()|f x A ε-<”表示：在直线x M =的右方，曲线()y f x =全部落在这个带形区域内.如果ε给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线x M =一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数Ｍ，使得曲线()y f x =在x M =的右边的全部落在这个更窄的带形区域内.4、现记f 为定义在()U -∞或()U ∞上的函数，当x →-∞或x →∞时，若函数值()f x 能无限地接近于常数Ａ，则称f 当x →-∞或x →∞时时以Ａ为极限，分别记作，lim ()x f x A →-∞=或()()f x A x →→-∞，lim ()x f x A →∞=或()()f x A x →→∞.这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，简写如下：lim ()x f x A →-∞=0,0,M ε⇔∀>∃>当x M <-时，|()|f x A ε-<，lim ()x f x A →∞=0,0,M ε⇔∀>∃>当||x M >时，|()|f x A ε-<.5、推论 设()f x 为定义在()U ∞上的函数，则lim ()x f x A →∞=⇔lim ()lim ()x x f x f x A →+∞→-∞==.(四) 利用lim ()x f x →+∞＝Ａ的定义验证极限等式举例例1 证明 1lim0x x→∞=. 例2 证明 1）lim 2x arctgx π→-∞=-；2）lim 2x arctgx π→+∞=.二、0x x →时函数的极限 (一) 引言上节讨论的函数f 当x →+∞时的极限，是假定f 为定义在[,)a +∞上的函数，这事实上是()U +∞，即f 为定义在()U +∞上，考虑x →+∞时()f x 是否趋于某个定数Ａ.本节假定f 为定义在点0x 的某个空心邻域()00U x 内的函数，.现在讨论当00()x x x x →≠时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列.先看下面几个例子：例1 ()1(0)f x x =≠.（()f x 是定义在0(0)U 上的函数，当0x →时，()1f x →）.例2 24()2x f x x -=-.（()f x 是定义在0(2)U 上的函数，当2x →时，()4f x →）.例3 1()f x x=.（()f x 是定义在0(0)U 上的函数，当0x →时，()?f x →）. 由上述例子可见，对有些函数，当00()x x x x →≠时，对应的函数值()f x 能趋于某个定数Ａ；但对有些函数却无此性质.所以有必要来研究当00()x x x x →≠时，()f x 的变化趋势.我们称上述的第一类函数()f x 为当0x x →时以Ａ为极限，记作0lim ()x x f x A →=.和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法.不是严格的数学定义.那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？作如下分析：“当自变量x 越来越接近于0x 时，函数值()f x 越来越接近于一个定数Ａ”→只要x 充分接近0x ，函数值()f x 和Ａ的相差就会相当小→欲使|()|f x A -相当小，只要x 充分接近0x 就可以了.即对0,0εδ∀>∃>，当00||x x δ<-<时，都有|()|f x A ε-<.此即lim ()x x f x A →=.(二) 00()x x x x →≠时函数极限的εδ-定义定义2 设函数()f x 在点0x 的某个空心邻域()00;U x δ'内有定义，Ａ为定数，若对任给的0,()0εδδ'∀>∃<>，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数f 当 x 趋于0x 时以Ａ为极限（或称Ａ为0x x →时()f x 的极限），记作0lim ()x x f x A →=或（0()()f x A x x →→.(三) 函数极限的εδ-定义的几点说明1、|()|f x A ε-<是结论，00||x x δ<-<是条件，即由00||x x δ<-<推出.2、ε是表示函数()f x 与Ａ的接近程度的.为了说明函数()f x 在0x x →的过程中，能够任意地接近于Ａ，ε必须是任意的.这即ε的第一个特性——任意性，即ε是变量；但ε一经给定之后，暂时就把ε看作是不变的了.以便通过ε寻找δ，使得当00||x x δ<-<时|()|f x A ε-<成立.这即ε的第二特性——暂时固定性.即在寻找δ的过程中ε是常量；另外，若ε是任意正数，则2,2εε均为任意正数，均可扮演ε的角色.也即ε的第三个特性——多值性；（|()|f x A ε-<|()|f x A ε⇔-≤）3、δ是表示x 与0x 的接近程度，它相当于数列极限的N ε-定义中的Ｎ.它的第一个特性是相应性.即对给定的0ε>，都有一个δ与之对应，所以δ是依赖于ε而适当选取的，为此记之为0(;)x δε；一般说来，ε越小，δ越小.但是，定义中是要求由00||x x δ<-<推出|()|f x A ε-<即可，故若δ满足此要求，则,23δδ等等比δ还小的正数均可满足要求，因此δ不是唯一的.这即δ的第二个特性——多值性.4、在定义中，只要求函数f 在0x 的某空心邻域内有定义，而一般不要求f 在0x 处的函数值是否存在，或者取什么样的值.这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x 趋于0x 的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关.所以可以不考虑f 在点a 的函数值是否存在，或取何值，因而限定“00||x x <-”.5、定义中的不等式00||x x δ<-<00(,)x U x δ⇔∈；|()|()(;)f x A f x U A εε-<⇔∈.从而定义2⇔0,0εδ∀>∃>，当00(,)x U x δ∈时，都有()(;)f x U A ε∈⇔0,0εδ∀>∃>，使得()00(,)(;)f U x U A δε⊂.6、εδ-定义的几何意义.例1 设24()2x f x x -=-，证明：2lim ()4x f x →=.例2 设()1(0)f x x =≠，讨论0x →时()f x 的极限. 例3 证明 1）00lim sin sin x x x x →=；2）00lim cos cos x x x x →=.例4 证明 22112lim 213x x x x →-=--.例5 证明lim x x →=0(||1)x <.例6 证明 00lim ,lim x x x x C C x x →→==.例7 证明)0(11lim≠=→a ax ax .证明 注意到a x a x a x ⋅-=-11，要想它任意小，a x -可任意小，x 却不能任意小，当ax →时，它必须远离零点.当2a a x <-时，2aa x a x >--≥就远离零点了.0>∀ε, 取)2,2min(2εδaa =，则当δ<-<a x 0时, 有ε<-≤-2||211a a x a x .例8 证明 ax ax =→lim.证明 先设0=a ，要证0lim0=+→x x ，0>∀ε，要使ε<=x x , 取2εδ=，则当δ<<x 0时，有εδ<<=x x ，即 0lim 0=+→x x . 再设0>a ，0>∀ε, 要使ε<-a x ，注意到ax aax a x a x -≤+-=-1，只要ε<-a x a 1, 且0>x ，取)2,min(aa εδ=，则当δ<-<a x 0时，有ε<-a x ，即ax ax =→lim.例9 验证.222lim 22=-+∞→x xx x证明 . 422 2 4 24 222 2423222x xx x x x x x x x x x =-+-+=--+>>例10 验证 .512372933lim 2233=+--+-→x x x x x x证明 由,3≠x 512)3( )12()3( )3( 5123729332223----+=-+--+-x x x x x x x x x =.12395125395 5121232---≤---=--+x x x x x x x x 为使 ,11635615595≤+-≤+-=-x x x 需有 ;13<-x 为使 ,1325562 12>--≥+-=-x x x 需有 .23<-x于是, 倘限制 130<-<x , 就有512372933 223-+--+-x x x x x 12395---≤x x x .3111311-=-≤x x . 三、单侧极限 (一) 引言有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如21,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩ 或函数在某些点仅在其一侧有定义，如2()0f x x =≥.这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义（讨论方法），而要从这些点的某一侧来讨论.如讨论1()f x 在0x →时的极限.要在0x =的左右两侧分别讨论.即当0x >而趋于0时，应按21()f x x =来考察函数值的变化趋势；当0x <而趋于0时，应按1()f x x =来考察函数值的变化趋势；而对2()f x ，只能在点0x =的右侧，即0x >而趋于0时来考察.为此，引进“单侧极限”的概念.(二) 单侧极限的定义定义 3 设函数f 在00(;)U x δ+'内有定义，Ａ为定数.若对任给的0,()0εδδ'∀>∃<>，使得当00x x x δ<<+时有|()|f x A ε-<, 则称数Ａ为函数f 当x 趋于0x 时的右极限，记作lim ()x x f x A +→=或0()()f x A x x +→→或0(0)f x A +=.类似可给出左极限定义（00(;)U x δ-，00x x x δ-<<，0lim ()x x f x A -→=或0()()f x A x x -→→或0(0)f x A -=）.注 右极限与左极限统称为单侧极限.(三) 例子例1 讨论函数1()f x 在0x =的左、右极限. 例2 讨论sgn x 在0x =的左、右极限.例3 讨论函数1±处的单侧极限.(四) 函数极限0lim ()x x f x →与0lim (),lim ()x x x x f x f x +-→→的关系定理3.1 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==.证明 必要性:0>∀ε, 由Ax f x x =→)(lim 0, 0>∃δ, 使得当δ<-<00x x 时，有ε<-A x f )(，特别地当δ<-<00x x 时，有ε<-A x f )(，故A x f x x =+→)(lim 00.同理当δ<-<x x 00时，也有ε<-A x f )(, 故A x f x x =-→)(lim 00.充分性: 0>∀ε, 由A x f x x =+→)(lim 00，01>∃δ, 使得当100δ<-<x x 时，有ε<-A x f )(, 又由Ax f x x =-→)(lim 00, 02>∃δ, 使得当200δ<-<x x 时，有ε<-A x f )(. 令),m in(21δδδ=,当δ<-<00x x 时，有ε<-A x f )(，故Ax f x x =→)(lim 0.注：1）利用此可验证函数极限的存在，如由定理3.1知：10lim ()0x f x →=.还可说明某些函数极限不存在，如由例2知0limsgn x x →不存在.2）0(0)f x +，0(0)f x -，0()f x 可能毫无关系，如例2.§2 函数极限的性质教学目标：使学生掌握函数极限的基本性质.教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等. 教学重点：函数极限的性质及其计算. 教学难点：函数极限性质证明及其应用. 教学方法：讲练结合.在§1中我们引进了下述六种类型的函数极限：1、lim ()x f x →+∞；2、lim ()x f x →-∞；3、lim ()x f x →∞；4、0lim ()x x f x →;5、0lim ()x x f x +→；6、0lim ()x x f x -→.它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以0lim ()x x f x →为代表来叙述并证明这些性质.至于其它类型极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可.一、函数极限的性质性质1（唯一性） 如果)(lim x f ax →存在，则必定唯一.证法一 设)(lim x f ax →A =，Bx f a x =→)(lim ,则,0,01>∃>∀δε当1||0δ<-<a x 时，ε<-|)(|A x f , (1),02>∃δ当2||0δ<-<a x 时，ε<-|)(|B x f . (2)取{}2,1min δδδ=，则当δ<-<a x 0时（1）和（2）同时成立.因而有ε2)()())(())((<-+-≤---=-B x f A x f B x f A x f B A , (3)由ε的任意性，（3）式只有当=-B A 时，即B A =时才成立.证法二 反证,如)(lim x f a x →A =，Bx f a x =→)(lim 且B A >，取20BA -=ε，则0>∃δ，使当δ<-<a x 0时，0)(,)(εε<-<-B x f A x f ,即2)(200BA B x f A B A +=+<<-=+εε 矛盾.性质2（局部有界性） 若0lim ()x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域内有界.证明 取10=ε, 由 A x f x x =→)(lim 0, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 有1)(<-A x f ,即 1)()(+≤-+≤A A x f A x f ， 说明)(x f 在);(00δx U 上有界，1+A 就是一个界.性质3（保序性） 设bx f ax =→)(lim ，cx g ax =→)(lim .1）若c b >，则0>∃δ，当0δ<-<a x 时有)()(x g x f >；2）若00>∃δ，当0δ<-<a x 时有)()(x g x f ≥，则c b ≥.（保不等式性）证明 1） 取20cb -=ε即得.2）反证，由1）即得.注 若在2）的条件中, 改“)()(x g x f ≤”为“)()(x g x f <”, 未必就有.B A < 以 0 ,1)( ,1)(02=≡+=x x g x x f 举例说明.推论（局部保号性） 如果b x f a x =→)(lim 且0≠b ，则00>∃δ使当00δ<-<a x 时)(x f 与b 同号.性质4（迫敛性） 设0lim ()lim ()x x x x f x h x A →→==，且在某00(;)U x δ'内有()()()f x g x h x ≤≤，则0lim ()x x h x A →=.证明 0>∀ε, 由A x f x x =→)(lim 0，01>∃δ，使得当100δ<-<x x 时，有ε<-A x f )(，即 εε+<<-A x f A )(.又由A x h x x =→)(lim 0，02>∃δ，使得当200δ<-<x x 时 ，有ε<-A x h )(， 即εε+<<-A x h A )(.令),m in(21δδδ=，则当δ<-<00x x 时，有εε+<≤≤<-A x h x g x f A )()()(即 ε<-A x g )(，故 A x g x x =→)(lim 0.性质6（四则运算法则） 若0lim ()x x f x →和0lim ()x x g x →都存在，则函数,f g fg ±当0x x →时极限也存在，且 1）[]0lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±；2）()0lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→⋅=⋅. 又若0lim ()0x x g x →≠，则fg当0x x →时极限也存在，且有 3）000lim ()()lim ()lim ()x xx x x x f x f x g x g x →→→=. 3）的证明 只要证B x g x x 1)(1lim 0=→，令020>=B ε，由B x g x x =→)(lim 0，01>∃δ使得当100δ<-<x x 时，有2)(B B x g <-， 即22)()(BB B B x g B x g =-≥--≥. 0>∀ε, 仍然由B x g x x =→)(lim 0，02>∃δ, 使得当200δ<-<x x 时，有ε2)(2BB x g <-. 取),m in(21δδδ=，则当δ<-<00x x 时，有εε=⋅<-≤-=-22)(2)()(1)(1222BB B x g B B x g B x g B x g 即 B x g xx 1)(1lim 0=→.二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限.已证明过以下几个极限：;cos cos lim ,sin sin lim ,lim ,lim 0000x x x x x x C C x x x x x x x x ====→→→→.2lim ,01limπ±==±∞→∞→arctgx x x x （ 注意前四个极限中极限就是函数值 ） 这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时, 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限, 代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1 求01lim x x x →⎡⎤⎢⎥⎣⎦.例2 求4lim(1)x xtgx π→-.例3 求3113lim()11x x x →--++. 例4 .523735lim 233+++-∞→x x x x x 例5 .11lim 1071--→x x x [利用公式121(1)(1)n n n a a a a a ---=-++++].例6 .2122lim221-+-+-→x x x x x例7 .53132lim22++++∞→x x x x例8 .23)102sin(lim254xx x x x --+∞→例9 .1111lim3-+-+→x x x§3 函数极限存在条件教学目标：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性. 教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路. 教学重点：海涅定理及柯西准则. 教学难点：海涅定理及柯西准则 运用.教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用.在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过“单调有界定理”和“柯西收敛准则”.我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？这是本节的主要任务.本节的结论只对0x x →这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的.首先介绍一个很主要的结果——海涅(Heine)定理（归结原则）.一、归结原则定理1（Heine 定理） 设f 在00(;)U x δ'内有定义，0lim ()x x f x →存在⇔对任何含于00(;)U x δ'且以0x 为极限的数列{}n x ，极限lim ()n n f x →∞都存在且相等.证明 必要性:在()0U x 中任取序列}{n x ，且0lim x x n n =∞→，要证Ax f n n =∞→)(lim .0>∀ε，由Ax f x x =→)(lim 0，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，有ε<-A x f )(.对于0>δ，由0x x n →，N ∃，使得当N n >时，有δ<-<00x x n ，于是当N n >时，有ε<-A x f n )(，即A x f n n =∞→)(lim .充分性:如果不然，即0x x →时，)(x f 不以A 为极限，则00>∃ε，0>∀δ，δδδ<-<∈∃0000)(x x x U x ，使得0)(εδ≥-A x f .令),2,1(1 ==n n δ，则n x x x U x n n 10,)(000<-<∈∃，使得0)(ε≥-A x f n .对于序列}{n x ，0x x n →，()0n x U x ∈，但0)(ε≥-A x f n ，显然与条件Ax f n n =∞→)(lim 矛盾.判断)(lim 0x f x x →不存在之方法：()0U x 中找到两个序列}{nx '和}{n x ''向于0x ，两个极限)(lim nn x f '∞→和)(lim n n x f ''∞→在，但不相等，这实际上是充要条件，证明到它的充分性.注 1 {}()n f x 是数列，lim ()n n f x →∞是数列的极限.所以这个定理把函数()f x 的极限归结为数列{}()n f x 的极限问题来讨论，所以称之为“归结原则”.由此，可由数列极限的性质来推断函数极限性质.注2 从Heine 定理可以得到一个说明0lim ()x x f x →不存在的方法，即“若可找到一个数列{}n x ，0lim n n x x →∞=，使得lim ()n n f x →∞不存在；”或“找到两个都以0x 为极限的数列{}{},nnx x '''，使lim (),lim ()nnn n f x f x →∞→∞'''都存在但不相等，则0lim ()x x f x →不存在.例1 证明01limsin x x→不存在.证明 令021→='n x n π， 0)2(121→+=''πn x n ，01sin ='n x , 当然趋于0，11sin=''nx , 当然趋于1，故x 1sin 当0→x 时没极限.注3 对于00,,,x x x x x x +-→→→+∞→-∞这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式.如当0x x +→时有：定理2 设函数f 在0x 的某空心邻域00()U x +内有定义，0lim ()x x f x A +→= ⇔对任何以0x 为极限的递减数列{}00()n x U x +⊂，有lim ()n n f x A →∞=.二、单调有界定理相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理.现以0x x +→这种类型为例叙述如下:定理3 设f 为定义有00()U x +上的单调有界函数，则右极限0lim ()x x f x +→存在. 注 定理3可更具体地叙述如下：f 为定义在00()U x +上的函数，若（1）f 在00()U x +上递增有下界，则0lim ()x x f x +→存在，且00()lim ()inf ()x x x U x f x f x ++→∈=；（2）f 在00()U x +上递减有上界，则0lim ()x x f x +→存在，且000()lim ()sup ()x x x U x f x f x ++→∈=.更一般的有：定理 设)(x f 在)(00x U -上定义，且)(x f 单调上升，则)(lim 00x f x x -→存在且等于)(sup )(00x f x U x -∈.证明 令=A )(sup )(00x f x U x -∈, 当集合)}(|)({00x U x x f -∈有上界时, +∞<A ，当它无上界时，+∞=A .1) +∞<A0>∀ε, 由上确界定义，∈'∃x )(00x U -, 使得ε->'A x f )(, 取00>'-=x x δ，则当δ<-<x x 00时，由函数单调上升得ε->'≥A x f x f )()(, 再由上确界定义εε->>+A x f A )(或 ε<-A x f )(, 即)(sup )(lim )(0000x f A x f x U x x x -∈-→==.2) +∞=A因集合无上界，对0>∀M ,∈'∃x )(00x U -, 使得M x f >')(.取 00>'-=x x δ，则当δ<-<x x 00时, 有M x f x f >'≥)()(, 即)(sup )(lim )(0000x f x f x U x x x -∈-→=+∞=.类似地我们有:)(x f 在)(00x U -定义，且)(x f 单调下降,则)(inf )(lim )(0000x f x f x U x x x -∈-→=, 以及关于右极限的相应结果，同学们自行给出定理的表述和证明. 三、 函数极限的Cauchy 收敛准则定理４（Cauchy 准则） 设函数f 在00(;)U x δ'内有定义，0lim ()x x f x →存在⇔任给0ε>，存在正数()δδ'<，使得对任何00,(;)x x U x δ'''∈有|()()|f x f x ε'''-<.证明 )⇒ ( 利用极限的定义 )设bx f a x =→)(lim ，则 0>∀ε，0>∃δ（δδ'<）当δ<-<||0a x 时有2/|)(|ε<-b x f ,从而当δ<-'<||0a x ，δ<-''<||0a x 时有εεε=+<-''+-'≤''-'2/2/|)(||)(||)()(|b x f b x f x f x f)⇐( 利用Heine 归并原则 )设}{n a ),('δa U⊂且aa n n =∞→lim ，由假设，0>∀ε，0>∃δ（δδ'<），只要x '，x ''),(δa U∈ε<''-'⇒|)()(|x f x f ,对此δ，0n ∃，当0,n n m >时有 δ<-<||0a a m ，δ<-<||0a a n .从而ε<-|)()(|m n a f a f 由数列的Cauchy 收敛准则，)(lim n n a f ∞→存在设为ba f n n =∞→)(lim 设}{n b ),('δa U⊂为另一数列，且ab n n =∞→lim 则同上可得)(lim n n b f ∞→存在,设为cb f n n =∞→)(lim ,考虑数列},,,,,,{}{2211 n n n b a b a b a C =易见}{n C ),('δa U⊂且aC n n =∞→lim如上所证，)(lim n n C f ∞→存在，作为)}({n C f 的两个子列)}({n a f 、)}({n b f 必收敛于同一极限，即c b =.因此由归结原则得 bx f ax =→)(lim .注 按照Cauchy 准则，可以写出0lim ()x x f x →不存在的充要条件：存在0ε>，对任意(0)δ>，存在00,(;)x x U x δ'''∈使得|()()|f x f x ε'''-≥.例 用Cauchy 准则说明01limsin x x→不存在.证明 取 .21,1πππ+=''='n x n x例5 设在 [) , ∞+a 上函数)(x f ↘. 则极限 )(lim x f x +∞→存在, )( x f ⇔在[) , ∞+a 上有界. ( 简证, 留为作业 ).综上所述：Heine 定理和Cauchy 准则是说明极限不存在的很方便的工具.§3.4 两个重要的极限教学目标：掌握两个重要极限，并能熟练应用.教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用. 教学重点：两个重要极限的证明及运用. 教学难点：两个重要极限的证明及运用.教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习. 一、 0sin lim1x xx→=的证明在单位圆盘}1|),{(22≤+=y x y x D 上，x 是圆心角AOB ∠，以弧度计，即它恰好等于AB , 而 BC x =sin 是弦长B B '之半，它的几何意义是sin 2sin 1(0)2x x BB x x x BB '==→→'，即圆心角趋于0时，对应的弦长与弧长之比趋于1.证明 设20π<<x , AOB ∆面积<扇形AOB 面积<AOD ∆面积，即tgx x x 2121sin 21<<， 1sin cos <<x x x ,用偶函数性质，这不等式在2<<-x π时也成立.令 0→x , 1cos lim 0=→x x , 两边夹得出 1sin lim0=→x xx .推论 R ∈∀x ，x x ≤sin ，等号成立当且仅当0=x .证明20π<<x 时, 1|||sin |sin <=x x x x , 当2π≥x 显然成立，而0=x 时等号成立，且只有0=x 时等号成立.二、 0sin lim1x xx→=的应用例1 求20cos 1limx xx -→.解2222222sin 1cos 1sin 2()2xx xxx x -==，令t =0→x 时0→t ；故有)sin (21lim cos 1lim 2020=-→→t t x x t x 例2 求x xx -→ππsin lim.解 令x t -=π，则 t t x sin )sin(sin =-=π；且当π→x 时0t →，故 1sin lim sin lim0==-→→t tx x t x ππ.例3 求nx mxx sin sin lim0→（0,0≠≠x n ）.证明 当0≠m 时n m nx nx n mx mxm nx mx →⋅⋅=sin sin sin sin ；当0=m 时原式0=.注 利用归结原则，可求数列极限.如求1sin1lim lim sin 1n n n n nn→∞→∞=，直接利用0sin lim 1x x x →=是不严格的；但已知0sin lim1x x x →=，故取,(1,2,)n x n nπ==，则0()n x n →→∞，从而由归结原则1sinlim ()lim01n n n n f x n→∞→∞==.三、证明1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()10lim 1e ααα→+=.证明 先证+∞→x 情况，当1>x 时，有][11111][11x x x +≤+≤++.xx x x x x )][11()11()1][11(+≤+≤++，eex x x x x x ↓↓+≤+≤+++1][][)][11()11()1][11(所以 ex x x =+∞→)11(lim .再证-∞→x 情况, 令+∞→-=y y x ,，e y y y x y y y y x x =-+⋅-+=-=+-+∞→-+∞→-∞→)111()111(lim )11(lim )11(lim 1由极限与单侧极限关系定理，得 ex x x =+∞→)11(lim .推论 et tt =+→10)1(lim .证明 令x t 1=, 即得.四、应用例1 求xx x 10)21(lim +→.解 令x u 2=，则u x 21=；且当0→x 时0→u （0≠x 时0≠u ）， 因此，2202010])11[(lim )1(lim )21(lim e u u x u u uu xx =+=+=+→→→.例2 求x x x 10)1(lim -→.解 令u x -=，则当0→x 时0→u ，因此，e u u x u u uu xx 1])11[(lim )1(lim )1(lim 101010=+=+=--→-→→例3 求xx x x )3212(lim ++∞→.解xx xx x x x )2111(1)1221(1)3212(++=++=++x x x )2111(lim ++∞→e e x x x x =⋅=++⋅++=-+∞→1)2111()2111(lim 211，故原式e 1=.也可利用以下结论：0)(lim >=→A x f ax ，Bx f ax =→)(lim ，则Bx g ax A x f =→)()(lim ，1322232])3221[()3221()3212(-+-+--→+-+=+-+=++e x x x x x x x x x .§3.5 无穷小量与无穷大量教学目标：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念．教学内容：无穷小量与无穷大量，高阶无穷小，同阶无穷小，等阶无穷小，无穷大． 教学要求：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念；能够写出无穷小量与无穷大量的分析定义，并用分析定义证明无穷小量与无穷大量．在计算及证明中，熟练使用“o ”与“O ”．教学重点：无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念． 教学难点：熟练使用“o ”与“O ”进行运算．在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：lim 0n n a →∞=. 我们称之为无穷小数列.通过前面几节对函数极限的学习.我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形.例如：limsin 0,x x →= 20lim 0,x x →=，我们给这类函数一个名称——“无穷小量”.既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量”有哪些性质呢？以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量.一、无穷小量 (一) 定义定义1 设f 在某00()U x 内有定义.若0lim ()0x x f x →=，则称f 为当0x x →时的无穷小量.记作：0()(1)()f x x x =→.类似地可以定义当00,,,,x x x x x x x +-→→→+∞→-∞→∞时的无穷小量.例 (1,2,),sin ,1cos k x k x x =-都是当0x →1x -→时的无穷小量；21sin ,xx x是x →∞时的无穷小量. (二) 无穷小量的性质1、先引进以下概念定义2（有界量） 若函数g 在某00()U x 内有界，则称g 为当0x x →时的有界量，记作：0()(1)()g x O x x =→.例如：sin x 是当x →∞时的有界量，即sin (1)()x O x =→∞； 1sin x是当0x →时的有界量，即1sin(1)(0)O x x=→. 注 任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若0()(1)()f x x x =→，则0()(1)()f x O x x =→.区别 “有界量”与“有界函数”.一般在谈到函数f 是有界函数或函数f 是有界的，意味着存在Ｍ>0，f 在定义域内每一点x ，都有|()|f x M ≤.这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界.2、性质性质1 两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. 性质2 无穷小量与有界是的乘积为无穷小量.性质3 0lim ()()x x f x A f x A →=⇔-是当0x x →时的无穷小量⇔0lim(())0x x f x A →-=.例如：201lim sin0x x x→=，2300lim()0,lim sin 0x x x x x x →→±==.问题 两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑：22222200000sin 2lim 0,lim ?,lim 1,lim 1,lim 2x x x x x x x x x x x x x xx →→→→→=====. 引申 同为无穷小量，20lim 0x x x →=，而20lim x xx→不存在？这说明“无穷小量”是有“级别”的.这个“级别”表现在收敛于0（或趋近于0）的速度有快不慢.就上述例子而言，这个“级别”的标志是x 的“指数”，当0x →时，x 的指数越大，它接近于0的速度越快.这样看来，当0x →时，2x 的收敛速度快于x 的收敛速度.所以其变化结果以2x 为主.此时称2x 是（当0x →时）x 的高阶无穷小量，或称0x →时， x 是2x 的低阶无穷小量.一般地，有下面定义：3、穷小量阶的比较（主要对0x x →叙述，对其它类似）设当0x x →时，,f g 均为无穷小量.（1）若0()lim0()x x f x g x →=，则称0x x →时f 为g 的高阶无穷小量，或称g 为f 的低阶无穷小量，记作0()(())()f x o g x x x =→. 即0()(())()f x o g x x x =→⇔0()lim0()x x f x g x →=. 例1 求0arctan limsin 4x xx→.解 ()arctan 0xx x →，()sin 440x x x →，故00arctan 1lim lim sin 444x x x x xx→→==.例2 22444000(tan sin )tan (1cos )12lim lim limsin sin 2x x x x x x x x x x x x x x →→→⋅--===.例3323112arcsin )11ln(lim --+→x x x .解 1→x 时，31-x 0→，01232→-x ，)11ln(3-+x ∽31-x （1→x ），arcsin 3212-x ∽3212-x （1→x ），故原式3313231221121lim121lim=+=--=→→x x x x x例4 x e x x e x x x x 2)ln()ln(sin lim2220-+-+→.解 原式x x x x x e e x e e x 22220ln )ln(ln )ln(sin lim -+-+=→)1ln()sin 1ln(lim 2220x xx e x e x ++=→1sin lim 2220==→x x x e x e x.千万注意：不是因子不能用等价无穷小量替换.如2111lim 11n n n n →∞-+=，显然不能用11+n 替n 1最后给出一个很有用的表达式：()()()f x g x x a →即()lim1()x af xg x →=，即()()lim 0()x a f x g x g x →-=即))(()()(x g o x g x f =-或))(()()(x g o x g x f +=)(a x →，如)(sin x o x x +=，)(21cos 122x o x x +=-)0(→x .此时称)(x g 为α的主部.)1(111222x o x x x +=+注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代, 而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代. (三) 小结以上讨论了无穷小量，无穷小量性质.无穷小量比较.两个无穷小量可比较的特征——其商是有界量.但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较.例如021lim sinlim 0x x x x x x x →→==. 二、无穷大量(一) 问题 “无穷小量是以0为极限的函数”.能否仿此说“无穷大量是以∞为极限的函数”.答：按已学过的极限的定义，这种说法是不严格的，讲Ａ为函数()f x 当0x x →时的极限，意味着Ａ是一个确定的数，而“∞”不具有这种属性，它仅仅是一个记号.所以不能简单地讲“无穷大量是以∞为极限的函数”.但是，确实存在着这样的函数，当0x x →时，()f x 与()or ∞+∞-∞无限接近.例如：1）1()f x x =，当0x →时，1x与∞越来越接近，而且只要x 与0充分接近，1x 就会无限增大；2）1()1f x x =-，当1x →时，也具有上述特性. 在分析中把这类函数()f x 称为当0x x →时有非正常极限∞.其精确定义如下：(二) 非正常极限定义2（非正常极限） 设函数()f x 在某00()U x 内有定义，若对任给的Ｍ>0，存在0δ>，当0000(;)(())x U x U x δ∈⊂时有|()|f x M >，则称函数()f x 当0x x →时有非正常极限∞，记作0lim ()x x f x →=∞.注 1）若“|()|f x M >”换成“()f x M >”，则称()f x 当0x x →时有非正常极限+∞；若换成(),f x M <- 则称()f x 当0x x →时有非正常极限-∞，分别记作lim (),lim ()x x x x f x f x →→=+∞=-∞.2) 关于函数f 在自变量x 的其它不同趋向的非正常极限的定义，以及数列{}n a 当n →∞时的非正常极限的定义，都可类似地给出.例如：lim ()0x f x M →+∞=-∞⇔∀>，当x M >时，()f x M <-;lim 0n n a M →∞=+∞⇔∀>，0N ∃>，当n N >时，n a M >.(三) 无穷大量的定义定义 3 对于自变量x 的某种趋向（或n →∞），所有以,or ∞+∞-∞为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量.例如：21x当0x →时是无穷大量；(1)x a a >当x →+∞时是无穷大量. 注 1）无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数;2）若f 为0x x →时的无穷大量，则易见f 为00()U x 上的无界函数，但无界函数却不一定是无穷大量.例如；()sin f x x x =在()U +∞上无界，但lim ()x f x →+∞≠∞;3）如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样，对两个无穷大量，也可以定义高阶无穷大量、同阶无穷大量等概念.(四) 利用非正常极限定义验证极限等式例 3 证明 (1)∞=→201limx x ，+∞=+→x x 1lim 0，-∞=-→x x 1lim 0; (2)∞=-+→12lim21x x x .证明 (1) 0>∀G ，要使G x >21，只要G x 1||<.因而取G 1=δ，则当0||x δ<<时都有G x x f >=21|)(|即∞=→201lim x x . 其余可类似证明.(2) 设21|1|<-x 即2321<<x ，0>∀M ，欲使M x x x x x x x >-=-⋅+≥-⋅++=-+|1|154|1|112/32|1|1|12||12|2成立，只须M x 54|1|<-, 故取}54,21min{M =δ，当δ<-<|1|0x 时，有M x x >-+|12|2 即∞=-+→12lim 21x x x .例4 证明当1a >时，lim x x a →+∞=+∞.三、无穷小量与无穷大量的关系定理 （1）设f 在00()U x 内有定义且不等于0，若f 为当0x x →时的无穷小量，则1f为x x→时的无穷大量；（2）若g为x x→时的无穷大量，则1g为x x→时的无穷小量.。
极限理论在数学分析中的地位与作用及求极限的方法1
极限理论在数学分析中的地位与作用及求极限的方法1一、极限理论在数学分析中的地位与作用极限理论是数学分析的基本概念，它是一种基础性的数学概念。
极限理论在数学中的应用非常广泛，它在数学分析、微积分和概率论等领域中拥有着广泛的应用。
极限理论为我们提供了一种有效的工具，可以在实际应用中解决许多问题，例如：用极限理论可以求解数列的极限，函数的极限以及连续性等。
极限理论解决了许多数学问题，并且在数学分析的很多分支中也是不可替代的。
例如，在微积分中，极限被用于定义导数、积分等概念，进而为诸如泰勒级数、微分方程、变分法等高深的微积分技术提供了基础。
在实际应用中，极限理论也被广泛应用于金融、经济学和物理学等领域。
总之，极限理论不仅是数学中最基础的和最重要的一个概念，而且在实际应用中也非常广泛。
二、求极限的方法1. 代值法当函数在极点附近有一个定义时，可以用代值法求极限。
例如：$\\lim_{x\\rightarrow4}(x^2-16)=0$可以用代值法得到：$x^2-16=(x+4)(x-4)$当$x\\rightarrow4$时，$(x+4)\\rightarrow8$，$(x-4)\\rightarrow0$，因此：$\\lim_{x\\rightarrow4}(x^2-16)=\\lim_{x\\rightarrow4}(x+4)\\cdot\\lim_{x\\righ tarrow4}(x-4)=8\\cdot0=0$2. 夹逼法当我们无法使用代值法，或者函数在极点处无定义时，可以使用夹逼法。
例如：$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\sin(x)}{x}=1$我们不可以使用代值法求这个极限，因为在$x=0$处，函数 $\\frac{\\sin(x)}{x}$ 是无定义的。
但是，我们可以使用夹逼法求解。
具体而言，我们可以将 $\\sin(x)$ 的下限 $-x$ 和上限 $x$ 代入函数中，得到：$-x\\le\\sin(x)\\le x$然后将代码除以 $x$ 后，得到：$-1\\le\\frac{\\sin(x)}{x}\\le1$注意到当 $x$ 趋近于 0 时，$\\frac{\\sin(x)}{x}$ 的取值处于 $[-1,1]$ 之间，因此，由夹逼定理可得：$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\sin(x)}{x}=1$3. 分式分解法当函数有一个变量的积数在极限点为 0 时，可以使用分式分解法。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。