测量学第六章误差知识分析

B a C
4、计算步骤 • 正确列出观测值的函数式 • 求全微分，用真误差代微分，列出真误差关系式 • 检查误差是否独立 • 写出中误差关系式 • 代入数值计算函数值中误差。 5、注意事项： • 系数xi是用观测值代入而算得的常数 • 用数值计算时，应注意各项单位的统一 • 误差独立 • 复杂函数，可先取对数，再求微分，较方便。
测量上习惯用中误差表示
2 E( 2 )[ E( )] E( 2 )
2 2 2 2 1 2 n D lim lim n n n n
现实中，n总是有限的，故 只能求得中误差的估计值
m
2
2

五.测量误差的分类
• (3).偶然误差： • 定义：在相同的观测条件下，对某量进行一系列 观测，若误差出现的符号和大小均不一定，这种 误差称为偶然误差。
例：照准误差；读数误差；对中误差等。
• 性质：偶然误差又称随机误差，即偶然误差是一 个随机变量。
§6.2
偶然误差特性
一、偶然误差的四个特性
举例：
回 顾
观测 系统误差 伴随误差 系统误差 同时产生 偶然误差 累积作用 设法消除、减少
措施 偶然误差 计规律 符值
检校 加改正数 次要地位 观测方法 不可避免，不能消除，符合统 大量多余观测 产生不 测量平差 求未知量估值 求精度估值
• 偶然误差的特性
1、 2、 3、 4、
e
2 2 2
ห้องสมุดไป่ตู้
ƒ(
n
m

n
标准差σ的计算公式
D lim
n

n
中误差（用m表示）就是标准差σ 中误差的估算值的计算公式
m

n
• 一般真误差i不可求，我们只能根据子样观测 值 l1、l2…ln来估计母体方差 ，在数理统计中采用 样本方差作为母体方差的估计量 即
1 n 2 m s (li x) n 1 i 1
如 []=1+2……+n []= 12+22……+n2
五.测量误差的分类
(1).过失误差(疏失误差 、粗差、错误) 定义： 性质：粗差一般大-----对测量结果危害大-------尽量避免 措施： 检核 多余观测 统计检验方法----粗差理论
五.测量误差的分类
• (2).系统误差
总 和
181
0.505
177
0.495
结论
1. 在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一
定的限度；
2.
绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多；
3. 绝对值相等的正负误差出现的机会相等；
4. 偶然误差的算术平均值趋近于零，即
1 2 n lin lin 0 n n n n
负
正
个数 k
46 41 33 21 16 13 5 2 0
误
差 相对个数 k/n
0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0.000
0″.0 ~ 0″.2 0″.2 ~ 0″.4 0″.4 ~ 0″.6 0″.6 ~ 0″.8 0″.8 ~ 1″.0 1″.0 ~ 1″.2 1″.2 ~ 1″.4 1″.4 ~ 1″.6 1″.6 ~以上
1 k D N
m
§6.4
一、倍乘
误差传播定律
二、和或差
三、一般函数
f f 2 mz m1 x x 1 2
2
f 2 m2 x n
2
2 m n
2
3.相对误差
问题2：中误差能否准确地衡量所有观测成果的精度？ 例：量距 s1=200m,m1=0.2m;s2=2000m,m2=0.2m,问：丈量精度是 否相同？ 看其单位长度上的中误差
0.2 1 k1 200 1000 0.2 1 k2 2000 10000
•k2<k1,第二段距离精度高 于第一段距离精度
• 相对误差：误差的绝对值与观测结果的比值，化为分 子为1的分数形式表达。 m 1 • 例：相对中误差 K
L L m
•同理，还有相对真误差、相对容许误差等。 •相对误差是无量纲的，而中误差、容许误差是有量纲 的，称绝对误差。 •问题3：角度观测是否能用相对误差表示？
dy f f f dx1 dx2 dxn x1 x2 xn
•式中：
f xi
是函数对各自变量的偏导数，代入xi 求得，
f k （ ， 2， n） 令 i i 1 xi
•用误差代替微分，则 • y = k11+k22+…+knn (2)
•两边取方差,得 D(y)=k12D(1)+k22D(2)+…+kn2D(N)
第六章 测量误差的基本知识

测量误差概述
偶然误差特性
衡量精度的标准
误差传播定律
等精度直接观测值的最可靠值
不同精度直接观测平差
§6.1
一、测量与观测值
测量误差概述
二、测量误差及其来源 1、现象：D往D返 h 0 A+B+C 180
2. 测量误差定义
测量中的被观测量，客观上都存在着一个真实值， 简称真值。对该量进行观测得到观测值。
二、误差概率分布曲线
直方图
k n d△ (频率/组距)
k/n(频率)
－△
-1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 -1.4 -1.0 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1.0 1.4
+△
三、分析标准差σ
f 1 2 e
2 2 2
三.误差分析的应用
• 1.水准测量的误差分析 • (1)．一个测站的高差中误差 • h=a-b • m站 = 2m读 • 2 m读 m2 mv 0.72 1.22 1.4mm 代入 m站 2 1.4 2.0mm •
考虑其它因素，取 m站 = 3mm •（2）．水准路线高差的中误差
2 2
令
vi x l i

则
m
vv
n1
------白塞尔公式
2. 平均误差
lim
n
n
3. 极限误差（容许误差）
容许 =3｜m ｜~ 2｜m ｜
P ( 2m) 0.05 P ( 3m) 0.003
容许 的概率含义
二、用相对误差来衡量精度
b
a c
△i=ai+bi+ci-180°
（i=1,2, · · · · · · · · 35 8）
误差区间 △d
误 差 相对个数 个数 k k/n
45 40 33 23 17 13 6 4 0 0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0.000
则
m nm y
•
x1 x2 xn n m1 m2 mn m y
则
m m y n
3.例题
1).一个边长为l 的正方形，若测量一边有ml=1cm, 求周长的中误差？若四边都测量，且测量精度相 同，均为ml,则周长的中误差又为多少？ 2).在o点观测了三个方向，得方向值 l1 ,l2 ,l3 ,设各方向的中误差均为m, 求m ,m ,m . 3).如图，三角形ABC中，测得A±mA、 A B ± mB，BC边长为a ±ma,试计算 b c 边长c及其中误差mc。
•取估值,即得:my2= k12m12+k22m22+…+kn2mn2
f 2 f 2 f 2 m m m m y 1 2 n xn x1 x2
2 2 2
(3)
•特例：①.若 y x1 x2 xn m1 m2 mn m • ②.若
四.名词解释
1、真值：任何一个物理量，客观上总存在一个能代表其 真正大小的数值，这一数值称为该量的真值。一般用X 表示。 真值一般是未知的，可知二种 理论真值 约定真值
• 2、观测值：对某量进行测量而得到的数值，用 Li表示。 i=1.2.3………..n。 3、测量误差（真误差）：观测值与真值之差，用 i表示。 i=Li-X ˆ 4、未知量X的最优估值： x ˆ li 5、观测值的改正数： vi x 6、等精度观测：观测条件相同的各次观测。 7、非等精度观测：观测条件不相同的各次观测。 8、高斯和符合：[ ]=
y
y=f(△)
－△
+△
1. σ与观测误差△及偶然误差概率密度f(△)的关系
2. σ 与误差分布曲线拐点的关系
y y=f(△)
－△
-
+
3. 标准差σ 的概率值P（－σ＜△ ＜＋σ ）
y y=f(△)
－△
-
+
+△
§6-3 衡量（评定）精度的标准
• 一.精度的含义 一定的观测条件 确定的误差分布 条件好，误差分布密集，即离散度 小，误差曲线比较陡峭，顶峰较高 -----质量好---精度高，反之，则相 反 问题1：个别误差的大小能否反映精 度的高低？ 右图为不同的两组观测对应着的两 条不同的误差分布曲线。 若1<2，则第一组观测，误差 分布密集，图形陡峭，精度较高； 第二组观测，误差分布离散，图形 平缓，精度较低。

1
0
2
•精度的含义：误 差分布的密集与 离散程度。即离 散度
凡能反映误差分布 离散度大小的量， 都可作为衡量精度 的指标。
二.衡量精度的指标
一）、用绝对误差来衡量精度 • 1.方差和中误差 由数理统计知，表示随机变量分布离散性的数字特征是方 2 差 2 D ( ) E[ E( )]
• 定义：在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测， 如果误差出现的符号和大小均相同或按一定的规律变化， 这种误差称为系统误差。 例：钢尺的尺长误差；水准仪的i角误差等。 • 性质：具累积性-------对成果影响大-----必须设法消减其 影响
•措施：1、计算改正数，对结果进行改正； • 2、用一定的观测方法加以消除或削弱； • 3、检校仪器以限制误差的大小。
i i
------
n1
实际中，有些量无法直接观测，而是通过测量某 个或某几个量，由一定的函数关系间接推算出来 的。
§6-4 误差传播定律及其应用
例
s 2r n 180 n 0 D L cos
即
s f r f D f L,
由于观测值有误差 函数必然存在误差 如何根据观测值中误差 求函数中误差？ 二、误差传播定律： 1、定义：阐述观测值与其函数值之间的误差关系。 2、通式： • 设有观测值的函数y = f(x1,x2…,xn) (1) • 式中，x1,x2…,xn是相互独立的观测值
•设1，2…，n是相应的观测误差， • m1,m2…mn是相应的中误差。 对(1)式求全微分
密度函数： f ( )
1 2
精度含义：误差分布的离散度 精度指标：中误差 容许误差 相对误差
0

D 误差分布曲线
§6-4 误差传播定律及其应用
• 一、问题的提出 由精度的含义及衡量精度的指标 可以根据一组独立的等精度的直接观测值，求观 测值中误差。 m X 、 Li ------iLi- X n vv 或由子样观测值Li ------ x -----ˆ m ˆ l v x
h h1 h2 hn
观测值与真值之差，称为真误差。
真误差＝观测值－真值
△ =l
3. 误差来源
仪器设备不尽完善
-
X
观测者感官鉴别能力的局限性 自然环境的影响
观 测 条 件
观测条件好-----测量误差小-----观测成果质量高 观测条件差-----测量误差大-----观测成果质量低 观测成果质量的高低客观地反应了观测条件的优劣 误差不可避免-----任何观测中都含有误差-----最基本最普 遍的事实。因此，我们必须学习误差理论的基本知识。 三、目的： 了解误差产生的原因及规律；正确处理观测数据，评定观 测质量；指导测量实践,使测量结果达到预期的要求。