对一道数学试题的分析与反思

对一道数学试题的分析与反思

一、问题提出

问题1为了美化校园，学校准备在三边长分别是13m 、

14m 、15m 的三角形空地上种植花草，你能计算出这块空地

的面积吗？如果能请写出你的计算过程。

二、解法缺陷

这道题是本校的一道期末考试题，笔者在监考过程中，仔细观察了一位学生的解题过程，如下：

解法1：如图2，过点A 作BC 的垂线，垂足为点D 。

设BD ＝x ，AD ＝y 。

由面积法，得S △ABD ＋S △ACD ＝S △ABC 。2

114142121⨯=y y x xy ）－（＋，但是此方程化简以后是恒等式，则此路不通。

解法2：在Rt △ABC 中，AD 2＋BD 2＝AB 2，即y 2＋x 2＝152。

在Rt △ADC 中，AD 2＋DC 2＝AC 2，即y 2＋(14－x )2＝132。

解方程组⎪⎩

⎪⎨⎧222222131415＝）－＋（＝＋x y x y ，得y ＝12。从而面积为14×12×21＝84（m 2）。 笔者认为这位学生能首先从面积法的角度思考问题，非常合理，并且能迅速地从面积法转到考虑勾股定理，展现了其良好的数学基本功。

解法2所得结果是正确的，但解题思路存在缺陷，笔者发现许多学生的解法与解法2类似，原因是原图中线段BC 恰好是水平的，所以学生更习惯作BC 的垂线，而不习惯作AB 或AC 上的高。学生们潜意识认为所作的高应当在三角形内，这是错误的。我们讨论过锐角三角形、钝角三角形、直角三角形各自三条高的情况，发现高可能在三角形内部或三角形上，也可在三角形外。

三、类似题联想

问题2已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝2，AC 边上的高BD ＝3，求底边BC 的长。

就这个问题笔者检查了八位学生的解法，发现都只得到了一种答案。因为他们都认为腰上的高应该在三角形内，而没有考虑高在三角形外的情形，从而导致得到了片面的结果。

A C 图1 A

图2

正确解法如下：

依题意可有图3（高BD 在三角形内）、图4（高BD 在三角形外）。

不难计算出两种情况下底边BC 的长分别为2，23。

针对问题1的解法缺陷，我们是否应该讨论以13，14，15为边的三角形是锐角三角形、钝角三角形、直角三角形呢？这个问题我们留在第六部分讨论。通过认真观察不难发现，无论锐、直、钝角三角形，都至少有一条边上的高在三角形的内部，这条边一定是最长的边，所以应该在最长的一条边上作高就可以保证图形的唯一性，即最长边上的高一定在三角形的内部。问题1的正确解法应当说明，选择在最长的边上作高，即在边AB 上作高，即可避免出现高在三角形外的情况。

四、基于猜想的解法

笔者还观察了一些类似解法2的解法，不同之处在于方程（组）。

情况1：方程组⎪⎩⎪⎨⎧+

+222222131415＝）－（＝x y x y ； 情况2：方程组⎪⎩⎪⎨⎧++1314152222＝）－（

＝y x y x ；

情况3：以Rt △ABD 和Rt △ADC 的公共边AD 为“过渡量”建立方程152－x 2＝132－(14－x )2。

这三种方程（组）中最好的当然是情况3中的方程，也是思维最简捷的。情况1的方程组需要消元，即消去未知数y ；情况2中的方程需等式两边平方去根号，然后转化为情况1。笔者也发现一些学生虽然列出了方程（组），但是并没有去求解，而直接猜出了答案，根据勾股数来猜，笔者认为这样的学生思路非常灵活，能善于猜想，也能精于推理。

另一位学生从猜想出发，解法如下：

过点A 作AD ⊥BC 交BC 于点D ，∴∠ADC ＝90o ，∵132＝52＋122，∴AD ＝12m ，DC ＝5m ；或AD ＝5m ，DC ＝12m ；……

B 图3 A

C

B 图4

这样的解法是不符合逻辑的，但是这种基于猜想的方法能行得通吗？答案是可以的。

如图5，我们可以先构造两个直角三角形（5，

12，13）和（9，12，15），再拼在一起，易证点B 、

D 、C 三点共线，所以可以拼成一个边长为13，14，

15的三角形，与原三角形全等，则原三角形边14

上的高为12m 。至此，这种方法被“救活”了，这

种基于猜想的方法有很大的局限性，若所求线段长

度与勾股数无关，就很难猜得结论了。

五、基于分类的解法

问题1的正确解法应当说明，选择在最长的边上作高，目的是确保高在三角形内部，保证图形的唯一性。但如果不这样考虑，那么解法应当依据不同的图形分情况讨论。

我们选择在边BC 上作高，首先应画出示意图，边BC 上的高可能在三角形的内部（图6），也可能在三角形外部，垂足在边BC 的延长线上（图7），由于15>13，所以垂足不可能在边BC 的反向延长线上。

设BD ＝x ，由图6可得方程152－x 2＝132－（14－x ）2，解得x ＝9，此时x <14，

所以x ＝9成立；

由图7可得方程152－x 2＝132－（x －14）2，解得x ＝9，由图形可知x >14，所以x ＝9不成立。

这两个方程实质上是一样的，所以解相同，但是不同的图形中x 的取值范围不同，由此排除了其中一种情况。

六、探究新问题

我们在思考以上问题的过程中产生了一个新的问题，已知一个三角形的三条边，如何能判定它是锐角、钝角、还是直角三角形。笔者设计了如下问题：

问题3已知一个三角形的两条边分别为5，6，第三条边长为整数，请问符合条件的三角形有多少种情况？哪些是锐角三角形？哪些是钝角三角形？哪些

图6 A

C

D

14 14

C

图7

图5 D