微分算子法

高阶常微分方程的微分算子法

撰写

摘自《大学数学解题法诠释》 .徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999

高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。但是有一个例外：常系数线性微分方程。我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐

次方程的特解。本节主要讨论微分算子法。 1.求方程230y y y ''''''--=的通解. 解 记()n n y D y =，将方程写成

3

2

230D y D y D y --=

或32(23)0D D D y --= 我们熟知，其实首先要解特征方程

3

2

230D D D --=

得0,1,3D =-故知方程有三特解31,,x x e e -，由于此三特解为线性无关，故立得通解

3123

x x

y C C e C e -=++ 注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是

1

111

()()

()

()()

n

n n n n n n d y d y

dy L y a x a x dx

dx

dx a x y f x ---=

++++=

其中系数1(),,()n a x a x 是某区间(,)a b 上的连续函数，上述方程又可写成

1

1()(()())n

n n L y D a x D

a x y -≡+++

()f x =

可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。本题中各()i a x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。

2.求解 61160y y y y ''''''-+-= 解 写成 3

2

(6116)0D D D y -+-= 从特征方程

3

2

06116D D D =-+-

(1)(2)(3)D D D =---

解得 1,2,3D =共三实根，故可立即写成特解 23123x x x y C e C e C e =++ 3.求解 39130y y y y ''''''-++= 解 写成 32(3913)0D D D y -++= 或 2(1)(413)0D D D y +-+= 特征方程 2(1)(413)0D D D +-+=有根 1,23D i =-±，故对应的特解是x

e -，2cos 3x

e

x ，

2sin 3x

e

x 从而通解是

22123cos 3sin 3x x x y C e C e x C e x -=++ 4.求(4)45440y y y y y ''''''-+-+=之通解. 解 写成

432(4544)0D D D D y -+-+= 或 22(2)(1)0D D y -+=

特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是

22,,cos ,sin x x

e xe x x ，故写成通解

21234()()cos sin x

y x e

C C x C x C x =+++

5.求1(cos )y y x -''+=的通解

解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程

0y y ''+=的通解，

写成2(1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+

设原方程有特解形为

*12()cos ()sin y C x x C x x =+

其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组

12

1

12()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos )

C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''''+=⎪⎩

或

12

1

12()cos ()sin 0()sin ()cos (cos )

C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''-+=⎪⎩

(方程组右端为原方程非齐次项1

(cos )x -)，解得 1s i n ()cos x C x x

'=-

，2()1C x '=

或 1()ln cos C x x =，2()C x x = 最后得通解为

1*()()()y x y x y x =+

12cos sin cos ln cos sin C x C x x x x x

=+++

注 对常系数方程，在应用上，不常运用常数变异法，

对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。

6.求解下列方程

(1)(4)24250y y y y y ''''''++--= (2)4850y y y '''-+= 解 (1)12x x y C e C e -=+

34(cos 2sin 2)x e C x C x -++

(2)12(cos

sin

)2

2x x x y e C C =+

7.求解下列cauchy 问题 (1)330;y y y y ''''''-+-=

(0)1,(0)2,(0)3y y y '''===

(2)0;(0)1,(0)0,(0)1y y y y y ''''''''+====

解 (1) (1)x y e x =+ (2) x y x e -=+ 8.求解非齐次方程

21(0)y y y x x x

'''+

+=

≠

解 本题不是常系数方程，为求通解需先知道齐次方程20y y y x

'''+

+=的两个线性无关的特解。现设用

观察法得到两个特解 12sin cos ,x x y y x

x

==

令

12sin cos ()()

()

x x y x C x C x x

x

=+

考虑方程组

121

2sin cos ()()0sin cos 1()()()()x x C x C x x x

x x C x C x x x x ⎧''+=⎪⎪⎨⎪''''+=⎪⎩

最后解得

1()s i n C x x =，2()cos C x x =

故原方程的通解为 1

2

sin cos 1()x x y x C C x

x

x

=++

注 我们说过，高阶方程中最重要、研究得最彻底的

是线性方程，因此我们就从它开始。因为有了常数变易法，所以重点似乎应放在齐次方程的求解，但是，齐次常系数线性方程的求解来的太容易(只需要解代数方程)，这就构成了这一单元的特点：我们着力于

求解具有特殊右端(物理学中称此种项为强迫项)的任意高阶非齐次常系数线性方程。这样做既是为了避免使用繁复的常数变易法，也是为了让解题者掌握一种最实用的技巧——微分算子法

9.求解

256y y y x '''++=

解 写成 2(2)(3)D D y x ++=

故对应齐次方程(2)(3)0D D y ++=的通解为 23112()x x y x C e C e --=+

今用下法求原方程的一个特解*()y x ，显然*()y x 满足

*2(2)(3)D D y x ++= 今用下法求出*()y x *

21

()(2)(3)

y x x D D =

++

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

222

22211()23

11

231111

23

1123

1(1)2

24

1(1)31(1)2

2

4

1

(1)3111(()())

22

4

111(()())

339

11122()()223391561x

D D x x D D x x

D D D D x D D

x

D D x D

D

x

x x x x x x x x x x x =-

++=-

++=

-

++

=-+---+-=

-+--+'''=-

+

'''--+=-+--+=- ３９

３９ 198108

x +

通解为