有压隧洞围岩应计算

有压隧洞围岩应计算
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有压隧洞围岩的应力计算
1.前言
在水利、水电建设中经常遇到一些洞室工程问题，其中最常遇到的作为引水建筑物之一的是水工隧洞。

水工隧洞可分为无压隧洞及有压隧洞两大类。

无压隧洞的断面大部分做成马蹄形或其它形状，有压隧洞则多做成圆形。

无压隧洞衬砌所承受的荷载主要是山岩压力、外水压力。

有压隧洞除了承受这些压力之外，特别重要的是承受内水压力。

这种内水压力有时是很大的，不仅衬砌受到压力，围岩也要承受这部分内水压力。

围岩受到这种压力之后必然要引起一些力学现象和变形、稳定等问题。

因此，准确地计算围岩的各项应力对工程有特别的意义，主要包括有围岩的初始应力、围岩的重分布应力以及围岩的附加应力计算等。

2．围岩的初始应力计算
习惯上常将工程施工前就存在于岩体中的地应力，称之为初始应力或天然应力（如构造应力和自重应力）。

初始应力的大小主要取决于上覆岩层的重量、构造作用的类型、强度和持续时期的长短等。

目前，对于岩体中初始应力的大小及其分布规律的研究，还缺乏完整的系统的理论。

当岩体的形状比较规律、表面平整、产状平缓、
岩体本身又没有经受构造作用与呈现显著的不均匀性时，此时可认为岩体中的垂直应力与上覆岩体的重量成正比，水平应力可按垂直应力乘以侧压力系数而计算。

2．1 岩体中自重应力的计算
根据大量应力的实测资料已经证实，对于没有经受构造作用、产状较为平缓的岩层，它们的应力状态十分接近于由弹性理论所确定的应力状态。

由土力学可知，对于以坐标面xy 为表面，z 轴垂直向下的半无限体，在深度为z 处的垂直应力z σ，可按下式计算：
z z σγ=
式中 γ——岩体的容量（KN/m 3）。

半无限体中的任一微分单元体中的任一单元体上的正应力x σ、
y σ、z σ显然都是主应力；而且水平方向的两个应力与应变彼此相等，
亦即：
x y σσ=，x y εε=
如果考虑到半无限体中的任一单元体都不可能产生侧向变形，亦即0x y εε==
由此可得：
()0x
y z E E
σμ
σσ-
+=
式中 E 、μ——岩石的弹性模量与泊松比。

因为x y σσ=，所以上式可以写成：
1x y z μ
σσσμ
==
-
如令01K μ
μ
=
-，则有：0x y z K σσσ==
式中0K ——岩石的静止侧压力系数。

3．围岩重分布应力计算
利用弹性力学公式计算洞室围岩的重分布应力及其规律。

由于岩体并不是理想的均质、各向同性的弹性体。

因此，应用弹性力学来计算围岩应力将会引起一定的误差，故在洞室的稳定性计算中，往往采用较大的安全系数。

当洞室高度h 远小于洞室的埋置深度H 时，沿洞室高度的应力变化就可忽略不计。

这时可近似假定洞室围岩的受力状态如图3-1所示，亦即上、下的垂直应力都是均等的，其值为v p H γ=：围岩两侧的水平应力v p 也假定为均匀分布，其值为0h v p K p =。

采取上述的简化假定后，在计算洞室围岩的应力时，就可直接应用弹性力学中计算有孔平板在周围外荷作用下的应力公式。

当圆形洞室的围岩，承受如图3-1所示的作用力时，这时围岩中的径向应力r σ，切向应力θσ以及剪应力r θτ可分别按照下列公式进行计算：
224
0002244311cos 222h v h v r p p r p p r r r r r σθ⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 24
0024311cos 222h v h v p p r p p r r r θσθ⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 24
0024231sin 22h v r p p r r r r θ
τθ⎛⎫-⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 式中 0r ——洞室半径（m ）；
r ——自洞室中心算起的径向距离(m)； θ——自水平轴算起的极坐标中的角度（0）；
h p ——水平方向的压应力（MPa ），等于00v K p K H γ=； v p ——垂直方向的压应力（MPa ），等于H γ。

4．围岩内附加应力的计算 4．1 厚壁圆筒理论
图4-1
设厚壁圆筒的内径为a ，外径为b(如图4-1)，今在筒内离圆心的距离为r 处取出一个微小单元rd dr θ，a r b <<。

当筒内充满压力水或压力气体时，则半径r 就增加u ，该处的周长从2r π增加到2()r u π+。

圆周向单位长度的增加量（切向应变）为：
2()22r u r u
r r
θππεπ+-=
= （2-1）
在半径方向，r 增加u ，并且变为r+u ，类似地，dr 增加du ，并且变为(1)du
dr du dr dr
+=+
，所以径向的单位长度增加量（径向应变）为： r dr du dr du
dr dr
ε+-== （2-2） 根据广义虎克定律，θε和r ε与θσ和r σ有下列关系（平面应变情况）：
21()1r E θθμμεσσμ
-=-- （2-3）
21()1r r E θμμεσσμ
-=-- （2-4）
或者，可写成如下形式
(1)1()
(1)(2)1mE m u du
m m r m dr
θσ-=
++--
（2-5）
(1)1()
(1)(2)1r mE m du u
m m dr m r
σ-=
++--
（2-6）
式中 E —厚壁圆筒材料的弹性模量（MPa ） m —称泊松数，它是泊松比μ的倒数，即1
m μ
=。

这些应力必须满足下列的平衡方程式： ()r r rd θσσσ-= 或者 ()
r d r dr
θσσ=
（2-7） 将式（2-6）代入式（2-7） ()
r d r dr
θσσ=
221()(1)1(1)(2)(1)1(1)(2)1du
u d mE m dr m r m m dr mE m d u du du r m m dr dr m dr ⎡⎤+⎢⎥
--⎣⎦=
+-⎡⎤-=++⎢⎥+--⎣⎦
（2-8）
考虑到式（2-5）和式（2-8）相等，得到：
22
(1)1(1)1()(1)(2)1(1)(2)1mE m u du mE m d u du du r m m r m dr m m dr dr m dr ⎡⎤
--+=++⎢⎥+--+--⎣⎦
从而得
22u d u du r r dr dr
=+ 或者
22
20d u du r r u dr dr
+-= （2-9） 这个方程式为二阶齐次线性微分方程，它的通解为：
C
u Br r
=+
（2-10） 得出
2du C
B dr r
=- （2-11）
以及
2232d u C
dr r
= （2-12） 将以上三式代入式（2-9），显然满足该方程式。

将式（2-10）和式（2-11）代入式（2-5）和式（2-6）中，求得应力θσ和r σ的公式如下：
222''(1)(2)(1)r m E mE C C B B m m m r r σ=-⨯=-+-+ （2-13）
222''(1)(2)(1)m E mE C C B B m m m r r
θσ=+⨯=++-+ （2-14）
设厚壁圆筒受到内压a p 和外压b p 的作用，以压应力为正，拉应力为负。

对于r=a: 2
'
'r a C B p a σ=-= 对于r=b:
2
'
'r b C B p b σ=-
= 由前面二式解得'C ，'B 如下： 22
22
'b a p p C b a b a
-=
- 22
22
'b a p b p a B b a
-=- 将求得的'B ，'C 代入式（2-13）、式（2-14），整理后得：
222222222222()()
()()r a b a b r b a r p p r b a r b a σ--=--- （2-15）
222222222222()()
()()
a b a b r b a r p p r b a r b a θσ++=-+-- （2-16）
4．2 有压隧洞围岩的附加应力
利用上述厚圆筒理论的公式求围岩的附加应力。

图4-2
隧洞洞壁上的边界条件为（如图4-2）： 当r=a 时，a p p =
另一边界条件是：当r =∞时，0r b p σ==
8 根据r =∞的边界条件，从（2-13）式，得到： '0r B σ==，B=0以及0θσ=，用B=0代入式（2-13）、式（2-14），对于0r <<∞的任何r 值：
2(1)r mEC
m r σ=-+
（2-17）
2(1)mEC
m r θσ=+
（2-18）
用r=a 时的边界条件代入式（2-17），求得常数C ：
2(1)pa m C mE +=-
（2-19）
将C 值代入式（2-17）、式（2-18），得：
2
2r a p r σ=
（2-20）
2
2a p r θσ=-
（2-21）
这就确定了有压隧洞围岩附加应力的公式。