中考数学第7 讲 分式方程及其应用

含字母系数的分式方程的解 (1)若解为常数：代入方程，得关于未知字母系数的方程，求解即可； (2)若有解(解为正数或负数)：去分母化为整式方程，用含字母的代数式表 示方程的解，再根据解的正负确定字母取值范围，注意去除使最简公分母 为0的系数的值； (3)若无解或增根：去分母化为整式方程ax＋b＝0.①把增根代入整式方程 求解；②令最简公分母为0确定增根；③由a＝0，b≠0确定字母的值．
4 5
，这样 120 吨水可多用 3 天，求现在每天用水量是多少吨？
解：设原来每天用水量是 x 吨，则现在每天用水量是45 x 吨，依题 意，得：1420 －1x20 ＝3，解得：x＝10，
5x
经检验，x＝10 是原方程的解，且符合题意，∴45 x＝8. 答：现在每天用水量是 8 吨．
10. (2020·泰安)中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的 茶文化.2020年5月21日以“茶和世界 共品共享”为主题的第一届国际茶日 在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种 茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种 茶叶每盒进价的1.4倍． (1)A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？
5. 关于 x 的分式方程2x ＋x－3 a ＝0 的解为 x＝4，则常数 a 的值为( D ) A．1 B．2 C．4 D．10
6. (2018·眉山)已知关于 x 的分式方程x－x 3 －2＝x－k 3 有一个正数解， 则 k 的取值范围为_____k_<__6_且__k_≠_3_____．
7. (2020·内江)若数 a 使关于 x 的分式方程xx＋ －21 ＋1－a x ＝3 的解为非
重难点1 解分式方程 例 1 (2019·随州 5 分)解关于 x 的分式方程：3＋9 x ＝3－6 x .
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的 值，经检验即可得到分式方程的解． 规范答题：
解：去分母得：27－9x＝18＋6x，(2 分) 移项合并同类项得：15x＝9，(3 分) 解得：x＝35 ，(4 分)
6. (2020·陕西)解分式方程：x－x 2 －x－3 2 ＝1.
解：原分式方程去分母得：x2－4x＋4－3x＝x2－2x， 解得：x＝45 ，经检验 x＝45 是分式方程的解．
7. (2018·云南)某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组织甲、乙两个 志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成 的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完 成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时， 乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？
他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的 2 倍，求骑车学生
的速度．若设骑车学生的速度为 x km/h，则可列方程为( C )
A.
10 2x
－1x0
＝20
B.
10 x
－120x
＝20
C.
10 x
－120x
＝13
D.
10 2x
－1x0
＝13
5. (2019·齐齐哈尔)关于 x 的分式方程2xx－－1a －1－1 x ＝3 的解为非 负数，则 a 的取值范围为____a_≤_4_且__a_≠_3________________．
解：去分母得：5(x－1)－(x＋1)＝0，去括号得：5x－5－x－1＝0， 合并同类项得：4x－6＝0，解得：x＝32 ，检验：当 x＝32 时，x(x ＋1)(x－1)≠0，所以原方程的解为 x＝32 .
重难点2 分式方程解的应用 例 2 (2019·荆州)已知关于 x 的分式方程x－x 1 －2＝1－k x 的解为正数， 则 k 的取值范围为( B ) A．－2＜k＜0 B．k＞－2 且 k≠－1 C．k＞－2 D．k＜2 且 k≠1
(2)第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒(进价 不变)，A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种 茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出 后，第二次所购茶叶的利润为5800元(不考虑其他因素)，求本次购进A，B 两种茶叶各多少盒？
经检验 x＝35 是分式方程的解．(5 分)
解分式方程的思路及解分式方程和分式化简的区别 1．解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程进行求解，其一 般步骤为“一化(化整式方程)”、“二解(解整式方程)”、“三验(检验根)”、 “四定解”． 2．解分式方程和分式化简的区别：分式方程在转化为整式方程时，是利 用整式的性质约去分母，而分式化简是代数式的恒等变形，不能约去分 母．
时做 x 个零件，下列方程正确的是( D )
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A．1x20 ＝x1－508
B．x1＋208 ＝15x0
C．x1－208 ＝1x50
D．1x20 ＝x1＋508
9. (2020·襄阳)在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进 了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的
例5 (2019·阜新)节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行 驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地， 若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用 为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元． (1)求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千 米？ (2)若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元， 则至少需要用电行驶多少千米？
解：(1)设汽车行驶中每千米用电费用是 x 元，则每千米用油费用为
(x＋0.5)元，可得：x＋800.5 ＝3x0 ，解得：x＝0.3，经检验 x＝0.3
是原方程的解，∴汽车行驶中每千米用电费用是 0.3 元，甲、乙两 地的距离是 30÷0.3＝100 千米； (2)汽车行驶中每千米用油费用为 0.3＋0.5＝0.8 元，设汽车用电行 驶 y km，可得：0.3y＋0.8(100－y)≤50，解得：y≥60，所以至少需 用电行驶 60 千米．
3. (2019·广安)解分式方程：x－x 2 －1＝x2－44x＋4 .
解：方程两边同乘(x－2)2 得：x(x－2)－(x－2)2 ＝4，移项合并同类项得：2x＝8，解得：x＝4， 检验：当 x＝4 时，(x－2)2≠0，所以原方程的解 为 x＝4.
4. (人教八上 P152 练习(4)题改编)解方程：x2＋5 x －x2－1 x ＝0.
依题意，得：(300－200)×m2 ＋(300×0.7－200)×m2 ＋(400－
100－m 280)× 2
＋(400×0.7－280)×1002－m
＝5800，解得：m＝
40，∴100－m＝60. 答：第二次购进 A 种茶叶 40 盒，B 种茶叶 60 盒．
解分式方程中的“三漏”
试题 1 解方程：x＋x 3 ＝1－xx2－－19 . 解：方程两边同乘最简公分母，x(x－3)＝1－(x－1)，第一步 去括号，x2－3x＝－x，第二步 移项，合并同类项，x2－2x＝0，第三步 解得 x＝0 或者 x＝2.第四步 ∴原分式方程的解为 x1＝0，x2＝2.第五步 以上解法第_____一__、__二__、__五_________________步出现错误，错误的原因是 __常__数__项__漏__乘__最__简__公__分__母__，__去__括__号__时__括__号__内__忘__记__变__号__，__忘__记__检__验________； 请你给出正确的解题过程．
解：设乙工程队每小时能完成 x 平方米的绿化面积，则甲工程 队每小时能完成 2x 平方米的绿化面积，根据题意得：30x0 －
300 2x
＝3，解得 x＝50，经检验，x＝50 是分式方程的解且符合
实际意义．
答：乙工程队每小时能完成 50 平方米的绿化面积．
8. (2020·连云港)甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关” 捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、 乙两公司员工的一段对话：
1. (2019·淄博)解分式方程1x－－x2 ＝2－1 x －2 时，去分母变形正确的是
(D) A．－1＋x＝－1－2(x－2) B．1－x＝1－2(x－2) C．－1＋x＝1＋2(2－x) D．1－x＝－1－2(x－2)
2. (2020·杭州)若分式x＋1 1 的值等于 1，则 x＝___0_．
【分析】根据分式方程的解法得到含系数k的x的解，根据解为正数且最 简公分母不为0，列不等式求解．
例 3 (2020·潍坊)若关于 x 的分式方程x3－x2 ＝mx－＋23 ＋1 有增根，则 m ＝__3__．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应 先确定增根的可能值，让最简公分母x－2＝0，得到x＝2，然后代入化 简后的整式方程算出m的值．
(2)设购买 A 种防疫物资 m 箱，购买 B 种防疫物资 n 箱，依题意， 得：15000m＋12000n＝100000＋140000，
∴m＝16－45 n.又∵n≥10，且 m，n 均为正整数， m＝8， m＝4，
∴n＝10， n＝15， ∴有 2 种购买方案，方案 1：购买 8 箱 A 种防疫物资，10 箱 B 种防疫物资；方案 2：购买 4 箱 A 种防疫物 资，15 箱 B 种防疫物资．
(1)甲、乙两公司各有多少人？ (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A，B两种防疫物资，A种防 疫物资每箱15000元，B种防疫物资每箱12000元．若购买B种防疫物资 不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来(注：A， B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送)．
解：(1)设甲公司有 x 人，则乙公司有(x＋30)人， 依题意，得：100x000 ×76 ＝1x4＋003000 ，解得：x＝150， 经检验，x＝150 是原方程的解，且符合题意， ∴x＋30＝180.答：甲公司有 150 人，乙公司有 180 人；
解：(1)设 A 种茶叶每盒进价为 x 元，则 B 种茶叶每盒进价为 1.4x 元，依题意，得：814.40x0 －40x00 ＝10，解得：x＝200，经检验，x ＝200 是原方程的解，且符合题意，∴1.4x＝280. 答：A 种茶叶每盒进价为 200 元，B 种茶叶每盒进价为 280 元；
(2)设第二次购进 A 种茶叶 m 盒，则购进 B 种茶叶(100－m)盒，
3. (2019·益阳)解分式方程2xx－1 ＋1－22x ＝3 时，去分母化为一元
一次方程，正确的是( C ) A. x＋2＝3 B. x－2＝3 C. x－2＝3(2x－1) D. x＋2＝3(2x－1)
4. (2020·荆州)八年级学生去距学校 10 km 的荆州博物馆参观，一部
分学生骑自行车先走，过了 20 min 后，其余学生乘汽车出发，结果
数学
人教版
第7讲 分式方程及其应用
1. (2020·哈尔滨)方程x＋2 5 ＝x－1 2 的解为( D ) A. x＝－1 B. x＝5 C. x＝7 D. x＝9
2. (2020·齐齐哈尔)若关于 x 的分式方程x3－x2 ＝2－mx ＋5 的解为正 数，则 m 的取值范围为( D ) A. m＜－10 B. m≤－10 C. m≥－10 且 m≠－6 D. m＞－10 且 m≠－6
失分点
解分式方程的实际应用题注意事项 1．检验：检验所求方程的解是否为分式方程的根以及是否满足实际应用 题目的实际意义． 2．注意方程两边单位的统一以及各分式代数式的单位的统一．
8. (2019·广州)甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做 8
个，甲做 120 个所用的时间与乙做 150 个所用的时间相等，设甲每小
负数，且使关于 y 的不等式组y－4 3－y＋3 1≥－1132， 的解集为 y≤0， 2（y－a）<0
则符合条件的所有整数 a 的积为_____4_0____．
重难点3 分式方程的实际应用
例 4 (2020·嘉兴)数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一 组人平分 10 元钱，每人分得若干；若再加上 6 人，平分 40 元钱，则 第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱 的人数为 x 人，则可列方程_1x_0__＝__x_＋4_0_6___________．