函数模型的应用——中考专题复习

函数模型的应用

——中考专题复习

在《义务教育数学课程标准》中对函数应用的具体要求有：能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系；能结合对函数关系的分析，对变量的变化情况进行初步讨论；能根据已知条件确定一次函数的表达式；能用一次函数解决简单实际问题；能根据已知条件确定反比例函数的表达式；能用反比例函数解决简单实际问题；能用二次函数解决简单实际问题。

模型思想是《数学课程标准(2011版)》新增的核心概念，是近年中考数学考查的要点和热点题型，主要考查建立数学模型解决实际应用问题的能力．其意图是引领学生建立数学与生活的联系，让学生明确数学是解决现实生活和生产实践问题的有效工具，并能利用所学的数学知识解决生活中的实际问题．关于数学建模与问题解决的中考试题，是把在实际中出现的相关问题从数学的角度去分析和解决，目的是让学生明确数学是解决现实生活和生产实践问题的有效工具

数学建模与问题解决的中考试题是中考的必考题．一类是建立代数模型（方程，函数，不等式）解决问题，这类试题通常会设计一个现实情境，其中隐含若干个数学模型，需要学生将实际问题转化为数学问题，并建立方程模型、不等式模型或函数模型来求解.

在近几年的中考中，关于数学建模与问题解决的中考试题，占比都很大，通常结合方程、函数、不等式和几何图形，考查数学建模、几何直观、推理能力、运算能力、阅读素养和应用意识。今后的中考题中，此类题目仍会涉及。在解决此类问题时，要根据题目中的数据抽象成数学模型问题，根据所学数学知识进行解答。

专题示例：

例1．小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m/min速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留2min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过t min时，小明与家之间的距

离为s

1m，小明爸爸与家之间的距离为s

2

m，图中折线OABD、线段EF分别表示s

1

、

s

2

与t之间的函数关系的图象．

（1）求s

2

与t之间的函数关系式；

（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？

解：(1) s

2与t之间的函数关系式：s

2

=-96t+2400

(2)由题可知小明的速度为240m/min，可得点D(22，0)、点B(12，2400) ，设BD的表达式为y=kx+b,代入可得k=-240 b=5280,

BD的表达式为y=-240x+5280.

联立 y=-240x+5280与y=-96x+2400. 可得:-240x+5280=-96x+2400 解得 x=20 y=480 答：小明从家出发，经过20min 在返回途中追上爸爸，这时他们距离家还有480m.

专题解析：

本题主要考察的是一元一次方程与一次函数的应用，解决此类问题的关键是首先用待定系数法求出函数表达式，然后利用两直线的交点转换为一元一次方程，从而得出经过20min 在返回途中追上爸爸，这时他们距离家还有480m ，突出体现了函数与方程转化的思想。

例2.某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x （h ）之间的函数关系，其中线段AB 、BC 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：

（1）求这天的温度y 与时间x （0≤x ≤24）的函数关系式； （2）求恒温系统设定的恒定温度；

（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 解：（1）设线段AB 解析式为y=k 1x+b （k ≠0） ∵线段AB 过点（0，10），（2，14） 代入得 b ＝10 2k 1+b ＝14 解得 k 1＝2

∴AB 解析式为：y=2x+10（0≤x ＜5） ∵B 在线段AB 上当x=5时，y=20 ∴B 坐标为（5，20）

∴线段BC 的解析式为：y=20（5≤x ＜10）

设双曲线CD 解析式为：y= x

k

2 （k 2≠0）

∵C （10，20） ∴k 2=200

∴双曲线CD 解析式为：y= x

200

（10≤x ≤24)

∴y 关于x 的函数解析式为：

（2）由（1）恒温系统设定恒温为20°C

（3）把y=10代入y=x

200

中，解得，x=20

∴20-10=10

答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．

专题解析：

本题主要考查反比例函数的应用，解决这类问题首先应用待定系数法分段求函数解析式，特别是反比例函表达式的确定，增减倒置，观察图象可得恒温系统设定的恒定温度，代入临界值y=10即可，解答时应注意临界点的应用.

例3.随着社会的发展，地铁和共享单车越发受到人们的青睐，“地铁+单车”已成为市民们出行的最佳选择，在上海的王某从体育场出发，先乘地铁，准备在离家较近的A,B,C,D,E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家。设他出地铁的站点与体育场的距离为x （单位：千米），乘坐地铁的时间y 1(单位：分）是关于x 的

1（2）王某骑共享单车的时间（单位：分）也受x 的影响，其关系可以用

78112

1

22+-=x x y 来描述，请问：王某应选择在哪一站出地铁，才能使他从体育

场回到家所需的时间最短？并求出最短时间。 解：（1）设y 1=kx+b,将（8，18），（9，20）代入，得

{

18

820

9=+=+b k b k 解得{

2

2==k b

所以关于的函数表达式为：y 1=2x+2

（2）设王某从体育场回到家中所需时间为y ，则由题意可知：

y=y 1+y 2=2x+2+21x 2-11x+78=21x 2-9x+80=21(x-9)2+2

79

当x=9时，y 有最小值，y=2

79

=39.5

答：王某应选择在B 站出地铁，才能使他体育场回到家中所需的时间最短，最短时间为39.5分钟。

专题解析：

本题主要考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是通过题意确定二次