最新31微分中值定理汇总
微分中值定理(2024版)
由 的任意性知, 在(a,b)上为常数 . 推论2 设x (a,b),有f (x) g(x),则f (x) g(x) C,x (a,b)
C为确定的常数
例10 证明等式 证: 设
令x=0,得
又
故所证等式在定义域
(常数) 上成立.
例
用微分法证 sin2x cos2 x 1
题型五:用柯西中值定理证明不等式
则 (a,b),使得 F() 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
拉格朗日中值公式
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C ,在该点处的切 线平行于弦 AB.
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
证 设 g(x) x2 ,
则 f ( x), g( x) 在[0,1]上满足柯西中值定理的条件,
在(0,1)内至少存在一点, 有
例5 设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,且f(a)=f(b), 证明 (a,b),使f ()-f()=0
例6 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
lim
x 0
f
(
x) x
f
()
0;
f()
微分中值定理【高等数学PPT课件】(2024版)
证: M 和最小值 m .
若M=m,则 因此
故在[ a , b ]上取得最大值
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得
注意:
1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且
至少存在一点
使
证: 问题转化为证
作辅助函数 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且
由罗尔定理知至少存在一点 思路: 利用逆向思维找即出定一理个结满论足成罗立尔.定证理毕条件的函数
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
令
则
推论: 若函数 在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
在( a , b ) 内至少存在一点 使 证明提示: 设
证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
例如,
例1 证明方程 至少有一个小于1的正实根.
证： 作辅助函数
显然
在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，并且
由罗尔定理知，在(0,1)内至少
存在一点续， 使
则在区间I上，f(x)=g(x)+c (c为常数).
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
例1. 证明等式 证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又
故所证等式在定义域
上成立.
经验: 欲证 时
只需证在 I 上
自证:
例2. 证明不等式 证: 设 中值定理条件, 因此应有
微分中值定理
定理证明
总结词
柯西中值定理的证明涉及到了微分学中的一 些基本概念和性质，如导数的定义、导数的 几何意义等。
Hale Waihona Puke 详细描述证明柯西中值定理，首先需要理解导数的定 义和性质，然后利用拉格朗日中值定理，再 结合闭区间上连续函数的性质，逐步推导， 最终得出结论。
定理应用
总结词
柯西中值定理在微分学中有广泛的应用，它可以用于研 究函数的单调性、极值等问题，还可以用于求解一些复 杂的微分方程。
详细描述
柯西中值定理的应用主要体现在两个方面，一是利用该 定理研究函数的单调性和极值问题，二是利用该定理求 解一些复杂的微分方程。通过柯西中值定理的应用，我 们可以更好地理解函数的性质，并且能够求解一些复杂 的数学问题。
06
罗尔中值定理
定理内容
总结词
罗尔中值定理是微分学中的基本定理之一，它指出如 果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且 在区间的两端取值相等，那么在这个区间内至少存在 一点，使得函数在该点的导数为零。
定理应用
01
洛必达法则可以用于求极限，特别是当极限的形式为0/0或 者∞/∞时，可以通过洛必达法则求得极限值。
02
洛必达法则还可以用于判断函数的单调性，如果函数在某区间 的导数大于0，则函数在此区间单调递增；如果导数小于0，则
函数在此区间单调递减。
03
此外，洛必达法则还可以用于求函数极值，如果函数在某 点的导数等于0，则该点可能是函数的极值点。
定理应用
总结词
罗尔中值定理在微分学中有广泛的应 用，它可以用于证明其他中值定理、 研究函数的单调性、解决一些微分方 程问题等。
2. 研究函数的单调性
通过罗尔中值定理可以推导出一些关 于函数单调性的结论，例如如果函数 在区间上单调增加或减少，那么其导 数在该区间上非负或非正。
微分中值定理及洛必塔法则
05
微分中值定理及洛必塔 法则的推广
推广形式
广义微分中值定理
将传统的微分中值定理从闭区间上的连续函数推广到更广泛的函数 类，如半开半闭区间、无界区间等。
多重中值定理
在多维空间中，研究多元函数的微分中值定理，揭示了函数在各个 方向上的变化情况。
非标准分析中的微分中值定理
在非标准分析的框架下，对微分中值定理进行重新定义和证明，适 用于超实数域。
06
微分中值定理及洛必塔 法则的习题解答
经典习题解析
经典习题1
证明在闭区间上连续的函数在该区间上可导。
经典习题2
求函数在某点的导数。
经典习题3
利用微分中值定理证明不等式。
经典习题4
利用洛必塔法则求极限。
习题解答技巧
技巧1
技巧2
熟练掌握微分中值定理和洛必塔法则的基 本形式和应用条件，确保在解题过程中正 确运用。
02
微分中值定理和洛必塔法则都 是基于极限的思想，通过局部 的函数性质来推断整体的性质 。
03
微分中值定理和洛必塔法则都 涉及到函数的导数，导数的性 质在这两个定理中扮演着重要 的角色。
应用对比
微分中值定理主要用于证明一些关于函 数的不等式、等式或解决一些与极值相 关的问题，而洛必塔法则主要用于求解 一些极限问题。
应用举例
• 应用举例：微分中值定理的应用非常广泛， 例如在求解某些微分方程时，可以利用微 分中值定理来找到方程的解；在研究函数 的单调性、极值等问题时，也可以利用微 分中值定理来帮助分析；此外，在求函数 的近似值、误差估计等方面，微分中值定 理也有着重要的应用。
02
洛必塔法则
定义与性质
定义
洛必塔法则是微分学中的基本定理之一，它 给出了函数在某点的导数的计算方法。具体 来说，如果函数$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$ 处可导，且$g'(x)$在$x_0$处不为零，那么 $lim_{{x to x_0}} frac{f'(x)}{g'(x)}$存在，且 等于$frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$。
《微分学中值定理》课件
结论：柯西定理是微分学中值定理的一个重要结果，对于理解微 分学的基本概念和定理具有重要意义。
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。 Nhomakorabea04
微分学中值定理的推论
推论一：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内单调
推论二：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多 存在一个极值点
极值点的定义：函数在某点处的导数为0，且该点两侧的导数符号相 反
极值点的存在性：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多 存在一个极值点
极值点的唯一性：若函数在某区间内可导，且该区间内只有一个极 值点，则该极值点为函数的最大值或最小值
极值点的应用：在微分学中，极值点是研究函数性质的重要工具， 可以用于求解函数的最大值和最小值，以及判断函数的单调性等。
推论三：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内取得 极值的必要条件
必要条件：函数在某区间内可导
极值：函数在某点处的值大于或小于其附近点的值
证明：通过微分学中值定理的推论，可以证明函数在某区间内取得极值的必要条件
利用微分学中值定理解决实际问题
实例1：求解函数在某点处的导 数
实例2：求解函数在某区间上的 最大值和最小值
实例3：求解函数在某点处的斜 率
实例4：求解函数在某点处的切 线方程
06
微分学中值定理的扩展
泰勒定理与微分学中值定理的关系
泰勒定理是微分 学中值定理的推 广和延伸
泰勒定理将微分 学中值定理中的 函数值扩展到函 数值和导数值
应用：在解决实际问题时，可以利用这个推论来判断函数是否取得极值，从而找到最优解
31微分中值定理共22页文档
3.1
微分中值定理
一、 罗尔定理 二、 拉格朗日中值定理 三、 柯西中值定理 四、 小结
一、问题的提出
两个现象：
(1) 曲线弧 A⁀B 上 至少有一点处的切线 是水平的，即
f()0.
(2) 变速直线运动 在折返点处的瞬时 速度为0, 即
s()0.
3
不同背景的两个现象，从数学的观点看，有 一个共同点: 结论： x(a,b)，使
若
满足：
(1) 在闭区间 [a , b] 上连续；
(2) 在开区间 (a , b) 内可导；
在( a , b ) 内至少存在一点
y
C
A
o a 1
yf(x) B
bx
f()f(b ) f(a ) b a 10
注 1°与罗尔定理相比，去掉了条件(3):
f(a)f(b)
2°结论(1.2)亦可写成： f ( b ) f ( a ) f ( ) b a ( )
19
拉格朗日（1736.1.25—1813.4.10）生平简介
拉格朗日是法国数学家，他的父亲是陆军骑兵里的一名会计官 ，后又经商。拉格朗日兄弟姐妹11人，他的父亲希望他能当一名 律师，他14岁考入中学时，逐渐对物理学和几何学感兴趣，特别 对几何学更热爱。17岁时，当他读到英国天文学家哈雷撰写的介 绍牛顿微积分成就的一篇短文之后，对分析产生了浓厚的兴趣， 而分析在当时是迅速发展的一个数学领域.1754年，18岁的拉格 朗日给出了二个函数积的高阶导数公式，他将这一发现告诉了当 时的几何学家泥尼亚诺、数学家欧拉。后来得知这一结果早在半 个世纪以前就被莱布尼兹所发现，他生怕别人误认为他是剽窃者 和科学骗子。但这一挫折并没有使他丧失信心，1755年8月12日 ，拉格朗日给欧拉写了一封信，在这封信中，他对求积分极值问 题的纯分析方法做了系统的总结，这是变分法研究的一个重大进 展，也是他在数学研究中最杰出的成就之一。拉格朗日在数学的 许多领域都留下了足迹，他的工作总结18世纪的数学成果，同时 开辟了19世纪数学研究的道路。1813年4月10日，拉格朗日与世 长辞，人们争相悼念他，在法国科学院、意大利各大学都举行2了0
《高数上31中值定理》课件
罗尔定理的证明
详细描述：证明罗尔定理的步骤 如下
1. 构造辅助函数$F(x) = f(x) lambda x$，其中$lambda$为
待定常数。
2. 利用中值定理证明存在一点 $xi_1$，使得$F(xi_1) = 0$。
罗尔定理的证明
3. 由于$F(a) = f(a) - lambda a = 0 - lambda a = -lambda a$ 和$F(b) = f(b) - lambda b = lambda b - lambda b = 0$，且 $F(x)$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，所以根据介值定理存 在一点$xi_2$，使得$F(xi_2) = 0$。
1. 求函数的极值
如果函数在某点的导数为零，则该点可能是函数的极值点。因此，利用罗尔定理可以找 到函数的极值点。
2. 判断函数的单调性
如果函数在某区间的导数大于零，则函数在此区间单调递增；如果导数小于零，则函数 在此区间单调递减。因此，利用罗尔定理可以判断函数的单调性。
03
拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理的表述
总结词
简洁明了地描述了拉格朗日中值定理 的内容。
详细描述
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续， 在开区间(a, b)上可导，那么在开区间 (a, b)内至少存在一点ξ，使得 f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
拉格朗日中值定理的证明
总结词
详细介绍了拉格朗日中值定理的证明过程。
详细描述
4. 由于$F'(xi_2) = f'(xi_2) lambda = 0$，所以$lambda = f'(xi_2)$。
5. 综上，存在唯一一点$xi = xi_2$，使得$f'(xi) = 0$。
微分中值定理汇总课件
22
22
可导,
f ( 3 π) 1 f (π).因此sin x在[ 3 π, π]上满足罗
2
2
22
尔定理.应选C.
对于f(x)=|x|，在[－1,1]上连续，在(－1,1)内不可 导，因此应排除Ｄ.
综合之，本例应单选Ｃ.
例2 设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导，
f(a)=f(b),则曲线y=f(x)在(a,b)内平行于x轴的切线( ).
f ( ) f (b) f (a) 0,
ba
从而有f ( ) f (b) f (a) ，或表示为
ba
f (b) f (a) f ( )(b a).
上述结论对b<a也成立.
如果f(x)在(a,b)内可导，x0 (a,b), x0 x (a,b), 则 在以 x0与x0 x为端点的区间上f(x)也满足拉格朗日 中值定理，即
一、引理
引理 设f(x)在 x0 处可导,且在 x0 的某邻域内恒有 f (x) f (x0 )(或f (x) f (x0 )), 则有 f (x0 ) 0 .
二、罗尔定理
定理4.1 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导, (3) f(a)=f(b),
不难发现 f (x) 1 ，在[－2,0]上不满足连续的 x
条件，因此应排除A.
对于f (x) (x 4)2，在[－2,4]上连续，在(－2,4)
内可导；f(－2)=36，f(4)=0，f (2) f (4)，因此
应排除B.
对于f (x) sin x，在[ 3 π, π]上连续, 在( 3 π, π)内
则至少存在一点 (a,b)，使f '( ) 0.
微积分31微分中值定理省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件
比如,
x2 -1 x 1
f (x)
0 x 1
f (0) 0
0 1X
第6页
例1 证明方程 x5 x 1 0 有且仅有一个正实根 . 证: 1）存在性
设 f ( x) x5 x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 1. 由零点定理
x0 (0,1),使 f ( x0 ) 0. 即为方程正实根.
f ( x) a0 a1( x x0 ) an ( x x0 )n o( x x0 )n
Pn ( x)
Rn ( x)
误差 Rn( x) f ( x) Pn( x)
第18页
2 Pn和 Rn的确定
近似程度越来越好
分析:
1.若在 x0 点相交
y
Pn ( x0 ) f ( x0 )
在(a, b)内每一点处均不为零，那末在(a, b) 内至少
有一点(a b),使等式
f F
(a) (a)
f (b) F (b)
f F
' () 成立. ' ()
第13页
几何解释:
y
在曲线弧AB上至少有
一点C(F (), f ()),在
该点处的切线平行于
A
X F(x)
C
Y
f (x)
M
B
N
D
ln(1 x) x , 1
又0 x 1 1 1 x
1 1 1,
1 x 1
x x x, 1 x 1
即 x ln(1 x) x. 1 x
第12页
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x)及F(x)
3.1 微分中值定理
π
自证: arctan + arccot = , ∈ (−∞, +∞).
2
第一节 微分中值定理
第三章 微分中值定理与导数的应用
例3 证明当 > 0时,
< ln( 1 + ) < .
1+
证
设 () = ln( 1 + ), 则()在[0, ]上满足拉格朗日中值定理的条件,
第一节 微分中值定理
第三章 微分中值定理与导数的应用
二、拉格朗日中值定理
拉格朗日定理
如果函数()满足
(1) 在闭区间[, ]上连续;
(2) 在开区间(, )内可导,
() − ()
.
则在开区间 , 内至少存在一点 , 使得 ′( ) =
−
几何解释∶
在曲线弧 上至少有一点 , 在该点处的切线平行于弦.
第一节 微分中值定理
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用
分析:
欲证 ′ (
() − ()
)=
−
将 变为
逆
向
思
维
′ ()
() − ()
=
−
适当变形
() − ()
() −
−
′
=0
设为辅助函数
验证辅助函数满足罗尔定理条件, 得出结论.
则在开区间 , 内至少存在一点 ,使得
() − () ( )
(( ), ( ))
几何解释∶
在曲线弧上至少有一点, 在该点处的切线平行于弦.
第一节 微分中值定理
第三章 微分中值定理与导数的应用
微分中值定理
T 与 l 平行
T
y = f (x)
(b, f (b))
l
这样的ξ可能有好多
f (b ) − f ( a ) y = f (a ) + ( x − a) b−a
(a, f (a))
O
a
ξ
ξ
b
x
Made by Huilai Li
一个特殊的例子：假设从A点运动到B点， 那么有许多种走法，首先我们来看一个例 子。
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange） 拉格朗日（Lagrange）中值定理
(1) 如果函数
f(x)在 在
闭区间[a, b]上连续,(2) 在开区间 (a, b) 内可导, 那末 上连续 , 内可导 , 在 (a, b)内至少有一点 ξ(a < ξ < b)，使等式
f (b) − f (a) = f ' (ξ)(b − a) 成立. 成立.
设另有 x1 ∈ ( 0,1), x1 ≠ x 0 , 使 f ( x1 ) = 0.
Q f ( x ) 在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的条 件, ∴ 至少存在一个 ξ (在 x0 , x1 之间), 使得 f ′(ξ ) = 0. 但 f ′( x ) = 5( x 4 − 1) < 0, ( x ∈ ( 0,1)) 矛盾 ∴ 为唯一实根 . 矛盾,
一、罗尔(Rolle)定理
（ olle） 定理 如果函数 f (x)在 (1) 闭区间 [a, b]上 罗尔 Rolle） ( 连续, 内可导, 连续,(2) 在开区间 (a, b)内可导, 3) 且在区间端点的函数 值 相 等 ， 即 f (a) = f (b) , 那 末 在 (a, b) 内 至 少 有 一 点 在该点的导数等于零， ξ(a < ξ < b),使得函数 f (x)在该点的导数等于零， 即f
3.1微分中值定理讲稿
0
0
x → x0
g ( x)
x → x0
g ′( x)
当x→∞,x→ x0 等其它变化过程时定
理结论仍成立
+
例4.求 lim 求
sin x 1 2 解： ( x sin )′ x 解： (ln 2 x)′ 原式= x→0 原式 lim 原式= →+∞ 原式 xlim (sin x)′ ( x)′ 1 1 2 1 2 x sin + x (sin )′ 2 ln x ⋅ x x = lim x = lim x →0 cos x x → +∞ 1 1 1 1 2 x sin + x 2 ⋅ cos ⋅ (− 2 ) (2 ln x)′ x x x = lim (再用一次洛 (再用一次洛 = lim x →0 cos x x → +∞ ( x)′ 必达法则Ⅱ 必达法则Ⅱ) 1 1 2 x sin − cos x x 极限不存在 还能再用洛必达法 2 = lim = lim x →0 则Ⅱ吗？ cos x x → +∞ x
ξ
b
x
反之若三条件中有一条件不满足,就可 反之若三条件中有一条件不满足 就可 能在开区间(a,b)内找不到一个点的导数 能在开区间 内找不到一个点的导数 恰好为零(如图 图 图 如图1 恰好为零 如图 ,图2 ,图3)
满足条件： 2.拉格朗日中值定理 如果函数 f (x) 满足条件： 拉格朗日中值定理. 拉格朗日中值定理 ⑴在闭区间[a,b]上连续 在闭区间 上连续 ⑵在开区间(a,b)内可导 在开区间 内可导 则在开区间(a,b)内至少存在一个点 ξ 使 内至少存在一个点 则在开区间 f (b) − f (a) f ′(ξ ) = 或 f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a) b−a y
31 微分中值定理
证 f ( x)在 [a,b] 连续，必存在最大值 M 和最小 值 m.
(1) 若M m, 则 f ( x) M . 故 (a,b), 都有 f ( ) 0.
(2) 若 M m, f (a) f (b), 最值不可能同时在端点取得.
x) x
f ( x0 ) 0.
费马引理
证 不妨设 x U( x0 )时，f ( x) f ( x0 ).
则对 x0 x U( x0 ), 有 f ( x0 x) f ( x0 ),
从而 当 x
0
时， f
( x0
x) x
f
( x0 )
0;
当
x
我们在第二章第一节中已证明过函数 f ( x)在 x 0
处是不可导的, 因此不满足在开区间可导的条件,
虽然 f ( x) 在 [1,1]内是连续的, 且有
f (1) f (1),
但是没有水平切线.
罗尔定理的条件与结论
罗尔定理的三个条件是十分重要的, 如果有一个不 满足, 定理的结论就可能不成立. 下面分别举例说 明之:
罗尔定理的三个条件是十分重要的, 如果有一个不 满足, 定理的结论就可能不成立. 下面分别举例说 明之:
1.
f
(
x)
|
x
|
1, x,
x0 0 x1
易见函数 f ( x)在闭区间 [0,1] 的左端点 x 0 处间
断,不满足闭区间连续的条件, 尽管f ( x)在开区间
(0,1) 内存在, 且 f (0) f (1) 1, 但显然没有水平
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31微分中值定理第一节中值定理教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。
教学重点：罗尔定理、拉格朗日定理的应用。
教学过程：一、罗尔定理定理1：若函数f(x) 满足：（i）f(x) 在 [a,b] 上连续；（ii）f(x) 在（a,b）可导，（iii）f(a) =f(b), 则在（a,b）内至少存在一点，使得f«Skip RecordIf...»(«Skip Record If...»)=0.证明：由（i）知f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在上必能得最大值M和最小值m，此时，又有二种情况：（1）M=m，即f(x)在[a,b]上得最大值和最小值相等，从而知，此时f(x)为常数：f(x)＝M=m，«Skip Record If...»«Skip Record If...»＝0，因此，可知«Skip Record If...»为（a,b）内任一点，都有f«Skip RecordIf...»(«Skip Record If...»)＝0。
（2）M>m,此时M和m之中，必有一个不等于f(a)或f(b)，不妨设M«Skip Record If...»f(a)（对m«Skip Record If...»f(a)同理证明），这时必然在（a,b）内存在一点«Skip Record If...»，使得f(«Skip Record If...»)=M,即f(x)在«Skip Record If...»点得最大值。
下面来证明：f«Skip RecordIf...»(«Skip Record If...»)=0首先由（ii）知f«Skip Record If...»(«Skip Record If...»)是存在的，由定义知：f«Skip Record If...»(«Skip Record If...»)=«Skip Record If...»«Skip Record If...»…….(*)因为«Skip Record If...»为最大值，«Skip Record If...»对«Skip Record If...»有 f(x) «Skip Record If...»M«Skip Record If...»f(x)－M«Skip Record If 0当x>«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»«Skip Record If...»0 当x<«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»«Skip Record If 0又因为（﹡）的极限存在，知（﹡）极限的左、右极限都存在，且都等于«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，然而，又有«Skip Record If...»和«Skip Record If...»«Skip Record If...»。
注 1：定理中的三个条件缺一不可，否则定理不一定成立，即指定理中的条件是充分的，但非必要。
2：罗尔定理中的«Skip Record If...»点不一定唯一。
事实上，从定理的证明过程中不难看出：若可导函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处取得最大值或最小值，则有«Skip Record If...»。
3：定理的几何意义：设有一段弧的两端点的高度相等，且弧长除两端点外，处处都有不垂直于«Skip Record If...»轴的一切线，到弧上至少有一点处的切线平行于«Skip Record If...»轴。
【例1】设多项式«Skip Record If...»的导函数«Skip Record If...»没有实根，证明«Skip Record If...»最多只有一个实根。
二、拉格朗日中值定理在罗尔定理中，第三个条件为(iii)«Skip Record If...»，然而对一般的函数，此条不满足，现将该条件去掉，但仍保留前两个条件，这样，结论相应地要改变，这就是拉格朗日中值定理：定理2：若函数满足：(i)«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续；(ii)«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上可导；则在«Skip Record If...»内至少存在一点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»。
若此时，还有«Skip Record If...»，«Skip Record If...»。
可见罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况，因而用罗尔中值定理来证明之。
证明：上式又可写为«Skip Record If...» (1)作一个辅助函数：«Skip Record If...» (2)显然，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，在«Skip Record If...»上可导，且«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，所以由罗尔中值定理，在«Skip Record If...»内至少存在一点«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...»。
又«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»或«Skip Record If...»。
注 1：拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广；2：定理中的结论，可以写成«Skip Record If...»«Skip Record If...»，此式也称为拉格朗日公式，其中«Skip Record If...»可写成：«Skip Record If...»«Skip Record If...» (3)若令«Skip Record If...» (4)3：若«Skip Record If...»，定理中的条件相应地改为：«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，在«Skip Record If...»内可导，则结论为：«Skip Record If...»也可写成«Skip Record If...»可见，不论«Skip Record If...»哪个大，其拉格朗日公式总是一样的。
这时，«Skip Record If...»为介于«Skip Record If...»之间的一个数，(4)中的«Skip Record If...»不论正负，只要«Skip Record If...»满足条件，(4)就成立。
4：设在点«Skip Record If...»处有一个增量«Skip Record If...»，得到点«Skip R ecord If...»，在以«Skip Record If...»和«Skip Record If...»为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，有«Skip Record If...»«Skip Record If...»即«Skip Record If...»这准确地表达了«Skip Record If...»和«Skip Record If...»这两个增量间的关系，故该定理又称为微分中值定理。
5：几何意义：如果曲线«Skip Record If...»在除端点外的每一点都有不平行于«Skip Record If...»轴的切线，则曲线上至少存在一点，该点的切线平行于两端点的联线。
由定理还可得到下列结论：推论1：如果«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上的导数恒为0，则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上是一个常数。
证明：在«Skip Record If...»中任取一点«Skip Record If...»，然后再取一个异于«Skip Record If...»的任一点«Skip Record If...»，在以«Skip RecordIf...»，«Skip Record If...»为端点的区间«Skip Record If...»上，«SkipRecord If...»满足：(i)连续；(ii)可导；从而在«Skip Record If...»内部存在一点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»又在«Skip Record If...»上，«Skip Record If...»，从而在«Skip Record If...»上，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»«Skip Record If...»，可见，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的每一点都有：«SkipRecord If...»（常数）。