一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

课时10．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

【课前热身】

1．一元二次方程x 2-2x -1=0的根的情况为( )

A ．有两个相等的实数根

B ．有两个不相等的实数根

C ．只有一个实数根

D ．没有实数根

2. 若方程kx 2-6x +1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是____________.

3．设x 1、x 2是方程3x 2+4x -5＝0的两根，则=+2

111x x ________，.x 12+x 22=________. 4．关于x 的方程2x 2+(m 2-9)x +m +1=0，当m =________时，两根互为倒数；当m =________时，两根互为相反数.

5． 若x 1

1是二次方程x 2+ax +1＝0的一个根，则a =____，该方程的另一个根x 2=_______.

【知识整理】

1. 一元二次方程根的判别式(Δ)：

关于x 的一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的根的判别式为_________________. (1)ac b 42->0⇔一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 有两个____________实数根，即=2,1x _____________________.

(2)ac b 42

-=0⇔一元二次方程有_______相等的实数根，即==21x x __________.

(3)ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax ______实数根. 2. 一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)：

若关于x 的一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x _________，=⋅21x x __________.

3. 易错知识辨析：

(1)在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.

(2)应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：

① 根的判别式042

≥-ac b ；

② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.

【例题讲解】

例1 当k 为何值时，方程x 2-6x +k -1=0，

(1)两根相等；(2)有一根为0；(3)两根互为倒数.

例2 如果方程组⎩⎨⎧+==②

①m x y x y 242只有一组实数解，求m 值.

例3 已知：方程12

x 2=1-2x 的两根为x 1，x 2，不解方程求下列各式的值：(1)( x 1- x 2)2；(2)x 13x 2+x 1x 23.

【中考演练】

1．当c _______时，关于x 的方程2x 2+8x +c =0有实数根．

2．设x 1，x 2是方程2x 2+4x -3=0的两个根，则(x 1+1)(x 2+1)= __________，x 12+x 22=_________， 12

11x x +=__________，(x 1-x 2)2=_______. 3. 请写出一个二次项系数为1，两实根之和为3的一元二次方程_____________________.

4. 设x 1，x 2是方程2x 2-3x +m =0的两个实根，且8 x 1-2 x 2=7，则m 的值是_______.

5. 下列说法中不准确的是( )

A.方程x 2+2x -7=0的两实数根之和为2

B.方程x 2-3x -5=0的两实数根之积为-5

C.方程x 2-2x -7=0的两实数根的平方和为18

D.方程x 2-3x -5=0的两实数根的倒数和为0.6

6. 以3和-2为根的一元二次方程是( )

A.x 2+3x -2=0

B.x 2-3x +2=0

C.x 2+x -6=0

D.x 2-x -6=0

7．若关于x 的一元二次方程x 2-2x +m =0没有实数根，则实数m 的取值范围是( )

A ．m < l

B ．m > -1

C ．m > l

D ．m < -1

8．已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2=0的两个不相等的实数根，且满足1

1

1αβ+=-，则m 的值是( )

A ．3或-1

B ．3

C ．1

D ．-3或1

9．一元二次方程x 2-3x +1=0的两个根分别是x 1、x 2，则x 12x 2+x 1x 22的值是( )

A ．3

B ．-3

C ．13

D ．13

- 10．已知关于x 的一元二次方程x 2-(m -1)x +m +2=0．

(1)若方程有两个相等的实数根，求m 的值；

(2)若方程的两实数根之积等于m 2-9m +2

11．求证：无论k 取何值，关于x 的方程x 2+kx -k -2=0一定有两个不相等的实数根.

12. 阅读下列解题过程：

已知：方程x 2+3x +1=0的两个根为α、β 解：∵ △=b 2-4ac =32-4×1×1=5>0

∴ α≠β (1)

由一元二次方程的根与系数的关系，得α+β=-3， αβ=1 (2)

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1-=+===- …… (3) 阅读后回答问题：上面的解题过程是否准确？若不准确，指出错在哪一步，并写出准确的解题过程.