最新31微分中值定理汇总

31微分中值定理
第一节中值定理
教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。

教学重点：罗尔定理、拉格朗日定理的应用。

教学过程：
一、罗尔定理
定理1：若函数f(x) 满足：（i）f(x) 在 [a,b] 上连续；（ii）f(x) 在（a,b）可导，（iii）f(a) =f(b), 则在（a,b）内至少存在一点，使得f«Skip Record
If...»(«Skip Record If...»)=0.
证明：由（i）知f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在上必能得最大值M和最小值m，此时，又有二种情况：
（1）M=m，即f(x)在[a,b]上得最大值和最小值相等，从而知，此时f(x)为常数：f(x)＝M=m，«Skip Record If...»«Skip Record If...»＝0，因此，可
知«Skip Record If...»为（a,b）内任一点，都有f«Skip Record
If...»(«Skip Record If...»)＝0。

（2）M>m,此时M和m之中，必有一个不等于f(a)或f(b)，不妨设M«Skip Record If...»f(a)（对m«Skip Record If...»f(a)同理证明），这时必然在
（a,b）内存在一点«Skip Record If...»，使得f(«Skip Record If...»)=M,
即f(x)在«Skip Record If...»点得最大值。

下面来证明：f«Skip Record
If...»(«Skip Record If...»)=0
首先由（ii）知f«Skip Record If...»(«Skip Record If...»)是存在的，由定义知：
f«Skip Record If...»(«Skip Record If...»)=«Skip Record If...»«Skip Record If...»…….(*)
因为«Skip Record If...»为最大值，«Skip Record If...»对«Skip Record If...»有 f(x) «Skip Record If...»M«Skip Record If...»f(x)－M«Skip Record If 0
当x>«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»«Skip Record If...»0 当x<«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»«Skip Record If 0
又因为（﹡）的极限存在，知（﹡）极限的左、右极限都存在，且都等于«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，然而，又有«Skip Record If...»和
«Skip Record If...»«Skip Record If...»。

注 1：定理中的三个条件缺一不可，否则定理不一定成立，即指定理中的条件是充分的，但非必要。

2：罗尔定理中的«Skip Record If...»点不一定唯一。

事实上，从定理的证明过程中不难看出：若可导函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处取得最大值或最小值，则有«Skip Record If...»。

3：定理的几何意义：设有一段弧的两端点的高度相等，且弧长除两端点外，处处都有不垂直于«Skip Record If...»轴的一切线，到弧上至少有一点处的切线平行于«Skip Record If...»轴。

【例1】设多项式«Skip Record If...»的导函数«Skip Record If...»没有实根，证明«Skip Record If...»最多只有一个实根。

二、拉格朗日中值定理
在罗尔定理中，第三个条件为(iii)«Skip Record If...»，然而对一般的函数，此条不满足，现将该条件去掉，但仍保留前两个条件，这样，结论相应地要改变，这就是拉格朗日中值定理：
定理2：若函数满足：(i)«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续；(ii)«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上可导；则在«Skip Record If...»内至少存在一点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»。

若此时，还有«Skip Record If...»，«Skip Record If...»。

可见罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况，因而用罗尔中值定理来证明之。

证明：上式又可写为«Skip Record If...» (1)
作一个辅助函数：«Skip Record If...» (2)
显然，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，在«Skip Record If...»上可导，且
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»，所以由罗尔中值定理，在«Skip Record If...»内至少存在一点«Skip Record If...»,使得
«Skip Record If...»。

又«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»或«Skip Record If...»。

注 1：拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广；
2：定理中的结论，可以写成«Skip Record If...»«Skip Record If...»，此式也称为拉格朗日公式，其中«Skip Record If...»可写成：«Skip Record If...»
«Skip Record If...» (3)
若令«Skip Record If...» (4)
3：若«Skip Record If...»，定理中的条件相应地改为：«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，在«Skip Record If...»内可导，则结论为：«Skip Record If...»也可写成«Skip Record If...»
可见，不论«Skip Record If...»哪个大，其拉格朗日公式总是一样的。

这时，
«Skip Record If...»为介于«Skip Record If...»之间的一个数，(4)中的«Skip Record If...»不论正负，只要«Skip Record If...»满足条件，(4)就成立。

4：设在点«Skip Record If...»处有一个增量«Skip Record If...»，得到点«Skip R ecord If...»，在以«Skip Record If...»和«Skip Record If...»为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，有«Skip Record If...»«Skip Record If...»
即«Skip Record If...»这准确地表达了«Skip Record If...»和«Skip Record If...»这两个增量间的关系，故该定理又称为微分中值定理。

5：几何意义：如果曲线«Skip Record If...»在除端点外的每一点都有不平行于«Skip Record If...»轴的切线，则曲线上至少存在一点，该点的切线平行于两端点的联线。

由定理还可得到下列结论：
推论1：如果«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上的导数恒为0，则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上是一个常数。

证明：在«Skip Record If...»中任取一点«Skip Record If...»，然后再取一个异于«Skip Record If...»的任一点«Skip Record If...»，在以«Skip Record
If...»，«Skip Record If...»为端点的区间«Skip Record If...»上，«Skip
Record If...»满足：(i)连续；(ii)可导；从而在«Skip Record If...»内部存在一点«Skip Record If...»，使得
«Skip Record If...»又在«Skip Record If...»上，«Skip Record If...»，从而在«Skip Record If...»上，«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»«Skip Record If...»，
可见，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的每一点都有：«Skip
Record If...»（常数）。

三、柯西中值定理
定理3：若«Skip Record If...»满足：
(i) «Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续；
(ii) «Skip Record If...»在«Skip Record If...»内可导；
(iii)«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内恒不为0；
(iv)«Skip Record If...»；
则在«Skip Record If...»内至少存在一点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»。

证明：令«Skip Record If...»，显然，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，且«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内可导，更进一步还有«Skip Record If...»，事实上，
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
所以«Skip Record If...»满足罗尔定理的条件，故在«Skip Record If...»内至少存在一点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»，又«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
因为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»
注 1：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，事实上，令«Skip Record If...»，就得到拉格朗日中值定理；
2：几何意义：若用«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）表示曲线«Skip Record If...»，则其几何意义同前一个。

【例1】若函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内具有二阶导数，且
«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»，证明在«Skip Record If...»内至少有一点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»。

【例2】若«Skip Record If...»，证明«Skip Record If...»。

证明：对«Skip Record If...»，取«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，
不难验证：«Skip Record If...»满足拉格朗日中值定理的条件，故在«Skip Record If...»内至少存在一点«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»满足
«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
«Skip Record If...»由«Skip Record If...»的任意性，知本题成立。

注：条件“«Skip Record If...»”可改为“«Skip Record If...»”，结论仍成立。

【例3】证明：«Skip Record If...»。

【例4】证明：若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上可导，且«Skip Record If...»存在，则«Skip Record If...»。

【例5】证明«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）。

证：令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，
由推论知f(x)=常数！再由«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»。

【例6】若方程«Skip Record If...»有一个正根«Skip Record If...»，证明方程«Skip Record If...»必有一个小于«Skip Record If...»的正根。

证明：令«Skip Record If...»，在闭区间«Skip Record If...»上满足罗尔定理的三个条件，故«Skip Record If...»«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
上式表明«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）即为方程«Skip Record If...»的根。