抛物线知识点归纳总结与经典习题

抛物线经典结论和例题

焦半径

11(,)A x y

12

p AF x =+

12

p AF x =-+

12

p AF y =+

12

p AF y =-+

焦 点弦 长

AB

12()x x p ++

12()x x p -++

12()y y p ++

12()y y p -++

焦点弦

AB 的几条性质

11(,)

A x y 22(,)

B x y

以AB 为直径的圆必与准线l 相切

若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α=

若AB 的倾斜角为α，则2

2cos p

AB α

= 2

124

p x x = 212y y p =-

112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p

++===•• 切线 方程 00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+

1. 直线与抛物线的位置关系

2. 直线

，抛物线

，

3. ，消y 得：

o

x ()22,B x y

F

y ()11,A x y

4. （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；

5. （2）当k ≠0时，

Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗（不一定）

6. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线

，)0( p

① 联立方程法：

⎩⎨⎧=+=px

y b

kx y 22

⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出

b

x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，

2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长

2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a

k ∆+=2

1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+

=a

k ∆+=2

1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=

， 2

2

10y y y += ② 点差法：

设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得

1212px y = 22

22px y = 将两式相减，可得

)(2))((212121x x p y y y y -=+-所以

2

121212y y p

x x y y +=

--

a. 在涉及斜率问题时，2

12y y p

k AB +=

b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，

021*******y p

y p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB =，

同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点

),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p

x p x p x x k AB 0

021222==+=

（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）

一、抛物线的定义及其应用

例1、设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．

(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．

例2、设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一 点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)

二、抛物线的标准方程和几何性质

例3、抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线交于A 、

B 两点，交准线于

C 点，点A 在x 轴上方，AK ⊥l ，垂足为K ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，则△AKF 的面积是 ( ) A ．4 B ．3 3 C ．4 3

D ．8

例4、过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l

于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3则此抛物线的方程为 ( )

A．y2＝3

2

x B．y2＝9x C．y2＝

9

2

x D．y2＝3x

三、抛物线的综合问题

例5、已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y

1

)，B(x2，y2)(x1

例6、已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，

B，l

2

与轨迹C相交于点D，E，求AD EB的最小值

例7、已知点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F的

距离为2，直线l：y＝－1

2

x＋b与抛物线C交于A，B两点．

(1)求抛物线C的方程；

(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．

练习题

1．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，则a等于( ）A．1 B．4 C．8 D．16

2．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( )