蒙特卡罗方法在积分计算中的应用

x)dy f1(x)dx
通常蒙特卡罗方法，由f (x,y)抽样 (x,y)的步骤是：
从 fl(x) 中抽取 xi，再由 f2(y|xi) 中抽样确定 yi，然后用
gˆ N

1 N
N i 1
g(xi , yi )
作为θ的一个无偏估计。
现在，改变抽样方案如下：
(1) 当x∈R1时，定义一个整数n(xi)≥1，对一个xi，抽取 n(xi)个yij，j＝1，2，…，n(xi)。以平均值

g(P) f (P)dP
Vs
i
i 1
于是计算θ的问题，可化为计算 n 每个 gi(P) 为原来θ的估计 g(P) 的
个θi 1/ n
的和来得到，而 ，这就是分裂技
巧。
2) 俄国轮盘赌
令 0 ＜ q＜1，
q

Vs
1 q
g(P)
f
(P)dP
则 q q (1 q) 0
于是θ变为一个两点分布的随机变量ζ的期望值， ζ的特性为：
P( q ) q
P( 0) 1 q
这样就可以通过模拟这个概率模型来得到θ，这就是 俄国轮盘赌。
3) 重要区域和不重要区域
我们往往称对积分θ贡献大的积分区域为重要区 域，或感兴趣的区域；称对积分θ贡献小的区域为不 重要区域，或不感兴趣的区域。
2. 重要抽样
1) 偏倚抽样和权重因子
取Vs上任一联合概率密度函数 f1(P)，令 g1(P) g(P) W (P)
则有
W (P) f (P) f1(P)
Vs g1(P) f1(P)dP Eg1(P)
现从 f1(P) 中抽样 N 个点：Pi，i＝1，2，…，N， 则
gˆ1N
考虑二重积分
g(x, y) f (x, y)dxdy
V2
令重为RV要是2上区V相域2上应，x于R的2是y积的不分积重区分要域区区，域域表。，为则两R者＝互R不1+相R2，交其。中又R命1是Q
f (x, y) f2 ( y x) f1(x)

R
Q g(x, y) f2 ( y
第七章 蒙特卡罗方法在积分计算中的应用
1. 蒙特卡罗方法求积分 2. 重要抽样 3. 俄国轮盘赌和分裂 4. 半解析方法 5. 系统抽样 6. 分层抽样
第七章 蒙特卡罗方法在积分计算中的应用
计算多重积分是蒙特卡罗方法的重要应用 领域之一。本章着重介绍计算定积分的蒙特卡 罗方法的各种基本技巧，而这些技巧在粒子输 运问题中也是适用的。
gˆ
c N

J j 1
pj

1 nj
nj

g
(
xij
)

i 1

1. 蒙特卡罗方法求积分
蒙特卡罗方法求积分的一般规则如下：任何一个 积分，都可看作某个随机变量的期望值，因此，可以 用这个随机变量的平均值来近似它。
设欲求积分
G(P)dP
其示中积分，区P＝域P。(x1取，VxsV2上s，任…一，联xs)合表概示率s密维度空函间数的f 点(P，)，V令s表
极小。
利用变分原理，可以得到最优的 f1(P) 为
f1(P)
| g(P) | f (P) | g(P) | f (P)dP
Vs
特别地，当 g(P)≥0 时，有
这时
g(P) f (P) g(P) f (P)
f1(P)
g(P) f (P)dP

Vs
2 g1
0
即 g1的方差为零。实际上，这时有
gˆ N

1 N
N i 1
g(xi , yi )
其方差为
2 gˆ N

1 N

2 x
f1
(
x)dx
与通常蒙特卡罗方法相比，方差减少了约
1
N
( x )2 f1(x)dx
6. 分层抽样
考虑积分
1
0 g(x) f (x)dx
在（0，1）间插入J－1个点
0＝α0＜ α1＜ …＜ αJ-1＜ αJ＝1
令
p j

j j1
f (x)dx
f (x) f j (x) 0
pj
j1 x j
其它
j

j j1
g
(
x)
f
j
(
x)dx
则有
J
p j j j 1
现的n在j 个，样用本蒙x特ij ，卡那罗么方有法计算θj ，对每个θj 利用 fj(x)中
V2
( x )2 f (x, y)dxdy
V2
(g(x, y) x )2 f (x, y)dxdy
V2
2 (g(x, y) x )( x ) f (x, y)dxdy
V2

( x )2 f1(x)dx

2 x
f1
(
x)dx


2
5. 系统抽样
g1(P) Vs g1(P) f1(P)dP
不管那种情况，我们称从最优分布 抽样，称函数 | g(P) | 为重要函数。
fl(P)的抽样为重要
3. 俄国轮盘赌和分裂
1) 分裂 设整数 n≥1，令 gi (P) g(P) n
i Vs gi (P) f (P)dP
则
n

用分显裂然技，巧这，种而抽对样x∈估R计2时技，巧利，用就俄是国对轮x盘∈赌R1，时而，使利 估计的期望值不变。由于对重要区域多抽样，对不重 要区域少观察，因此能使估计的有效性增高。
4. 半解析（数值）方法
考虑二重积分
g(x, y) f (x, y)dxdy
V2

R
Q g(x, y) f2 ( y
x)dy f1(x)dx
令
x Q g(x, y) f2 ( y x)dy
则θx为θ的无偏估计。
θx 的方差为 2 ( x )2 f1(x)dx
而由 f (x,y)抽样 (x,y)，用 g (x,y)作为θ的估计，其方差 为

2 g

(g(x, y) )2 f (x, y)dxdy
g(P) G(P) f (P)
则பைடு நூலகம்

即θ是随机变量
g(PVs)g的(P数) f学(P期)d望P ， EP的g(分P)布 密度函数为
f (P) 。 现从 f (P) 中抽取随机向量 P 的 N 个样本：
Pi，i＝1，2，…，N， 则
gˆ N

1 N
N i 1
g(Pi )
就是θ的近似估计。

1 N
N i 1
g1(Pi )
就是θ的又一个无偏估计。
2) 重要抽样和零方差技巧
2 g1
E
g12 (P)
2

Vs g12 (P) f1(P)dP 2

Vs
g 2 (P) f 2 (P) dP 2
f1 (P)
I f1 2
要使

2 g1
最小，就是使泛函I[f1]
我们知道，由f (x,y)抽样 (x,y)的步骤是：
从 fl(x) 中抽取 xi，
xi
f1 ( x)dx
1i
再由 f2(y|xi) 中抽样确定 yi，
yi
f2(y
xi )dy 2i
现在改变 xi 的抽样方法如下：
xi
f1(x)dx i
N
yi 的抽样方法不变。
1 n(xi )
g1i n(xi )
g(xi , yij )
j 1
代替上述θ估计式中的 g(yi, xi) 。
(2) 当 x∈R2时，定义一个函数q(xi)，0＜ q(xi) ＜1， 以抽样值
g2i

g 0
(
xi
,
yi
)
q(xi )
q(xi ) q(xi )
代替上述θ估计式中的 g(yi, xi) 。这里ξ是随机数。