结构化学习题解答1

xl x
2
E
* H d * d

进行计算，所得结果是上述能级表达式计算所得结果的1.0132 倍。
② 根据受一定势能场束缚的微粒所具有的量子效应和箱 中粒子的边界条件 n 0 n l 0 ，箱长应该等于半 波长的整数倍，即：
l
l x2 l 1 l 2nx l x sin l 2 0 2n l 0 2n
2nx l 0 sin l dx 2
l
粒子的平均位置在势箱的中央，说明它在势箱左、右两个半 2 边出现的几率各为0.5，即 n 图形对势箱中心点是对称的。
px (c)由于 p x n x c n x, p x 无本征值.可按下式计算 的平均值。


p x x p x n x dx
l 0 n

2 nx ih d 2 nx sin sin dx 0 l l 2 dx l l ih l nx nx n sin cos dx l 0 l l l nih l nx nx 2 sin cos dx l l l 0 0
2
将动量平方的算符 p x 作用于波函数，所得常数即为：
h2 d 2 2 n x p x n ( x) 2 sin 2 l 4 dx l
2
n2h2 n ( x) 2 4l
即
n2h2 2 px 4l 2
将此式代入粒子的能量表达式，得：
（b）由于
l 0
x n ( x) c n ( x), x
* n



x x x n x dx
l
无本征值， 只能求粒子坐标的平均值：
2 nx 2 nx x dx sin sin 0 l l l l 2 l 2 l 1 cos 2nx 2 nx x sin dx 0 x dx l 0 l 2 l


2axe 6axe 6a
ax 2 ax 2
4axe
ax 2
4a x e
2
3 ax 2
4a x e
2
3 ax 2
因此，本征值为 6a 。
[1.13] e 若是，求出其本征值。
[解]：
im
d 和cos m对算符i 是 否 为 本征 函 数 ？ d
[19]若在下一离子中运动的π电子可用一维势箱近似表示 其运动特征：
估计这一势箱的长度l=1.3nm，根据能级公式En=n2h2/8ml2 估算π电子跃迁时所吸收的波长，并与实验值5100nm比较。
解：该离子共有10个π电子，跃迁所需最低能量为第五和 第六两个分子轨道的能级差。
6 2 h 2 52 h 2 11h 2 E E6 E5 8ml 2 8ml 2 8ml 2 8mcl 2 11h hc
[1.3]金属钾的临阈频率为5.464×1014s-1 ，用它作光电池的 阴极，当用波长为300nm的紫外光照射该电池时，发射的光 电子的最大动能是多少？ 1 2 h ( v v0 ) 2 1 [解] 2 v hv hv0 mv 2 m
2.998 10 8 m s 1 34 14 1 5.464 10 s ) 2 6.626 10 J s ( 9 300 10 m 31 9.109 10 k g 2 6.626 10 34 J s 4.529 10 14 s 1 31 9.109 10 k g 8.12 10 5 m s 1
1 1 n2h2 2 E T V T px 2m 2m 4l 2 n2h2 8ml 2
若不知道粒子的波函数，则可采用下列两种方法求算能量： ① 解箱中粒子的Schrodinger方程，在求解过程中会自然 得到与上述结果相同的能级表达式（参见周公度、段连云 编著《结构化学基础》第二版，p27，北京大学出版社）。 若只求粒子最低能量（零点能）的近似值，则亦可根据变 分法的思路，选 为变分函数，用式：
1 2
[18]一个粒子处在a=b=c的三维势箱中,试求能级最低的前 五个能量值[以h2/（8ma2）为单位]。计算每个能级的简并 度。 解：质量为m的粒子在边长为a的立方势箱中运动，其能级 公式为： h2 2 2 2 En x , n y , n z (nx n y nz ) 8ma 2 能级最低的前五个能量（以h2/（8ma2）为单位）依次为： E111=3 E112=E121=E211=6 E122=E212=E221=9 E113=E131=E311=11 E222=12
l
[1.17] 链型共轭分子CH2CHCHCHCHCHCHCH2在长波 方向460nm处出百度文库第一个强吸收峰，试按一维势箱模型 估算其长度。
解：4对电子，形成

8 8
离域键。
h2 E 2n 1 2 8ml hc
2n 1h l 8mc
1 2
2 4 1 6.626 10 34 J s 460 10 9 m 31 8 1 8 9.109 10 k g 2.998 10 m s 1120 pm
[1.11] xe ax
2
d2 2 2 是算符 2 4a x 的本征函数，求本征值。 dx
[解]：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）Ⅲ（本征函数， 本征值和本征方程），得：
d2 d2 2 2 2 2 ax 2 ( 2 4a x ) ( 2 4a x ) xe dx dx d2 ax 2 2 2 ax 2 2 xe 4a x ( xe ) dx d ax2 2 ax 2 2 3 ax 2 e 2ax e 4a x e dx
8 9.1095 10 31 k g 2.9979 10 8 m s 1 1.3 10 9 m 11 6.6262 10 34 J s 506 .6nm


2
7.08 10 11 m
[1.7]子弹（质量为0.01kg，速度为1000ms-1）、尘埃（质 量10-9kg，速度10ms-1）、作布朗运动的花粉（质量1013kg，速度1ms-1 ）、原子中电子（速度1000ms-1）等， 速度的不确定度均为速度的10%，判断在确定这些质点 位置时，不确定度关系是否有实际意义。

2
n
将此式代入de Broglie 关系式，得：
nh p 2l
2 2 2
h
将此式代入粒子能量的一般表达式，得：
1 2 1 nh n h p E T V T 2 2m 2m 2l 8ml
可根据一维箱中粒子的能级表达式，分析En及△En随n,m及 l 等 的变化关系，从而加深对束缚态微观粒子的量子特征的理解。
1 2
1 2
[1.4] 计算下述粒子的德布罗意波的波长： （a）质量为10-10kg，运动速度为0.01ms-1的尘埃； （b）动能为0.1eV的中子； （c）动能为300eV的自由电子。
[解] 根据德布罗意关系式： （a） （b）
h 6.626 10 34 J s 10 6.626 10 22 m mv 10 kg 0.01m s 1
31 34
h 2meV 10% C 10 V
3
J s 10
19
kg 1.602 10
3.88 10 10 m
这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上尺寸最小的 袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼 睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视 机荧光屏上成像无影响。
d H n ( x) 8 2 m dx 2
h2
2

h
l l cos l 8 m dx h2
2 nx sin l l d 2 n n x
2 n n n x 2 sin l l l l 8 m n 2 2 2 n x 2 sin 2 l l 8 m l 2 2 2 2 n h n h 即 En n ( x) 2 8ml 8ml 2 h2
d im i e ieim im me im d
im
所以e
d 是算符i 的本征函数，本征值为 m。 d
d 而i cos m i ( sin m ) m im sin m c cos m d d 所以 cos m不是算符i 的本征函数。 d
h p h 2mT 6.626 10 34 J s 2 1.675 10 27 k g 0.1eV 1.602 10 19 J (eV ) 1
9.043 10 11 m
（c）
h p
h 2meV
6.626 10 34 J s 2 9.109 10 31 k g 300V 1.602 10 19 C
[解] 按不确定度关系，诸粒子坐 标的不确定度为：
h 6.626 10 34 J s 子弹：x 6.63 10 34 m m v 0.01k g 1000 10 %m s 1 h 6.626 10 34 J s 尘埃：x 9 6.63 10 25 m m v 10 k g 10 10 %m s 1 h 6.626 10 34 J s 花粉：x 13 6.63 10 20 m m v 10 k g 110 %m s 1 h 6.626 10 34 J s 电子：x 7.27 10 6 m m v 9.109 10 31 k g 10 3 10 %m s 1
[1.8] 电 视 机 显 像 管 中 运 动 的 电 子 ， 假 定 加 速 电 压 为 1000V，电子运动速度的不确定度△ v 为速度的10%，判 断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？ [解]：在给定加速电压下，由测不准关系所决定的电子坐标 的不确定度为：
h h x m m 2eV / m 10% 6.626 10 2 9.109 10
[1.15] 已知一维势箱中粒子的归一化波函数为：
2 nx n ( x) sin l l
n 1,2,3,...
式中 l 是势箱的长度，x是粒子的坐标（0﹤x﹤ l ）。 计算： （a） 粒子的能量； （b） 粒子坐标的平均值； （c） 粒子动量的平均值。
[解]：(a) 由于已经有了箱中粒子的归一化波函数，可采用 下列两种方法计算粒子的能量： ①将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能 量： 2 2