滤波器群时延对受控倒立摆稳定性的影响

滤波器群时延对受控倒立摆稳定性的影响◆刘博★胡海岩南京航空航天大学 飞行器结构力学与控制教育部重点实验室，南京210016摘要为了研究群时延对受控机械系统稳定性的影响，本文以受控二级倒立摆为对象，通过理论和实验方法，分析了LQ 控制下，Butterworth低通数字滤波器群时延引起的闭环系统稳定性切换现象。

在该系统中，低通滤波器用来去除控制输入信号中的强高频噪声，在理论分析中它们被简化为纯滞后环节。

结果表明，若滤波器指标设置得合适，它可以改善系统的控制效果，节省主动控制的能量消耗；若指标设置过高，滤波器群时延将会超过临界时滞，引起平衡点失稳。

实验结果和理论分析结果的一致性肯定了在稳定性分析时将滤波器简化为纯滞后环节的合理性。

论文最后就如何避免数字滤波器群时延引起的系统失稳提出了一些建议。

关键词时滞，群时延，数字滤波器，二级倒立摆，稳定性切换Effects of Group Delay on Stability of a Controlled Double PendulumLiu Bo, Hu HaiyanMOE Key Lab of Structure Mechanics and Control for Aircraft,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, ChinaAbstract In order to gain an insight into the effects of group delay on controlled mechanical systems, this paper investigates the group delay of filters induced stability switch of a double pendulum system under the LQ control, where the Butterworth low pass digital filters are used to remove the heavy noise embedded in the control input signal. The filters are simplified as pure delay components in the analytical model, since their amplitude response in the pass band is almost constant at 1, and the phase response in the pass band is nearly linear to the frequency. The conclusion of this research is that if the parameters are set properly, digital filters can not only enhance the performance of control system, but also reduce the cost of energy; however, when the specifications of the filters are set too high, the group delay will exceed the critical value and cause the instability of the closed loop system. The experimental results are well coincide with the theory analysis. This positively confirms the rationality of simplifying the filters as delay components. Finally, some suggestions are given on avoiding the group delay induced instability. Key words Time delay, Group delay, Digital filter, Double inverted pendulum, Stability switch1 引言近年来，DSP技术，传感器和作动器技术的进步促成了机械系统主动控制技术的飞速发展。

随着人们对控制效果和工作频段的要求日益提高，测控回路中不可避免的时滞成为一个不容忽视的问题[1, 2]。

这些时滞主要包括测控信号采集过程、控制器运算时间、作动器输出建立时间和滤波器群时延等。

一方面这些时滞通常会降低控制系统性能，甚至导致系统失稳；另一方面时滞不仅会使系统表现出非常丰富的动力学行为，而且合理巧妙地利用时滞可以设计出性能优良的控制器。

比如，Pyragas开创性地提出有意识地利用时滞状态反馈来控制混沌，获得了极大的成功[3]。

鉴于此，国内外学者对时滞系统的稳定性和动力学现象的研究◆基金项目：国家自然科学基金项目（10532050 & 10702024）★E-mail: liubo@ 十分活跃，取得了丰硕的成果[4,5]，但是相对于理论和数值研究，实验研究较少，而且大多数实验集中在激光和电路系统中，机械系统的实验研究报道极少[6]。

在众多时滞因素中，数字滤波器群时延相对于信号采集、信号传输、控制率的计算等过程消耗的时间来说通常要长得多，而且此时滞量大小只取决于滤波器特性本身，硬件技术上的改进对其不起作用[7]。

然而有关滤波器群时延对系统稳定性的影响的研究却极少见到。

因此，本文以具有充分代表性的二级倒立摆控制系统作为研究对象，通过理论分析和实验方法讨论了数字滤波器群时延引起的闭环系统稳定性切换现象，并就如何避免数字滤波器群时延引起的系统失稳提出了一些建议。

2 基于力控制的二级倒立摆的稳定第 821 页倒立摆系统虽然结构很简单但却是一种典型的欠驱动、强耦合、非线性和快速运动的自然不稳定系统。

一直以来，倒立摆系统的控制都是控制研究领域的一个经典问题。

图1所示的是一个二级倒立摆系统。

控制的目的是通过小车的移动，使两级摆杆保持在倒立位置。

控制小车移动有两种做法：一是控制小车的加速度；二是控制施加在小车上的力。

由于目前常见的作动器中很少有加速度控制功能，所以加速度控制是通过速度控制变通实现，其中涉及运动规划技术，对经验的依赖性很大，不便于实现。

所以本文采用施加在小车上的力作为控制量。

M 其中12x θθ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦y ，222113222521225112sin sin sin()sin()F p p p p θθθθθθθθθθ⎡⎤++⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎣⎦F ， 12132214512325126cos cos cos cos()cos cos()p p p p p p p p p θθθθθθθθ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦M ，123333000μμμμμμ⎡⎤⎢⎥=+−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦C ，21320sin sin p g p g θθ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦P ， 1123p M m m m =+++，211231()p m l m m L =++，322p m l =，224111231()c p J m l m m L =+++，5212p m L l =，26222c p m l J =+。

上式中各变量的意义和对应的实验系统物理参数值在表1种给出。

表1. 变量及系统物理参数定义 x小车水平方向位移 单位m 1θ 一级摆角位移 单位 rad 2θ二级摆角位移 单位 rad F 小车上的控制力 单位 N M小车质量 1.628 Kg 1m 一级摆质量 0.158 Kg 2m 二级摆质量 0.1265 Kg 3m集中质量0.119 Kg 1c J 一级摆绕质心的转动惯量 0.00021 Kg·m 2 2c J 二级摆绕质心的转动惯量0.0028 Kg·m 2 1L 一级摆全长0.184 m 1l 一级摆杆质心到转轴距离 0.122 m 2l二级摆杆的半长度 0.23 m 1μ 小车平动阻尼 About 2.6 N·s/m 2μ 一级摆转动阻尼 0.0027 N·m·s/rad 3μ两根摆杆间相对转动阻尼0.0029 N·m·s/radg 重力加速度 9.8 m/s 2 2.2 二级倒立摆的LQ 控制二级摆倒立位置平衡点对应的状态为1212T x x θθθθ⎡⎤⎣⎦ []000000T x =。

在此处将方程(1)线性化，并代入表1中的参数值后可得如下形式的态方程 F =+zAz B ， (2) 其中[]T=z y y， 0001000000100000010 2.3440.066 1.5770.02140.0114094.6720.839.643 1.0510.6463046.16941.550.6030.8320.6345⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥−−−⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥−−−⎢⎥⎣⎦A ，第 822 页[]0000.607 3.710.232T=−B 。

计算A 的特征值得[]eig()09.6 5.111.4 5.4 1.2=−−−A 。

(3)由于矩阵A 有一个零特征根，两个正实特征根，所以竖直向上位置是二级摆的一个不稳定平衡点，轻微的扰动即可让其偏离此平衡点，并且不会再回来。

为此设计了LQ 控制器来稳定此平衡点。

利用Matlab 命令lqr, 取状态加权矩阵和输入加权矩阵分别为[]()diag 400100100101010=Q ，1=R ，得到LQ 控制器的状态反馈增益(),,,lqr =K A B Q R 。

(4)由于实验中只能测得位移向量y ，为了完成全状态反馈的LQ 控制，速度向量由位移向量差分得到()()()t t T t T−−≈=y y y y ， (5) 其中T 为采样周期。

在状态反馈F =−Kz (6) 作用下，试验结果如图2所示(如需实验录像请向作者索取)。

可以看到，二级摆被成功稳定在倒立位置附近很长时间。

从图2看，摆杆并不是完全在倒立平衡点纹丝不动，而是小幅摆动。

造成这一现象的原因是小车和导轨之间存在粘滑(stick slip)摩擦。

在本文的实验系统中很难对这种摩擦力建立比较准确的模型，在系统模型中只近似地考虑了其中的粘滞阻尼成分，没有考虑静摩擦力和Coulomb 干摩擦成分。

虽然这两个摩擦力绝对值并不大，但从式(6)可以看到，当系统处于或非常接近平衡点时，控制力接近0，这时它们的影响就相对较大了。