选修2-1课件3.2.2_立体几何中的向量方法(全面)

2.二面角的平面角
①方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的 方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱） 的夹角。如图（2），设二面角 l 的大小为 其中AB l , AB , CD l , CD
cos cos AB, CD
B
AB CD AB CD
则 d=| PO |= | PA | cos APO. ∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n

C D B
进行向量运算

2
A 图3
d AB ( AC CD DB )
2
2
AB CD BD 2( AC CD AC DB CD DB )
a 2 c 2 b2 2 AC DB a 2 c 2 b2 2CA DB 于是，得 2CA DB a 2 b2 c 2 d 2
MA n a a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 . ∴ MA 在 n 上的射影长 d 2 2 n
3. 异面直线间的距离
已知a,b是异面直线，n为的 法向量(与a,b都垂直）
b
n

a
C A
CD为a,b的公垂线（n与 CD的关系？）
A，B分别在直线a,b上 则 | CD |
z A1 D1
B1
C1
A D
y
x
B
C
小结
1、E为平面α外一点,F为α内任意一
点, n 为平面α的法向量,则点E到平面的 | n EF | 距离为: d |n| 2、a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b
上的点, n是a,b公垂线的方向向量,
则a,b间距离为 d | n EF | |n|
2 2 2 2
1 a 即 a 3 x 2(3 x cos ) 3 6 cos ∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
2 2 2
x
2、向量法求点到平面的距离：
如图 A , 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的 一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
例2: 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别 是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2， 求点B到平面EFG的距离. z
分析:用几何法做相当困难, 注意到坐标系建立后各点 坐标容易得出,又因为求点 到平面的距离可以用法向 量来计算,而法向量总是可 x D 以快速算出. F A E B G
回到图形问题 这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的
6 倍。
思考：
（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？ 分析:
BD1 BA BC BB1
A1 B1 D D1
其中ABC ABB1 120 ， B1 BC 60
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C1
（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，
C
L
D


A
预备习题：(课本第107页练习2)如图，60°的二面角的棱上有A、
B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂
直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.
C 解: CA 6 , AB 4 , BD 8 B A 且 CA AB, BD AB , CA, BD ? D ∵ CD CA AB BD 2 2 2 2 ∴ CD CA AB BD 2CA AB 2 AB BD 2CA BD
并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等 于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以
确定棱长吗?
C
B
A
AB AD AA1 x ， BAD BAA1 DAA1 分析: 设 AC1 a ，
则由AC1 AB AD AA1
AC1 AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
z
G
C

1 1 n ( , ,1) ,BE (2,0,0) A 3 3 | n BE| 2 11 d . 11 n
E
y
B
2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11
空间“距离”问题(2)
向量法求点到平面的距离：
| PA | | n | | cos PA, n | | PA n | ∴d=| PA ||cos PA, n |= = . | n| |n|
D
B
n AB |n|
即 l1 , l 2 间的距离可转化为向量 AB 在n上的射影长，
例1.已知：直三棱柱ABC A1B1C1的侧棱AA1 4, 底面ABC中,
AC BC 2, BCA 900 , E为AB的中点。求CE与AB1的距离。
解：如图建立坐标系C xyz, 则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4). CE (1,1,0), AB1 (2,2,4), z C 设CE, AB1的公垂线的方向向量为n ( x, y, z ).则 A B x y 0 n CE 0 即 2x 2 y 4z 0 n AB 0
化为向量问题
D1 C1
B1
依据向量的加法法则， AC1 AB AD AA1
进行向量运算
A1 D A 图1
B
C
AC1 ( AB AD AA1 ) 2
2 2 2
2
AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
1 1 1 2(cos60 cos60 cos60) 6 所以 | AC1 | 6

A
O
| PA | | n | | cos PA, n | | PA n | PA ∴d=| ||cos PA, n |= = . | n| |n|
这个结论说明,平面外一点到平面的距离为：连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量与该平面的法向量数量积的 绝对值与该法向量模长的商.
∴ CD 2 17
1 6 4 8 0 0 2 6 8 = 68 2
2 2 2
答: CD 的长为 2 17 .
注 : 利用本题中的向量关系我们还可以倒过来求二 面角的大小.
思考：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。 从A，B到直线 l （库 底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为 d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
2
2
2
就是库底与水坝所成的二面角。 设向量 CA 与 DB 的夹角为 ，
因此
2abcos a 2 b2 c 2 d 2 .
所以
a 2 b2 c 2 d 2 cos . 2ab
回到图形问题
2 2 2 2 a b c d 库底与水坝所成二面角的余弦值为 . 2ab
空间“距离”问题
1. 空间两点之间的距离
根据两向量数量积的性质和坐标运算，
2 2 2 2 a x y z 利用公式 a a 或
(其中 a ( x, y, z) ) ，可将两点距离问题
转化为求向量模长问题
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点 为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 解：如图1，设 AB AA1 AD 1，BAD BAA1 DAA1 60

C
B D

A 图3
例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B 处。从A，B到直线 l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为 d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
BD b ， CD c ， AB d . 解：如图， AC a ， 化为向量问题 根据向量的加法法则 AB AC CD DB
P
n

A
O
这个结论说明,平面外一点到平面的距离为：连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量与该平面的法向量数量积的 绝对值与该法向量模长的商.
练习(用向量法求距离): 1.如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P N D M A B C
解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz a ,0),C(0, a ,0),P(0,0, a) 则D(0,0,0),A(2a ,0,0),B( 2a ,
2 2 1 1 ∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,∴ M ( a , 0, 0) N ( a , a, a ) 2 2 2 2 1 1 2 2 ∴ MC ( a , a , 0) , MN (0, a , a ) , MA ( a , 0, 0) 2 2 2 2 z 设 n ( x, y, z ) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC P 2 ∴ n MC ax ay 0 且 2 N a a D C y n MN y z 0 2 2 M 2 解得 x y z , A 2 B x ∴可取 m ( 2,1, 1)
C
果断地用坐标法处理.
y
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz． 由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
EF (2, 2,0), EG (2, 4, 2), D 设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z )x 2 x 2 y 0 F n EF， n EG 2 x 4 y 2Z 0
1 1 1
取x=1,则y=-1,z=1,所以 n (1,1,1)
1
C
在两直线上各取点C , A, C A (1,0,0). | n CA | 2 3 CE与AB1的距离d . |n| 3
A
B
x
E
y
例2：学习与评价P98-4
作业：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,求异面直线AC1与BD间的距离.
空间“距离”问题(1)
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向
量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几
何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意 义。 （回到图形）