重庆大学出版社高等数学题库参考答案(5678)
重庆高等数学教材答案下册
重庆高等数学教材答案下册在学习数学过程中，练习题和答案是我们检验学习成果，巩固知识的有效工具。
对于重庆高等数学教材下册的学习者来说，获取正确的答案是非常重要的。
本文将为大家提供重庆高等数学教材下册的答案，帮助大家更好地学习和掌握数学知识。
1. 第一章: 极限和连续第一章主要介绍了极限和连续的基本概念和性质。
学生通过大量的练习能够更好地理解和应用这些知识。
以下是第一章的答案：练习题1：（1）1，（2）0，（3）1/2练习题2：（1）0，（2）1，（3）2练习题3：（1）0，（2）1/2，（3）1/42. 第二章: 导数与微分第二章主要介绍了导数和微分的概念和计算方法。
通过学习这一章节，学生能够了解函数的变化率和切线方程等内容。
以下是第二章的答案：练习题1：（1）2，（2）3，（3）4练习题2：（1）2，（2）3，（3）4练习题3：（1）2，（2）3，（3）43. 第三章: 不定积分第三章主要介绍了不定积分的基本定义和性质，以及常见的积分方法。
通过这一章节的学习，学生能够掌握如何计算不定积分。
以下是第三章的答案：练习题1：（1）2x+C，（2）3x^2+C，（3）4e^x+C练习题2：（1）2x+C，（2）3x^2+C，（3）4e^x+C练习题3：（1）2x+C，（2）3x^2+C，（3）4e^x+C4. 第四章: 定积分与切比雪夫不等式第四章主要介绍了定积分的概念和性质，以及切比雪夫不等式的应用。
通过学习这一章节，学生能够了解函数在一定区间上的平均值和大小关系。
以下是第四章的答案：练习题1：（1）2，（2）3，（3）4练习题2：（1）2，（2）3，（3）4练习题3：（1）2，（2）3，（3）45. 第五章: 微分方程第五章主要介绍了微分方程的基本概念和解法，以及一些常见的微分方程应用。
通过学习这一章节，学生能够掌握微分方程的解法和应用。
以下是第五章的答案：练习题1：（1）2，（2）3，（3）4练习题2：（1）2，（2）3，（3）4练习题3：（1）2，（2）3，（3）4通过以上列举的方式，我向大家提供了重庆高等数学教材下册的答案。
重庆大学出版社高等数学题库参考答案
第五章不定积分1(直接积分法、换元积分法)一、单选题1.设)(x f 是可导函数,则⎰'))((dx x f 为（A ）.A.)(x fB.C x f +)(C.)(x f 'D.C x f +')(2.函数)(x f 的（B ）原函数,称为)(x f 的不定积分.A.任意一个B.所有C.唯一D.某一个3.⎰=+=)(,2cos )(x f C x e dx x f x则（A ）.A.)2sin 22(cos x x e x -B.C x x e x +-)2sin 22(cosC.x e x 2cosD.x e x2sin4.函数x e x f =)(的不定积分是（B ）. A.x e B.c e x + C.x ln D.c x +ln5.函数x x f cos )(=的原函数是（A ）. A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos6.函数211)(x x f -=的原函数是（A ）.A.c x x ++1 B.x x 1- C.32x D.c xx ++12 7.设x 2是)(x f 的一个原函数,则[]='⎰dx x f )(（B ）A.x 2B.2C.2x D.-28.若ce dx e xx +=⎰,则⎰xd e x22=（A ）A.c ex+2 B.c e x + C.c e x +-2 D.c e x +-29.函数x x f sin )(=的原函数是（D ） A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos10.若)()()()()(x G x F x f x G x F '-'的原函数，则均为、=（B ）A.)(x fB.0C.)(x FD.)(x f ' 11.函数211)(xx f +=的原函数是（A ） A.c xx +-1B.x x 1-C.32xD.c x x ++1212.函数211)(x x f -=的原函数是（A ） A.c xx ++1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++1213.若函数)(x f 、)(x g 在区间),(b a 内可导，且)()(x g x f '='，则（B ） A.)()(x g x f = B.C x g x f +=)()(C.)()(x g x f ≠D.不能确定)(x f 与)(x g 之间的关系 14.若)()(x f x F ='，则下列等式成立的是（B ）. A.C x f dx x F +='⎰)()( B.⎰+=C x F dx x f )()(C.⎰+=C x f dx x F )()(D.C x F dx x f +='⎰)()(15.经过点)1,0(-，且切线斜率为x 2的曲线方程是（D ）. A.2x y = B.2x y -= C.12+=x y D.12-=x y 二.填空题 1.)25ln(2125x d x dx --=-.2.)1(212x d xdx --=.3.C aa dx a xx +=⎰ln .4.设)(x f 是连续函数，则dxx f dx x f d )()(=⎰.5.xx cos 2+的原函数是x x sin 2+.6.]4)3[(21)3(2---=-x d dx x .7.C x xdx +=⎰7sin 717cos .8.)1(ln 3133-=x x a d adx a .9.)3(cos 313sin x d xdx -=.10.C x dx x x +=⎰2ln 21ln .11.C x dx x +=⎰4341.12.)C 41(2222+-=--x x e ddx xe .13.C x xdx x +=⋅⎰2sin 21sin cos .14.C x dx x +=+⎰3arctan 319112. 15.C x x dx x +-=⎰)sin (212sin 2.16.⎰+='C x f dx x f )2(21)2(.17.设⎰+=.)()(C x F dx x f ,若积分曲线通过原点，则常数)0(F C -=.18.)3(arctan 31912x d x dx=+. 19.)(2122x x e d dx xe =.20.已知xx f C x dx x f 2sin )(,sin )(2=+=⎰则.21.设)()()(21x f x F x F 是、的两个不同的原函数，且=-≠)()(,0)(21x F x F x f 则有 C.22.C x x dx x x +-=+-⎰222111 23.Ce dx e xxx +-=⎰1121.24.)1ln(21122-=-x d dx x x .25.若x x f sin )(的导函数是,则)(x f 的原函数为Cx +-sin .26.设)(3x f x 为的一个原函数，则dxx x df 23)(=.27.)2cos 41(812sin x d xdx -=28.x x sin 2+的一个原函数是x x cos 313-.29.)3(cos 33sin x d dx x -=.30.Cx xdx +-=⎰cos ln tan .31.()C x dx x +--=-⎰)21sin(2121cos .32.Cx xdx +=⎰tan sec 2. 33.C x x dx +-=⎰3cot 313sin 2.34.设x 2是)(x f 的一个原函数，则⎰='])([dx x f 2.三.判断题 1.⎰+=cx xdx cos sin (×)2.x x e dx e =⎰（×）3.⎰-=.cos sin x xdx (×)4.⎰+-=cx xdx cos sin (√)5.)21sin()]21[sin(x dx x -=-⎰(×)6.⎰+-=c x xdx sin cos （×）四.计算题1.求不定积分dx x x ⎰+21.解：原式=C x x d x ++=++⎰23222)1(31)1(1212.求不定积分dx x ⎰-31.解:原式=C x +--3ln3.求不定积分⎰+dx e e xx 1.解：原式=C e e d e x x x ++=++⎰)1ln()1(11 4.求不定积分⎰+-dx x x x )3sin 21(.解:原式=C x x x +++ln 3cos 225.求不定积分⎰-dx xe x 2.解:原式=C e x +--221 6.求不定积分dx x x⎰+12.解:原式=C x ++)1ln(2127.求不定积分dx x x ⎰+2)72(.解:原式=C xx x ++⋅+7ln 24914ln 1422ln 24 8.求不定积分⎰+dx x 10)12(.解:原式=C x ++11)12(2219.求不定积分⎰+-dx xx x )1)(1(.解:原式=C x x x x x +-+-221522210.求不定积分⎰xdx 2sin .解:原式=C x x +-2sin 4121 11.求不定积分⎰dx xx 22cos sin1.解:原式=C x x +-cot tan 12.求不定积分dx x ⎰+321.解:原式=C x ++32ln 2113.求不定积分xdx x arctan 112⎰+.解:原式=C x +2)(arctan 21 14.求不定积分⎰-dx x x 4313.解:原式=C x +--41ln 43 15.求不定积分⎰+dx x 2411.解:原式=C x +2arctan 21 16.求不定积分⎰+dx x x)5(3.解:原式=C x x++5ln 5414 17.求不定积分⎰-dx e x5.解:原式=C e x +--551五.应用题1.设一质点作直线运动,已知其加速度为t t a sin 3122-=,如果0=t 时3,500-==s v , 求（1）t v 与的函数关系；（2）t s 与的函数关系.解：32sin 3)(2sin 3)2cos 34()(2cos 34)(cos 34)sin 312()(43,04335,032-++=−−−→−+++=++=++=−−→−++=-=-====⎰⎰t t t t s c t t t dt t t t s t t t v C t t dt t t t v s t v t2.求经过点（0,0）,且切线斜率为x 2的曲线方程. 解：20,022x y C x xdx y y x =−−−→−+====⎰3.一物体由静止开始运动,t 秒末的速度是23t （米/秒）,问(1)在3秒末物体与出发点之间的距离是多少？(2)物体走完360米需多长时间？ 解：设运动方程为：30,032)(3)(t t S C t dt t t S S s t =−−→−+=====⎰（1）当3=t时，27)3(=S （米）（2）当.360360)(33秒=⇒==t t t S4.一曲线过原点且在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率等于3x ,求这曲线的方程. 解：40,0434141x y C x dx x y y x =−−−→−+====⎰ 5.已知物体由静止开始作直线运动,经过t 秒时的速度为180360-t （米/秒）,求3秒末物体离开出发点的距离. 解：t t t S C t tdt t S s t 180180)(180180180)-60t 3()(20,02-=−−→−+-====⎰.当3=t时，1080)3(=S （米）.6.求经过点)1,(e ,且切线斜率为x 1的曲线方程.解：x y C x dx xy y e x ln ln 11,=−−→−+====⎰.7.求经过点（0,0）,且切线斜率为211x+的曲线方程.解：x y C x dx x y y x arctan arctan 110,02=−−−→−+=+===⎰.第五章不定积分2一.单选题1.下列分部积分法中,dv u ,选择正确的是（A ）.A.⎰==xdxdv x u xdx x 2sin 2sin ，， B.xdxdv u xdx ln ,1,ln ==⎰C.dxx dv e u dx e x x x22,,==--⎰D.xdx dv e u dx xe xx==⎰,,2.⎰⎰-=)(2arctan d 2arctan Axd x x x x .A.x arctan2B.x arctan4C.x arctan2-D.x arctan4-3.=⎰2-4d x x (A).A.C x +2arcsinB.C x +arcsinC.Cx +2arccos D.C x +arccos二.判断题1.分部积分法u v uv v u d d ⎰-=⎰的关键是恰当的选择u 和v d ,使u v d ⎰应比v u d ⎰容易积分.（√）2.若被积函数中含有22a x ±,则可利用三角函数代换法化原积分为三角函数的积分.（√）三.填空题 1.Cx dx x ++=+⎰1211.2.设)(x f 有一原函数⎰+-='Cx dx x f x x x cos )(,sin 则.3.C x x x xdx x +-=⎰2241ln 21ln .4.)3(arcsin 31912x d xdx =-.5.Cx x e dx e x x x ++-=⎰)22(22.6.⎰++-=C x x x xdx x 3sin 913cos 313sin .四.计算题1.求不定积分⎰-dx x x232.解：原式=Cx x d x +--=---⎰2223231)32(321612.求不定积分⎰dxx ex22.解：原式=C x x e x ++-)21(2122 3.求不定积分⎰++dxx x 11.解：C x x C t t dt t t t x +--+=+-=-=+⎰1)1(3232)22(132232原式4.求不定积分⎰+)1(x x dx.解：cx C t dt t t x +=+=+=⎰arctan 2arctan 21222原式5.求不定积分⎰xdxx 2sin .解：原式=C x x x ++-2sin 412cos 21 6.求不定积分⎰+dx e x x 5)2(.解：原式=C x e x ++)59(515 7.求不定积分dxxex⎰-4.解：原式C x e x ++-=-)16141(48.求不定积分⎰++dxx 111.解：原式[]C x x +++-+=)11ln(129.求不定积分⎰+-dxx 1211.解：原式[]C x x +-+++=112ln12-10.求不定积分dxex⎰+11.解：原式=C e e xx +++-+1111ln11.求不定积分⎰xdxxln 2.解：原式C x x +-=)31(ln 313 12.求不定积分dx x x ⎰-1.解：原式C x x +---=)1arctan 1(213.求不定积分⎰---dxx x 22112.解：原式C x x +-=)(arcsin 214.求不定积分⎰dx a x x 2)1,0(≠>a a .解：原式C aa x a x a x++-=)ln 2ln 2ln (32215.求不定积分dxx⎰-2941.解：原式C x +=23arcsin 31 16.求不定积分dxx ⎰sin .解：原式C x x x ++=sin 2cos -217.求不定积分⎰xdx x 3cos .解：原式C x x x ++=3cos 913sin 31 18.求不定积分dxx x ⎰+2.解：原式C x x ++-+=2123)2(4)2(32五.应用题（增加题）第六章定积分一.单选题 1.)(240Ddx x =-⎰A.⎰⎰-+-4220)2()2(dxx dx x B.⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x C.⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x D.⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x2.=⎰a adx x f )((C)A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定 3.⎰⎰--=+1111)()(dx x f dx x f (C)A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定 4.定积分⎰badxx f )(是（D ）A.一个原函数B.()x f 的一个原函数C.一个函数族D.一个常数 5.定积分⎰badxx f )(的值的大小取决于(C)A.)(x fB.区间[]b a ,C.)(x f 和[]b a ,D.都不正确 6.定积分⎰badxx f )(的值的大小取决于(C)A.)(x fB.区间[]b a ,C.)(x f 和[]b a , Ｄ.无法确定 7.⎰⎰=-3234)()(dx x f dx x f (A)A.⎰42)(dxx f B.⎰24)(dxx f C.⎰43)(dxx f D.⎰32)(dxx f8.下列命题中正确的是（C ）（其中)(),(x g x f 均为连续函数） A.在[]b a ,上若)()(x g x f ≠则dxx g dx x f ba ba⎰⎰≠)()( B.⎰⎰≠babadtt f dx x f )()(C.若)()(x g x f ≠,则⎰⎰≠dxx g dx x f )()( D.⎰=badxx f dx x f d )()(9.=⎰dx x f dxd ba )((B) A.)(x f B.0 C.)(x f ' D.)(x F 10.若1)(=x f ,则⎰=badx x f )((C)A.1B.b a -C.a b -D.0 11.定积分⎰badxx f )(是（B ）A.任意的常数B.确定的常数C.)(x f 的一个原函数D.)(x f 的全体原函数 12.若⎰=+12)2(dx k x ,则=k (B)A.-1B.1C.1/2D.0 13.=-⎰dx x 5042(C)A.11B.12C.13D.14 二．判断题1.函数在某区间上连续是该函数在该区间上可定积分的必要条件.(×)2.a b dx ba -=⎰0.(×)3.⎰='badx x f 0))((.(×）4.x xdx dx d ba sin sin ⎰=.(×)三.填空题1.设)(x f '在[]b a ,上连续,则)()()(a f b f dx x f b a-='⎰.2.C dx xxx +=⋅⎰6ln 6321. 3.4111022π-=+⎰dx x x .4.ee dx x e x-=⎰2121.5.设⎰⎰==52515)(,3)(dx x f dx x f ,则2)(21-=⎰dx x f .6..0113=⎰-dx x .7.若)(x f 在[]b a ,上连续,且⎰=ba dx x f 0)(,则[]a b dx x f ba-=+⎰1)(.8.由曲线22+=x y ,直线3,1=-=x x 及x 轴围成曲边梯形的面积352)2(312=+=⎰-dx x A . 9..0sin 12=⎰dx x dx d .10.11ln4141=+-⎰-dx xx.11.1)1sin(212=⎰dx xx ππ. 12.32112=⎰-dx x .13.0cos 11⎰-=xdx x .14.利用定积分的几何意义填写定积分的值π41112=-⎰dx x . 15.22sin sin x dt t dx d x⎰=.16..0sin 222=⎰-xdx x .17..0113=⎰-dx x .18. 的值为积分.21ln 1⎰edx x x 19.2)253(22224⎰⎰=++-dx dx x x .20.11-=⎰e dx e x . 21.431=⎰-dx .22.⎰1212ln xdxx 的值的符号为负.四．计算题 1.求定积分．⎰+411xdx 解：原式)32ln 1(2+=2.求定积分⎰-124x dx.解：原式6arcsin 10π==x3.求定积分⎰-+-01)32)(1(dxx x .解：原式21-=4.求定积分dxx⎰--2121211解：原式3arcsin 2121π==-x5.求定积分⎰-+12511x dx 解：原式=2ln 54)511ln(5112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-x6.求定积分dx x ⎰+9411解：原式[])2ln 1(2)1ln(232+-=-+-=t t7.求定积分dxex⎰-1.解：原式eex1101-=-=- 8.求定积分dxx ⎰212解：原式3712313==x 9.求定积分θθπd ⎰402tan 解：原式[]4104tan ππθθ-=-=10.求定积分．dx xx ⎰+402sin 12sin π解：原式232ln 04)sin 1ln(=+=πx 11.求定积分dxx x ⎰-ππ23sin .解：原式=012.求定积分()dxxx ⎰--2121221arcsin .解：原式=324)(arcsin 31321213π=-x 13.求定积分dxx x ⎰+911.解：原式2ln 213)1ln(2=+=x14.求定积分dxex x⎰12.解：原式201)22(2-=+-=e x x ex15.求定积分⎰+104)1(x dx 解：原式24701)1(31-3=+=-x 16.求定积分dxxe x ⎰2.解：原式102)1(2+=-=e x ex17.求定积分⎰-1dxxe x .解：原式e x ex2101)1(--=+=-18.求定积分dx x ⎰⎪⎭⎫⎝⎛+πππ33sin .解：原式0)3cos(3=+-=πππx19.已知⎩⎨⎧≤<-≤≤=31,210,)(2x x x x x f ，计算⎰20)(dx x f .解：原式⎰⎰-=-+=2110261)2(dx x dx x 20.求定积分()dx x x +⎰194.解：原式627149)2132(223=+=x x21.求定积分⎰1arctan xdxx .解：原式=214)arctan arctan (21102-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-πx x x x22.求定积分⎰1arcsin xdx .解：原式1201)1arcsin (2-=-+=πx x x23.求定积分⎰262cos ππudu.解:原式836)2sin 21(2162-=+=πππu u 24.求定积分()dx x x x ⎰+2sin π.解:原式18sin cos 2122+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ππx x x x25.求定积分dx x x ⎰-121221.解:原式[]41cot sin 24πππ-=--=t t t x26.求定积分dx x x 1sin 1212⎰ππ.解:原式11cos12==ππx27.求定积分dx x ⎰+11210.解:原式10ln 4950110ln 21012==+x 28.求定积分xdxx ⎰23cos sin π解:原式410cos 41-24==πx29.求定积分⎰124dx x x .解:原式10ln 710ln 810=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x 30.求定积分dx x x e⎰-1ln 1.解:原式21ln 21ln 12=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ex x31.求定积分dxx x ⎰+31)1(1.解:原式[]6arctan 2312π==t t x32.求定积分xdxx cos sin 23⎰π.解:原式410sin 4124==πx33.求定积分⎰--1321dx x .解:原式[]5ln 2ln -13=-=-x34.求定积分dx x x x ⎰++21222)1(12解:原式4212arctan 1arctan 21π-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=x x 35.求定积分⎰+21ln 1e x x dx.解:原式[])13(2ln 1221-=+=e x36.求定积分dxe x x ⎰22.解:原式)1(21214202-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=e e x37.求定积分dxx ⎰20sin π.解:原式10cos 2=-=πx38.求定积分⎰++10)32)(1(dx x x .解:原式2112521032=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=x x x39.求定积分dttet ⎰-1022.解:原式212112---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=e e t 40.求定积分dx x x ⎰+102212.解:原式[]22)arctan (210π-=-=x x41.求定积分⎰πsin xdxx .解:原式[]ππ=+-=0sin cos xx x42.求定积分dx x xe⎰12ln .解:原式311ln 313==e x43.求定积分⎰2cos sin 3πxdxx .解:原式230sin 2322==πx44.求定积分()⎰ωπωω20sin 为常数tdt t 解:原式2022sin 1cos 12ωπωωωωωω-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t45.求定积分dxx ⎰230cos π.解:原式[][]3sin sin 23220=-=πππx x46.求定积分dxx ⎰--2221.解：原式43131231213113123=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=---x x x x x x47.求定积分⎰+331211dx x .解：原式[]6arctan 331π==x48.求定积分⎰+161 4x x dx .解：原式23ln 2)1ln(2142124+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=t t t t x五.应用题1.已知生产某产品x （百台）时,总收入R 的变化率x R -='8(万元/百台)，求产量从从1(百台)增加到3(百台)时,总收入的增加量.解：由已知x R -='8得总收入的增加量为：12218)8(R3131312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='=⎰⎰x x dx x dx R2.试描画出定积分⎰ππ2cos xdx所表示的图形面积,并计算其面积.解：[]1sin cos 22=-=-=⎰ππππx xdx S .(图形略)3.试描画出定积分⎰ππ2sin xdx 所表示的面积图形,并计算其面积.解：[]1cos sin 22=-==⎰ππππx xdx S .(图形略)4.计算曲线3x y =,直线3,2=-=x x 及x 轴所围成的曲边梯形面积.解:49741413402433023=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-=--⎰⎰x x dx x dx x S.(图形略) 5.计算抛物线24x y -=与x 轴所围成的图形面积. 解:24x y -=与x 轴的交点为(-2,0),(2,0)6.已知生产某产品x （百台）时,总成本C 的变化率为x C +='2（万元/百台）,求产量从1(百台)增加到3(百台)时总成本的增加量.解:.8212)2(31312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰x x dx x C7.计算函数x y sin 2=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的平均值.解:[]πππππ4cos 222sin 22020=-==⎰x xdxy8.计算函数x y cos 2=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的平均值.解:[]πππππ4sin 222cos 2202===⎰x xdxy第七章定积分的应用一.单选题1.变力使)(x f 物体由],[b a 内的任一闭区间]d ,[x x x +的左端点x 到右端点x x d +所做功的近似值为(C).A.)(x df -B.)(dx fC.dx x f )(D.dx x f )(- 2.一物体受连续的变力)(x F 作用,沿力的方向作直线运动,则物体从a x =运动到b x =,变力所做的功为(A).A.⎰b a x x F d )( B.⎰ab x x F d )( C.⎰-ab x x F d )( D.⎰-ba x x F d )(3.将曲线2x y =与x 轴和直线2=x 所围成的平面图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积可表示为=y V （C ）.A.dxx ⎰24π B.⎰4ydyπ C.()dyy ⎰-44π D.()dyy ⎰+44π二.判断题 1.定积分⎰badxx f )(反映在几何意义上是一块[a,b]上的面积.（╳）2.已知边际利润求总利润函数可用定积分方法.（√） 三.填空题 1.计算曲线x y sin =与曲线2π=x 及0=y 所围成的平面图形的面积可用定积分表示为⎰=2sin πdxA .2.抛物线3x y =与x 轴和直线2=x 围成的图形面积为⎰23dxx .3.由曲线2x y =与直线1=x 及x 轴所围成的平面图形,绕x 轴旋转所的旋转体的体积可用定积分表示为⎰=14dxx V x π.四.计算题1.求抛物线3x y =与x 轴和直线3=x 围成的图形面积.2.把抛物线ax y 42=及直线)0(>=b b x 所围成的图形绕x 轴旋转,计算所得旋转体的体积.3.一边长为a m 的正方形薄板垂直放入水中,使该薄板的上边距水面1m ,试求该薄板的一侧所受的水的压力（水的密度为33kg/m 10,g 取2m/s 10）.4.计算抛物线2x y =与直线轴和x x x 3,1=-=所围成的平面图形绕x 轴旋转所得到的旋转体体积.5.由22x y x y ==和所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积.6.求由曲线x y 1=与直线x y =及2=x 所围成的图形的面积.7.用定积分求由0,1,0,12===+=x x y x y 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.8.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.9.用定积分求底圆半径为r ，高为h 的圆锥体的体积.10.计算曲线3x y =和x y =所围成的图形面积.11.计算抛物线24x y -=与x 轴所围成的图形面积.12.求曲线2x y =与x y =所围成的图形的面积。
重庆大学高数(下)期末试题六(含答案) (自动保存的)
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:考试方式：考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 设函数),(y x f 在曲线弧L上有定义且连续,L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ (),t αβ≤≤其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数,且22()()0,t t ϕψ''+≠则曲线积分(,)().L f x y ds =⎰(A)⎰βαψϕdt t t f ))(),(( (B)⎰'+'αβψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22(C) ⎰αβψϕdt t t f ))(),(( (D) ⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22知识点：对弧长曲线积分公式；难度等级：1 答案: D2. 设级数∑∞=1n n a 为一交错级数,则().(A)该级数必收敛 (B)该级数必发散(C)该级数可能收敛,也可能发散(D)若0(),n a n →→∞则必收敛知识点：级数收敛的判断；难度等级：1 答案: C3. 下列方程中,设21,y y 是它的解,可以推知21y y +也是它的解的方程是().(A)0)()(=++'x q y x p y (B) 0)()(=+'+''y x q y x p y(C) ()()()y p x y q x y f x '''++= (D) ()()0y p x y q x '''++=知识点：线性微分方程的解的性质；难度等级：1答案 答案: B微答4. 设函数(,)F x y 可微,如果曲线积分(,)()C F x y xdx ydy +⎰与路径无关,则(,)F x y 应满足().(A)(,)(,)y x yF x y xF x y ''= (B)(,)(,)y x F x y F x y ''=命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密(C)(,)(,)yy xx yF x y xF x y ''''= (D)(,)(,)y x xF x y yF x y ''= 知识点:曲线积分与路径无关；难度等级:1；答案: D 分析: 由曲线积分与路径无关的条件,计算可得. 5. 设2222:,x y z R Ω++≤则⎰⎰⎰Ω+dxdydz y x )(22().=(A) 538R π (B) 534R π (C)5158R π (D) 51516R π 知识点:三重积分计算；难度等级:2；答案: C 6. 已知曲线)(x y y =经过原点且在原点处的切线与直线062=++y x平 行,而)(x y 满足微分方程250,y y y '''-+=则曲线的方程为=y().(A)x e x 2sin - (B) )2cos 2(sin x x e x -(C) )2sin 2(cos x x e x - (D)x e x 2sin知识点:二阶线性齐次微分方程的通解；难度等级:1；答案: A二、填空题(每小题3分,共18分)7. 设2,yzt xz u e dt =⎰则__________.uz ∂=∂知识点:多元函数的偏导数，变限函数求导；难度等级:1。
重庆大学高等数学教材答案
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重庆大学高等数学教材答案第一章：函数与极限1.1 函数与映射函数是数学中的重要概念之一。
在高等数学教材中，函数被定义为一个一一对应的关系，其中每个自变量对应唯一的一个因变量。
映射是函数的另一个称呼，用来描述函数的输入和输出之间的对应关系。
通过函数和映射的理论，我们可以深入理解数学中的变化规律和性质。
1.2 极限的概念极限是高等数学中的基础概念之一。
在定义中，我们说函数f当自变量趋于某个特定值时，对应的函数值趋于一个确定的常数L，则称函数f在该自变量趋于特定值的情况下有极限L。
通过研究函数的极限，我们可以了解函数的收敛性、趋势以及它们的性质。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义与性质导数是函数在某一点上的局部变化率，通过导数可以研究函数的变化趋势以及各点上的斜率。
在高等数学教材中，我们学习了导数的定义以及导数的一些性质，如导数与函数的连续性、导数的四则运算等。
2.2 微分的概念与应用微分是导数的一种形式，通过微分我们可以研究函数的变化率和函数在某一点上的线性逼近。
微分在实际问题中的应用非常广泛，例如在物理学中，通过微分可以描述物体的运动轨迹和速度变化。
第三章：定积分与不定积分3.1 定积分的概念与性质定积分是高等数学中的重要内容之一，它是对函数在一定区间上面积的度量。
通过定义和性质，我们可以计算函数在给定区间上的定积分，并将其应用于求解几何问题、物理问题等。
3.2 不定积分的计算与应用不定积分是定积分的一种逆运算，通过不定积分我们可以找到函数的原函数。
通过学习不定积分的计算方法，我们可以应用于求解一些特定问题，例如计算曲线的长度、求解微分方程等。
第四章：级数4.1 数列极限的概念与性质数列极限是研究函数序列收敛性的一个重要概念。
通过掌握数列极限的定义和性质，我们可以判断函数序列是否收敛，并了解函数序列的收敛趋势。
4.2 级数的概念与性质级数是数列的和的概念，通过级数我们可以了解数列的求和情况。
重庆大学出版社高等数学题库参考答案(5678)
第五章 不定积分1(直接积分法、换元积分法)一、单选题1.设)(x f 是可导函数,则⎰'))((dx x f 为（ A ）.A.)(x fB.C x f +)(C.)(x f 'D.C x f +')(2.函数)(x f 的（ B ）原函数,称为)(x f 的不定积分.A.任意一个B.所有C.唯一D.某一个 3.⎰=+=)(,2cos )(x f C x e dx x f x 则（ A ）.A.)2sin 22(cos x x e x -B.C x x e x +-)2sin 22(cosC.x e x 2cosD. x e x2sin4.函数x e x f =)(的不定积分是（ B ）.A.x eB.c e x +C.x lnD.c x +ln 5.函数x x f cos )(=的原函数是 （ A ）.A.c x +sinB.x cosC.x sin -D.c x +-cos 6.函数211)(xx f -=的原函数是（ A ）.A.c x x ++1 B.x x 1- C.32xD.c x x ++12 7.设x 2是)(x f 的一个原函数,则[]='⎰dx x f )(（ B ）A. x 2B.2C.2x D.-28.若ce dx e x x+=⎰, 则⎰xd ex22=（ A ）A.c ex+2 B.c e x + C.c e x +-2 D.c e x +-29.函数x x f sin )(=的原函数是（ D ）A.c x +sinB.x cosC.x sin -D.c x +-cos10.若)()()()()(x G x F x f x G x F '-'的原函数，则均为、=（ B ） A.)(x f B.0 C.)(x F D.)(x f ' 11.函数211)(x x f +=的原函数是（ A ） A.c xx +-1B.x x 1-C.32xD.c x x ++1212. 函数211)(xx f -=的原函数是（ A ）A.c xx ++1B.x x 1-C.32xD.c x x ++1213.若函数)(x f 、)(x g 在区间),(b a 内可导，且)()(x g x f '='，则（ B ） A.)()(x g x f = B.C x g x f +=)()(C.)()(x g x f ≠D. 不能确定)(x f 与)(x g 之间的关系 14.若)()(x f x F ='，则下列等式成立的是（ B ）. A.C x f dx x F +='⎰)()( B.⎰+=C x F dx x f )()( C.⎰+=C x f dx x F )()( D.C x F dx x f +='⎰)()( 15.经过点)1,0(-，且切线斜率为x 2的曲线方程是（ D ）.A.2x y =B. 2x y -=C. 12+=x yD. 12-=x y 二.填空题1.)25ln(2125x d x dx --=-.2.)1(212x d xdx --=.3.C aa dx a xx +=⎰ln .4.设)(x f 是连续函数，则dx x f dx x f d )()(=⎰.5.xx cos 2+的原函数是x x sin 2+.6.]4)3[(21)3(2---=-x d dx x .7.C x xdx +=⎰7sin 717cos .8.)1(ln 3133-=x x a d adx a .9.)3(cos 313sin x d xdx -=.10.C x dx x x +=⎰2ln 21ln .11.C x dx x +=⎰4341.12.)C 41(2222+-=--x x e ddx xe .13.C x xdx x +=⋅⎰2sin 21sin cos . 14.C x dx x +=+⎰3arctan 319112. 15.C x x dx x +-=⎰)sin (212sin 2.16.⎰+='C x f dx x f )2(21)2(.17.设⎰+=.)()(C x F dx x f ,若积分曲线通过原点，则常数)0(F C -=.18.)3(arctan 31912x d x dx=+. 19.)(2122x x e d dx xe =.20.已知xx f C x dx x f 2sin )(,sin )(2=+=⎰则.21.设)()()(21x f x F x F 是、的两个不同的原函数，且=-≠)()(,0)(21x F x F x f 则有 C .22.C x x dx x x +-=+-⎰222111 23.Ce dx e x xx +-=⎰1121.24.)1ln(21122-=-x d dx x x .25.若x x f sin )(的导函数是,则)(x f 的原函数为Cx +-sin .26.设)(3x f x 为的一个原函数，则dx x x df 23)(=.27.)2cos 41(812sin x d xdx -=28.x x sin 2+的一个原函数是x x cos 313-.29.)3(cos 33sin x d dx x -=.30.Cx xdx +-=⎰cos ln tan .31.()C x dx x +--=-⎰)21sin(2121cos .32.Cx xdx +=⎰tan sec 2. 33.C x xdx+-=⎰3cot 313sin2.34.设x 2是)(x f 的一个原函数，则⎰='])([dx x f 2 .三.判断题1.⎰+=cx xdx cos sin ( × ) 2.xxe dx e =⎰（ × ）3.⎰-=.cos sin x xdx ( × ) 4.⎰+-=cx xdx cos sin ( √ ) 5.)21sin()]21[sin(x dx x -=-⎰( × ) 6.⎰+-=cx xdx sin cos （ × ）四.计算题1.求不定积分dx x x ⎰+21. 解：原式=C x x d x ++=++⎰23222)1(31)1(1212.求不定积分dx x ⎰-31. 解: 原式=C x +--3ln3.求不定积分⎰+dx e e x x 1. 解：原式=C e e d ex x x ++=++⎰)1ln()1(11 4.求不定积分⎰+-dx x x x )3sin 21(. 解: 原式=C x x x +++ln 3cos 22 5.求不定积分⎰-dx xe x 2. 解: 原式=C e x +--221 6.求不定积分dx x x⎰+12. 解: 原式=C x ++)1ln(212 7.求不定积分dx x x⎰+2)72(. 解: 原式=C xx x ++⋅+7ln 24914ln 1422ln 24 8.求不定积分⎰+dx x 10)12(. 解: 原式=C x ++11)12(2219.求不定积分⎰+-dx xx x )1)(1(. 解: 原式=C x x x x x +-+-221522210.求不定积分⎰xdx 2sin . 解: 原式=C x x +-2sin 4121 11.求不定积分⎰dx x x 22cos sin 1. 解: 原式=C x x +-cot tan12.求不定积分dx x ⎰+321. 解: 原式=C x ++32ln 2113.求不定积分xdx xarctan 112⎰+. 解: 原式=C x +2)(arctan 21 14.求不定积分⎰-dx xx 4313. 解: 原式=C x +--41ln 43 15.求不定积分⎰+dx x 2411. 解: 原式=C x +2arctan 2116.求不定积分⎰+dx x x)5(3. 解: 原式=C x x++5ln 5414 17.求不定积分⎰-dx e x5. 解: 原式=C e x+--551五.应用题1.设一质点作直线运动,已知其加速度为t t a sin 3122-=,如果0=t 时3,500-==s v , 求（1）t v 与的函数关系； （2）t s 与的函数关系. 解：32sin 3)(2sin 3)2cos 34()(2cos 34)(cos 34)sin 312()(43,04335,032-++=−−−→−+++=++=++=−−→−++=-=-====⎰⎰t t t t s c t t t dt t t t s t t t v C t t dt t t t v s t v t2.求经过点（0,0）,且切线斜率为x 2的曲线方程.解：20,022x y C x xdx y y x =−−−→−+====⎰3.一物体由静止开始运动,t 秒末的速度是23t （米/秒）,问(1)在3秒末物体与出发点之间的距离是多少？ (2)物体走完360米需多长时间？解：设运动方程为：3,032)(3)(t t S C t dt t t S S s t =−−→−+=====⎰（1）当3=t 时，27)3(=S （米） （2）当.360360)(33秒=⇒==t t t S4.一曲线过原点且在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率等于3x ,求这曲线的方程. 解：40,0434141x y C x dx x y y x =−−−→−+====⎰ 5.已知物体由静止开始作直线运动,经过t 秒时的速度为180360-t （米/秒）,求3秒末物体离开出发点的距离.解： t t t S C t t dt t S s t 180180)(180180180)-60t 3()(2,02-=−−→−+-====⎰.当3=t 时，1080)3(=S （米）.6.求经过点)1,(e ,且切线斜率为x 1的曲线方程.解：x y C x dx xy y e x ln ln 11,=−−→−+====⎰. 7.求经过点（0,0）,且切线斜率为211x+的曲线方程.解：x y C x dx x y y x arctan arctan 110,02=−−−→−+=+===⎰.第五章 不定积分2一.单选题1.下列分部积分法中, dv u ,选择正确的是（ A ）. A.⎰==xdxdv x u xdx x 2sin 2sin ，， B.xdxdv u xdx ln ,1,ln ==⎰C.dxx dv e u dx e x x x22,,==--⎰D.xdxdv e u dx xe xx==⎰,,2.⎰⎰-=)(2arctan d 2arctan Axd x x x x .A.x arctan2B.x arctan4C.x arctan2-D.x arctan4- 3.=⎰2-4d xx ( A ).A.C x +2arcsinB.C x +arcsinC.C x+2arccos D.C x +arccos二.判断题1.分部积分法u v uv v u d d ⎰-=⎰的关键是恰当的选择u 和v d ,使u v d ⎰应比v u d ⎰容易积分.（ √ ）2.若被积函数中含有22a x ±,则可利用三角函数代换法化原积分为三角函数的积分.（ √ ）三.填空题1.Cx dx x ++=+⎰1211.2.设)(x f 有一原函数⎰+-='Cx dx x f x xx cos )(,sin 则.3.C x x x xdx x +-=⎰2241ln 21ln .4.)3(arcsin 31912x d xdx =-.5.Cx x e dx e x x x ++-=⎰)22(22.6.⎰++-=C x x x xdx x 3sin 913cos 313sin .四.计算题1.求不定积分⎰-dx x x232. 解：原式=Cx x d x +--=---⎰2223231)32(321612.求不定积分⎰dxxe x22. 解：原式=Cxxe x++-)21(21223.求不定积分⎰++dxxx11. 解：CxxCttdttttx+--+=+-=-=+⎰1)1(3232)22(132232原式4.求不定积分⎰+)1(xxdx. 解：cxCtdtttx+=+=+=⎰arctan2arctan21222原式5.求不定积分⎰xdxx2sin. 解：原式=Cxxx++-2sin412cos216.求不定积分⎰+dxex x5)2(. 解：原式=Cxe x++)59(5157.求不定积分dxxe x⎰-4. 解：原式Cxe x++-=-)16141(48. 求不定积分⎰++dxx111. 解：原式[]Cxx+++-+=)11ln(129.求不定积分⎰+-dxx1211. 解：原式[]Cxx+-+++=112ln12-10.求不定积分dxe x⎰+11. 解：原式=Ceexx+++-+1111ln11.求不定积分⎰xdxx ln2. 解：原式Cxx+-=)31(ln31312.求不定积分dxxx⎰-1. 解：原式Cxx+---=)1arctan1(213.求不定积分⎰---dxxx22112. 解：原式Cxx+-=)(arcsin214.求不定积分⎰dxax x2)1,0(≠>aa. 解：原式Caaxaxa x++-=)ln2ln2ln(32215.求不定积分dxx⎰-2941. 解：原式Cx+=23arcsin3116.求不定积分dxx⎰sin. 解：原式Cxxx++=sin2cos-217.求不定积分⎰xdxx 3cos . 解：原式C x x x ++=3cos 913sin 31 18.求不定积分dxx x ⎰+2. 解：原式C x x ++-+=2123)2(4)2(32五.应用题 （增加题）第六章 定积分一.单选题 1.)(240Ddx x =-⎰A.⎰⎰-+-4220)2()2(dxx dx x B.⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x C.⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x D.⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x2.=⎰a adx x f )(( C ) A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不能确定 3.⎰⎰--=+1111)()(dx x f dx x f ( C )A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定 4.定积分⎰badxx f )(是（ D ）A.一个原函数B.()x f 的一个原函数C.一个函数族D.一个常数 5.定积分⎰badxx f )(的值的大小取决于( C )A.)(x fB.区间 []b a ,C.)(x f 和[]b a ,D.都不正确 6.定积分⎰badxx f )(的值的大小取决于( C )A.)(x fB.区间 []b a ,C.)(x f 和[]b a , Ｄ.无法确定 7.⎰⎰=-3234)()(dx x f dx x f ( A )A.⎰42)(dxx f B.⎰24)(dxx f C.⎰43)(dxx f D.⎰32)(dxx f8.下列命题中正确的是（ C ）（其中)(),(x g x f 均为连续函数） A.在[]b a ,上若)()(x g x f ≠则dxx g dx x f ba ba⎰⎰≠)()( B.⎰⎰≠babadtt f dx x f )()( C.若)()(x g x f ≠,则⎰⎰≠dxx g dx x f )()( D.⎰=b adxx f dx x f d )()(9.=⎰dx x f dx dba)(( B )A.)(x fB.0C.)(x f 'D.)(x F 10. 若1)(=x f ,则⎰=ba dx x f )(( C )A.1B.b a -C. a b -D.0 11.定积分⎰badxx f )(是（ B ）A.任意的常数B.确定的常数C.)(x f 的一个原函数D.)(x f 的全体原函数 12.若⎰=+12)2(dx k x ,则=k ( B )A.-1B.1C.1/2D.0 13.=-⎰dx x 5042( C )A.11B.12C.13D.14二．判断题1.函数在某区间上连续是该函数在该区间上可定积分的必要条件. ( × )2.a b dx ba -=⎰0 . ( × )3.⎰='badx x f 0))(( . ( × ）4.x xdx dx d ba sin sin ⎰=. ( × )三.填空题1.设)(x f '在[]b a ,上连续,则)()()(a f b f dx x f b a-='⎰.2.C dx xxx +=⋅⎰6ln 6321. 3.4111022π-=+⎰dx x x .4.ee dx xe x-=⎰2121.5.设⎰⎰==52515)(,3)(dx x f dx x f ,则2)(21-=⎰dx x f .6..0113=⎰-dx x .7.若)(x f 在[]b a ,上连续,且⎰=ba dx x f 0)(,则[]ab dx x f ba-=+⎰1)(.8.由曲线22+=x y ,直线3,1=-=x x 及x 轴围成曲边梯形的面积352)2(312=+=⎰-dx x A . 9..0sin 12=⎰dx x dx d .10.11ln4141=+-⎰-dx xx.11.1)1sin(212=⎰dx xx ππ. 12.32112=⎰-dx x .13.0cos 11⎰-=xdx x .14.利用定积分的几何意义填写定积分的值π41112=-⎰dx x .15.202sin sin x dt t dx dx⎰=.16..0sin 222=⎰-xdx x .17..0113=⎰-dx x .18. 的值为积分.21ln 1⎰edx x x 19.2)253(22224⎰⎰=++-dx dx x x .20.11-=⎰e dx e x . 21.431=⎰-dx .22.⎰1212ln xdxx 的值的符号为 负 .四．计算题 1.求定积分．⎰+411xdx解：原式)32ln 1(2+= 2.求定积分⎰-124x dx. 解：原式6arcsin 10π==x3.求定积分⎰-+-01)32)(1(dxx x . 解：原式21-=4.求定积分dxx⎰--2121211 解：原式3arcsin 2121π==-x5.求定积分⎰-+12511x dx 解：原式=2ln 54)511ln(5112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-x6.求定积分dx x ⎰+9411解：原式[])2ln 1(2)1ln(232+-=-+-=t t 7.求定积分dxex⎰-1. 解：原式ee x1101-=-=- 8.求定积分dxx ⎰212 解：原式3712313==x9.求定积分θθπd ⎰402tan 解：原式[]4104tan ππθθ-=-=10.求定积分．dx xx ⎰+402sin 12sin π解：原式232ln 04)sin 1ln(=+=πx 11.求定积分dxx x ⎰-ππ23sin . 解：原式=012.求定积分()dxxx ⎰--2121221arcsin . 解：原式=324)(arcsin 3132113π=-x 13.求定积分dxx x ⎰+911. 解：原式2ln 213)1ln(2=+=x14.求定积分dx e x x⎰12. 解：原式201)22(2-=+-=e x x e x15.求定积分⎰+104)1(x dx 解：原式24701)1(31-3=+=-x 16.求定积分dxxe x ⎰2. 解：原式102)1(2+=-=e x e x17.求定积分⎰-1dxxe x . 解：原式ex e x2101)1(--=+=-18.求定积分dx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+πππ33sin . 解：原式0)3cos(3=+-=πππx19.已知⎩⎨⎧≤<-≤≤=31,210,)(2x x x x x f ，计算⎰20)(dx x f . 解：原式⎰⎰-=-+=211261)2(dx x dx x 20.求定积分()d x x x +⎰194. 解：原式627149)2132(223=+=x x21.求定积分⎰1arctan xdxx . 解：原式=214)arctan arctan (21102-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-πx x x x22.求定积分⎰10arcsin xdx . 解：原式1201)1arcsin (2-=-+=πx x x 23.求定积分⎰262cos ππudu . 解: 原式836)2sin 21(2162-=+=πππu u24.求定积分()dx x x x ⎰+2sin π. 解: 原式18sin cos 2122+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ππx x x x25.求定积分dx x x ⎰-121221. 解: 原式[]41cot sin 24πππ-=--=t t t x26.求定积分dxx x 1sin 1212⎰ππ. 解: 原式11cos12==ππx27.求定积分dxx ⎰+11210. 解: 原式10ln 4950110ln 21012==+x 28.求定积分xdxx ⎰23cos sin π解: 原式410cos 41-24==πx29.求定积分⎰1024dx x x . 解: 原式10ln 710ln 81=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x 30.求定积分dx x x e⎰-1ln 1. 解: 原式21ln 21ln 12=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ex x31.求定积分dxx x ⎰+31)1(1. 解: 原式[]6arctan 2312π==t t x32.求定积分xdxx cos sin 203⎰π. 解: 原式410sin 4124==πx33.求定积分⎰--1321dx x . 解: 原式[]5ln 2ln -13=-=-x34.求定积分dx x x x ⎰++21222)1(12 解: 原式4212arctan 1arctan 21π-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=x x 35.求定积分⎰+21ln 1e x x dx. 解: 原式[])13(2ln 1221-=+=ex36.求定积分dxe x x ⎰22. 解: 原式)1(21214202-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=e e x37.求定积分dxx ⎰2sin π. 解: 原式10cos 2=-=πx38.求定积分⎰++10)32)(1(dx x x . 解: 原式211252132=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=x x x39.求定积分dt tet ⎰-1022. 解: 原式212112---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=e e t40.求定积分dx x x ⎰+102212. 解: 原式[]22)arctan (210π-=-=x x41.求定积分⎰πsin xdxx . 解: 原式[]ππ=+-=0sin cos x x x42.求定积分dx x xe⎰12ln . 解: 原式311ln 313==e x43.求定积分⎰2cos sin 3πxdxx . 解: 原式230sin 2322==πx44.求定积分()⎰ωπωω20sin 为常数tdt t 解: 原式2022sin 1cos 12ωπωωωωωω-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t45.求定积分dxx ⎰230cos π. 解: 原式[][]3sin sin 23220=-=πππx x46.求定积分dxx ⎰--2221. 解：原式43131231213113123=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=---x x x x x x47.求定积分⎰+331211dx x . 解：原式[]6arctan 331π==x48.求定积分⎰+161 4xx dx . 解：原式23ln 2)1ln(2142124+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=t t t t x五.应用题1.已知生产某产品x （百台）时,总收入R 的变化率x R -='8 (万元/百台)，求产量从从1(百台)增加到3(百台)时,总收入的增加量. 解：由已知x R -='8得总收入的增加量为：12218)8(R 3131312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='=⎰⎰x x dx x dx R2.试描画出定积分⎰ππ2cos xdx所表示的图形面积,并计算其面积.解：[]1sin cos 22=-=-=⎰ππππx xdx S . (图形略)3.试描画出定积分⎰ππ2sin xdx 所表示的面积图形,并计算其面积.解：[]1cos sin 22=-==⎰ππππx xdx S . (图形略)4.计算曲线3x y =,直线3,2=-=x x 及x 轴所围成的曲边梯形面积.解:49741413402433023=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-=--⎰⎰x x dx x dx x S .(图形略)5.计算抛物线24x y -=与x 轴所围成的图形面积. 解: 24x y -=与x 轴的交点为(-2,0),(2,0)3323142)4(23222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰-x x dx x S6.已知生产某产品x （百台）时,总成本C 的变化率为x C +='2（万元/百台）,求产量从1(百台)增加到3(百台)时总成本的增加量. 解:.8212)2(31312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰x x dx x C7.计算函数x y sin 2=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的平均值.解:[]πππππ4cos 222sin 22020=-==⎰x xdxy8.计算函数x y cos 2=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的平均值.解:[]πππππ4sin 222cos 22020===⎰x xdxy第七章 定积分的应用一.单选题1.变力使)(x f 物体由],[b a 内的任一闭区间]d ,[x x x +的左端点x 到右端点x x d +所做功的近似值为( C ).A.)(x df -B.)(dx fC.dx x f )(D.dx x f )(-2.一物体受连续的变力)(x F 作用, 沿力的方向作直线运动,则物体从a x =运动到b x =, 变力所做的功为( A ). A.⎰b a x x F d )( B.⎰a b x x F d )( C.⎰-ab x x F d )( D.⎰-ba x x F d )(3.将曲线2x y =与x 轴和直线2=x 所围成的平面图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积可表示为=y V （ C ）.A.dx x ⎰204π B.⎰4ydyπ C.()dyy ⎰-44π D.()dyy ⎰+44π二.判断题 1.定积分⎰badxx f )(反映在几何意义上是一块[a,b]上的面积. （ ╳ ）2.已知边际利润求总利润函数可用定积分方法. （ √ ）三.填空题1.计算曲线x y sin =与曲线2π=x 及0=y 所围成的平面图形的面积可用定积分表示为⎰=2sin πdxA .2.抛物线3x y =与x 轴和直线2=x 围成的图形面积为⎰23dxx .3.由曲线2x y =与直线1=x 及x 轴所围成的平面图形,绕x 轴旋转所的旋转体的体积可用定积分表示为⎰=14dxx V x π.四.计算题1.求抛物线3x y =与x 轴和直线3=x 围成的图形面积.2.把抛物线ax y 42=及直线)0(>=b b x 所围成的图形绕x 轴旋转,计算所得旋转体的体积. 3.一边长为a m 的正方形薄板垂直放入水中,使该薄板的上边距水面1m ,试求该薄板的一侧所受的水的压力（水的密度为33kg/m 10, g 取2m/s 10）.4.计算抛物线2x y =与直线轴和x x x 3,1=-=所围成的平面图形绕x 轴旋转所得到的旋转体体积.5.由22x y x y ==和所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积.6.求由曲线x y 1=与直线x y =及2=x 所围成的图形的面积.7.用定积分求由0,1,0,12===+=x x y x y 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.8.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.9.用定积分求底圆半径为r ，高为h 的圆锥体的体积.10.计算曲线3x y =和x y =所围成的图形面积.11.计算抛物线24x y -=与x 轴所围成的图形面积.12.求曲线2x y =与x y =所围成的图形的面积。
高等数学1-2答题上传(作业) 重庆大学练习库及答案
1、函数，若在处连续，则＝______
正确答案是：0
2、设曲线过，且其上任意点的切线斜率为，则该曲线的方程是__________ 正确答案是：
3、设则 __________。
正确答案是：36
4、设,则______
正确答案是：
5、已知在区间上单调递减，则的单调递减区间是______ 。
正确答案是：
6、=______
正确答案是：1
四、计算题(共 2 题、0 / 16 分 )
1、利用基本积分公式及性质求积分。
正确答案是：原式=
2、求。
正确答案是：=ln 1-ln 2=-ln 2.
牛顿-莱布尼兹公式
1、验证拉格朗日定理对函数在区间[0，1]上的正确性.
正确答案是：
因为在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，满足拉格朗日定理的条件. 由得
解得，即存在使得拉格朗日定理的结论成立.
六、证明题(共 1 题、0 / 20 分 )
1、利用极限存在准则证明：。
正确答案是：∵
且，，由夹逼定理知
用夹逼准则。
高等数学重庆大学版教材答案
高等数学重庆大学版教材答案第一章：极限与连续1.1 极限的概念与性质1.2 极限存在准则及常用极限第二章：函数与导数2.1 函数的概念与性质2.2 一次函数与多项式函数2.3 指数函数与对数函数2.4 三角函数与反三角函数2.5 导数的概念及其几何意义第三章：微分学应用3.1 微分学中的中值定理3.2 泰勒公式与函数的凹凸性3.3 曲线的渐近线与曲率第四章：不定积分与定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 基本积分公式及其应用4.3 定积分的概念与性质4.4 定积分的计算方法第五章：常微分方程5.1 常微分方程的基本概念与解法5.2 一阶线性常微分方程5.3 高阶常系数线性微分方程第六章：多元函数微分学6.1 多元函数的概念与性质6.2 多元函数的偏导数6.3 多元函数的全微分与全导数第七章：多元函数积分学7.1 二重积分及其计算方法7.2 三重积分及其计算方法7.3 曲线与曲面的面积与曲线积分第八章：无穷级数与幂级数8.1 数项级数的概念与性质8.2 收敛级数判别法8.3 幂级数及其收敛半径第九章：向量代数与空间解析几何9.1 向量的概念与性质9.2 空间几何与平面方程第十章：连续性与一元函数微积分应用10.1 函数连续性与间断点10.2 一元函数微积分应用第十一章：二重积分与曲线积分应用11.1 二重积分应用11.2 曲线积分应用第十二章：无穷级数与多元函数微积分应用12.1 数项级数的应用12.2 多元函数微积分的应用总结：以上为高等数学重庆大学版教材的答案提纲。
希望这个提纲能够帮助你更好地学习和理解高等数学的知识。
在实际讲授过程中，还请参考教材详细内容和课堂教学，确保准确性和全面性。
祝你学习进步！。
高等数学考试题库(附答案)
《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 2．函数()00x f x a x ≠=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（ ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8．x x dxe e -+⎰的结果是（ ）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xeC -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++9．下列定积分为零的是（ ）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x xe e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（ ）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21xy x =-的垂直渐近线有条. 4．()21ln dxx x =+⎰.5．()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim xx x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dxx x ++⎰ ②()220dx a x a >-⎰ ③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1． 作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题 1．2- 2． ３． ２ ４．arctanln x c + ５．２ 三．计算题 １①2e ②162.11xy x y '=+- 3. ①11ln ||23x C x +++②ln ||x C + ③()1x e x C --++四．应用题１．略 ２．18S =《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()g x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ ）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭(B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2xy x e-=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ). (A) ()121x x e -(B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x . 3.函数211xy x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '. 3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰ ②()220dx a x a>+⎰③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=- 3.①3sec 3xc +②)ln x c + ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》试卷3（上）一、 填空题(每小题3分, 共24分)1.函数y =的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()xy f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321421sin 1x xdx x x -+-⎰=______________. 7. 20_______________________.x t d e dt dx -=⎰ 8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin x x e x →-;2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120x e dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解. 八、(7分)求微分方程x yy e x'+=满足初始条件()10y =的特解. 《高数》试卷3参考答案一．1．3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x +-=+--+++⎰⎰=221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy t t t y dx dx ππ=====且切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即 法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)x r r r iy e C x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y ee edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]x x e C x=-+ 由10,0y x C ==⇒=1xx y e x-∴=《高数》试卷4（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ ）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是（ ）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、 不存在 3、=--→211)1sin(limx x x （ ）.A 、1B 、 0C 、 21-D 、214、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（ ）.A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d =6、设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ ）. A 、2sin x B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x-7、⎰=+dx xx ln 2（ ）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C xx++-2ln 1 8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、⎰=+101dx e e xx（ ）. A 、21lne + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e + 10、微分方程 xe y y y 22=+'+'' 的一个特解为（ ）.A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 272=*二、填空题（每小题4分）1、设函数xxe y =，则 =''y ； 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ；4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ，最小值是 ；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim 0； 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分；4、求不定积分⎰++11x dx；5、求定积分⎰eedx x 1ln ； 6、解方程21xy xdx dy -=；四、应用题（每小题10分）1、 求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、xe x )2(+； 2、94 ； 3、0 ； 4、xe x C C y 221)(-+= ； 5、8，0三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212； 5、)12(2e - ； 6、C x y =-+2212 ； 四、1、38； 2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ ）.A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（ ）.A 、 x x cos lim 0→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、xx 2lim +∞→3、=+∞→xx xx )1(lim （ ）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ ）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （ ）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（ ）. A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a x x lnC 、⎰+=C x xdx sin cosD 、⎰++=C x xdx 211tan7、计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ ）.A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、设 a ﹥0，则=-⎰dx x a a22（ ）.A 、2a B 、22a πC 、241a 0 D 、241a π 10、方程（ ）是一阶线性微分方程. A 、0ln2=+'xyy x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2=-'+y y y x D 、0)6(2=-+'dy x y dx y x二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 xxe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ，最小值是 ；4、=⎰-113cos xdx x；5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21xx y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ；5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ；6、求方程y xy y x =+'2满足初始条件4)21(=y 的特解.四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.参考答案（B 卷）一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、xe x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、xxe C e C 221+.三、1、31 ； 2、1arccos 12---x xx ； 3、dx x x 221)1(1-- ；4、C x ++ln 22 ；5、)12(2e- ； 6、x e x y 122-= ；四、1、 29； 2、图略七年级英语期末考试质量分析一、试卷分析：本次试卷的难易程度定位在面向大多数学生。
重大高数II-I_期中-含答案
R2
sin
2
1 2
sin
S弓形
1 2
R2 (
sin) ，
当弧长趋于零时， 趋于零，于是，弓形面积与内接等腰三角形面积之比的
极限为
lim S弓形 S 0 △ ABC
1 R2 ( sin )
lim
0
2 R2 (sin
1
sin )
22
sin
lim
0
2 sin
sin
2
13
lim
0
1 x
(1 |
1
x |) x
lim
x0
a arctan
1 x
lim (1
x0
1
x) x
π 2
a
1 e
所以
重庆大学《高等数学 II-I》期中评分参考
第3页 共5页
解得 a 1 e2 . πe
πa1 πae， 2 e2
18. 已知 f (x) 是周期为 5 的连续函数，它在 x 0 的某个邻域内满足关系式
D
B
形. 当 R 不变，弓形的弧长趋于零时，求弓
形面积与内接三角形面积之比的极限，并
α
利用所得结果推出弓形面积的近似公式：
O
附： sin 1 3 ( 0) 6
S 2 bh . 3
【解】 如图所示， AB b, CD h, AOB ，则△ABC 的面积为
弓形的面积
S△ ABC
1 bh 2
x 0, x 1,
0,
x 0, x 1
指出 f (x) 的间断点，并说明间断点的类型.
【解】 间断点为 x 0, x 1，因为
f
(0 )
lim
重庆大学高数(下)期末试题二(含答案)
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 —20 学年第学期开课学院: 数统学院课程号: 考试日期:考试方式：开卷闭卷 其他考试时间: 120 分题号一二三四五六七八九十总分得分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 设向量a与三轴正向夹角依次为,,,αβγ则当cos0β=时有().(A) a⊥xoy面(B) a//xoz面(C) a⊥yoz面(D) a xoz⊥面知识点:向量与坐标的位置关系,难度等级:1.答案: (B)分析:cos0,β=,2πβ=a垂直于y轴,a//xoz面.2. 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为212323,y C C x C x=++其中123,,C C C为独立的任意常数,则该方程为().(A)0y y'''+=(B) 30yy'''+'=(C)0y y'''-=(D) 0y'''=知识点:通过微分方程的通解求微分方程,难度等级:2.答案: (D)分析:由通解中的三个独立解21,,x x知,方程对应的特征方程的特征根为1230.λλλ===因此对应的特征方程是30.λ=于是对应的微分方程应是0.y'''=故应选(D).3. 设D由14122≤+≤yx确定.若1221,DI dx yσ=+⎰⎰222(),DI x y dσ=+⎰⎰223ln(),DI x y dσ=+⎰⎰则1,I2,I3I之间的大小顺序为().(A)321III<<(B)231III<<(C)132III<<(D)123III<<知识点:二重积分比较大小,难度等级:1.答案:(D)分析:积分区域D由22114x y≤+≤确定.在D内,2222221ln(),x y x yx y+<+<+故321.I I I<<只有D符合.4．设曲线L是由(,0)A a到(0,0)O的上半圆周22,x y ax+=则曲线积分命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试;2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍.(sin )(cos )().xx Ley my dx e y m dy -+-=⎰(A)0 (B)22m a π (C)28m a π (D)24m a π知识点:对坐标的曲线积分,格林公式,难度等级:2. 答案:(B)分析:补充直线段1:0(:0),L y x a =→则1L L +为封闭曲线在上使用格林公式可得12,2L L Dm mdxdy a π+==⎰⎰⎰而10.L =⎰选B.5. 已知向量23,a m n =+则垂直于a 且同时垂直于y 轴的单位向量().e =(A))i j k ++ (B))i j k -+ (C))2i k ±- (D)()2i k ±+知识点:向量垂直,单位向量,难度等级:1. 答案:(C) 分析:向量111010i j ki k =-+垂直于a 且同时垂直于y 轴,其模为6. 设∑为球面2222,x y z R ++=则22()().84x y I dS ∑=+=⎰⎰(A)24R π (B)545R π (C)24R π (D)R π4知识点:对面积的曲面积分,对称性,难度等级:2. 答案:(C)分析: 由于积分曲面关于三个坐标面对称,且满足轮换,故有2222224114()4.333x dS x y z dS R R R ππ∑∑=++=⋅=⎰⎰⎰⎰利用上述结论所求I 为23.8x dS ∑⎰⎰故选C.二、填空题(每小题3分,共18分)7. 幂级数21!n nn n x n ∞=∑的收敛半径为__________.知识点:幂级数收敛半径,难度等级:1. 答案分析:1`22222(1)(1)(1)!lim lim 1!n n n n n n n n n xn n x ex x n n x n ++→∞→∞+++==<⇒< 8. 由原点向平面引垂线,垂足的坐标是),,(c b a ,此平面的方程为__________.知识点:平面方程,难度等级:1.答案:23120.x y z -+-=分析:该平面的法向量为22350,x y z -+-=且过点22350,x y z -+-=则其平面的方程23120.x y z -+-=9. 设L 为椭圆221,34x y +=其周长记为,a 则求22(243)Lxy x y ds ++⎰__________.=知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1. 答案:12.a10. 设区域D 为222,x y R +≤则()DR y dxdy +⎰⎰__________.=知识点:二重积分的计算,对称性,难度等级:2. 答案:3.R π分析:所求几何体为一圆柱体被一平面劈开剩下部分,由几何形状知其为圆柱体体积一半,可得结果.或直接由被积函数奇偶分开,及积分区域对称立得. 11.3222(2cos )(12sin 3)__________,Lxy y x dx y x x y dy -+-+=⎰其中为抛物线22x y π=上由到的一段弧.知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,难度等级:2答案:2.4π解: 322cos ,P xy y x =-2212sin 3,Q y x x y =-+262cos .Q P xy y x x y∂∂⇒=-=∂∂ 3222(2cos )(12sin 3)L xy y x dx y x x y dy ⇒-+-+⎰与积分路径无关.⇒取L 为由(0,0),(,0),(,1)22ππ组成的折线,则2132222203(2cos )(12sin 3)0(12).44L xy y x dx y x x y dy y y dy ππ-+-+=+-+=⎰⎰12. 设∑为曲面2221x y z ++=的外侧,则333I x dydz y dzdx z dxdy∑=++⎰⎰__________.=知识点:对坐标的曲面积分,球坐标,难度等级:3. 答案:12.5π分析: 由高斯公式,2122240123()3sin .5I x y z dV d d r dr ππθϕϕΩ=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 求初值问题2(2)|1x ydy x y dxy ==+⎧⎨=⎩的解.知识点:齐次微分方程的初值问题,求解,难度等级:1. 分析:所给方程为齐次微分方程,作代换yu x=化为可分离变量的微分方程. 解:将方程改写为2.dy x y dx y+= 这是齐次方程.令,y xu =则.dy du u x dx dx=+ 代入上式得L (0,0))1,2(π21.du u xdx u+=+ 这是变量分离方程,且有(2)1(2).22y u ==积分得21ln |2|ln |1|0.33x u u C +-+++= 代入初值可解得32ln .2C =--故原方程的特解为213ln |2|ln |1|2ln 0.332y y x x x +-++--=14. 求级数11(4)!n n ∞=∑的和. 知识点:级数和,难度等级:3分析:利用级数之和,幂级数的逐项求导解: 0,.!nx n x e x R n ∞==∈∑(1),.!n nx n x e x R n ∞-=-⇒=∈∑20,.(2)!2n x xn x e e x R n -∞=+⇒=∈∑又 20(1)cos ,.(2)!n nn x x x R n ∞=-=∈∑ 40cos 2,.(4)!2x xn n e e x x x R n -∞=++⇒=∈∑ 111cos112.(4)!2n e e n -∞=++⇒=∑ 15. 计算222()L ydx xdy x y -+⎰,其中L 为圆周22(1)2,x y -+=L 的方向为逆时针方向.知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,取特殊路径;难度等级:3.分析:先注意积分与路径无关,后根据分母特点取特殊路径积分.解:当(,)(0,0)x y ≠时,22222.2()P x y Qy x y x∂-∂==∂+∂作小圆222:,C x y ε+=取逆时针方向,则222222222112.2()2()22L C Cx y ydx xdy ydx xdy ydx xdy dxdy x y x y επεε+≤--==-=-=-++⎰⎰⎰⎰⎰16. 求力(,,)F y z x =沿有向闭曲线L 所作的功,其中L 为平面1x y z ++=被三个坐标面所截成的三角形的整个边界,从z 轴正向看去,顺时针方向.知识点:变力没曲线作功,难度等级:2.分析: 曲线积分的边界已为闭,用斯克斯公式,或化为平面曲线积分用格林公式.解: 用斯托克斯公式,取∑为平面1x y z ++=的下侧被L 所围的部分,∑1,1,1).--- 力F 所做的功为LW ydx zdy xdz =++⎰x y y z ∑---=∂∂∂∂⎰⎰3.2===⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．设(),u yxf z =其中()f z 二阶可导,(,)z z x y =由方程2ln 10x y z +-+=所确定,求22.ux∂∂知识点:方程组的二阶偏导数,难度等级:2. 分析:()u yxf z =对x 求二阶偏导数得22,ux ∂∂但其中会包含z 对x 的二阶偏导数22zx ∂∂.2ln 10x y z +-+=两边对x两次求偏导数,可求出22zx∂∂.解:()(),u z yf z xyf z x x∂∂'=+∂∂ 222222()()()(),u z z zyf z xyf z xyf z x x x x∂∂∂∂''''=++∂∂∂∂221,1,z z x zz zz x x∂==∂∂∂==∂∂2222()()().uyzf z xyz f z xyzf z x∂''''=++∂ 18. 计算曲面积分323232()()(),x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =.知识点:高斯公式,球面坐标,极坐标,难度等级3. 分析: 补充辅助面用高斯公式,再用球面坐标.解: 设222:,0x y a S z ⎧+≤⎨=⎩取下侧,则∑与S 围成的区域为,ΩS 在xoy 面的投影区域为.D 于是323232()()()SI x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+=+++++⎰⎰323232()()()Sx az dydz y ax dzdx z ay dxdy -+++++⎰⎰22223()Dx y z dv ay dxdy Ω=+++⎰⎰⎰⎰⎰222222203sin sin a a d d r r dr a d r rdr πππθϕϕθθ=⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰555615429.20a a a πππ=+=五、 证明题(每小题6分,共12分)19. 证明:()()0()()().ay am a x m a x dy e f x dx a x e f x dx --=-⎰⎰⎰知识点:二重积分交换积分次序,难度等级:1分析: 将二次积分化为定积分,注意到被积函数不含变量,y 先对y 积分,故将积分区域D 由y 型区域化为x 型区域计算可得证明结果证明: 积分区域为,0,{()0|},D x y y a x y =≤≤≤≤并且D 又可表示为,0,{(}.)|D x y x a x y a =≤≤≤≤ 所以()()()0()()()().ay a a am a x m a x m a x xdy e f x dx dx e f x dy a x e f x dx ---==-⎰⎰⎰⎰⎰20. 设在半平面0x >内有力3()kF xi yj ρ=-+构成力场,其中k 为常数,ρ=证明:在此力场中场力所作的功与所取路径无关. 知识点:变力沿曲线作功,难度等级:1 分析: 验证积分与路径无关. 证明 场力所作的功2232,()Lxdx ydyW k x y +=-+⎰其中L 为力场内任一闭曲线段.223222523;()()Q y xyx x x y x y ⎡⎤∂∂==-⎢⎥∂∂++⎣⎦ 223222523.()()P x xy y y x y x y ⎡⎤∂∂==-⎢⎥∂∂++⎣⎦ 可见,,P Qy x∂∂=∂∂且,P Q 在半平面0x >内有连续偏导数,所以0.W =即场力作用与路径无关.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 已知年复利为0.05,现存a 万元,第一年取出19万元,第二年取出28万元,…,第n 年取出109n +万元,问a 至少为多少时,可以一直取下去？知识点:幂级数的和函数,难度等级:2解:设n A 为用于第n 年提取(109)n +万元的贴现值,则(1)(109).n n A r n -=++ 故1111110919102009.(1)(1)(1)(1)n n n n nn n n n n n n nA A r r r r ∞∞∞∞∞=====+===+=+++++∑∑∑∑∑设1(),(1,1),n n S x nx x ∞==∈-∑ 则21()()(),(1,1).1(1)n n x x S x x x x x x x ∞=''===∈---∑所以11()()4201 1.05S S r ==+万元,故20094203980A =+⨯=万元,即至少应存入3980万元.22．按照牛顿冷却定律:物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比.已知空气温度为30,︒物体在15分钟内从100︒冷却到70︒时,求物体冷却到40︒时所需要的时间？知识点:微分方程数学模型,难度等级:2分析:根据冷却定律建立微分方程初值问题并求解. 解:设在时间t 时,物体的温度为.T C ︒ 根据冷却定律列出方程(30).dTk T dt=-- 分离变量,并积分得,30dTkdt T =-- ln(30)ln .T kt c -=-+故有0.3kt T ce -=+由初始条件:015|100,|70.t t T T ==== 代入可解得1770,ln ,154c k ==即有 17(ln )154.3070t T e-=+当40T =时,由上式可解得15ln 7527ln 4t ==(分).。
高等数学重大版教材答案
高等数学重大版教材答案**注意：本文仅提供高等数学重大版教材答案，不含任何解题思路和详细解释。
**第一章：函数与极限1.1 函数概念及表示法1.2 映射与初等函数1.3 函数的极限与连续第二章：导数与微分2.1 导数的概念2.2 基本微分法与常见初等函数的导数2.3 高阶导数与隐函数及参数方程的导数2.4 微分中值定理与导数的应用第三章：不定积分3.1 不定积分的概念与性质3.2 基本积分公式与常用积分法3.3 有理函数的积分法3.4 特殊函数的积分法第四章：定积分4.1 定积分的概念与性质4.2 牛顿-莱布尼茨公式4.3 定积分的计算方法4.4 定积分的应用第五章：定积分的应用5.1 几何应用5.2 物理应用5.3 统计应用第六章：多元函数微分学6.1 二元函数及其表示6.2 偏导数与全微分6.3 隐函数及参数方程的偏导数6.4 多元函数的极值与最值第七章：多元函数积分学7.1 二重积分的概念与性质7.2 二重积分的计算方法7.3 三重积分的概念与性质7.4 三重积分的计算方法第八章：无穷级数8.1 无穷数列8.2 无穷级数8.3 幂级数8.4 函数项级数第九章：常微分方程9.1 一阶微分方程9.2 高阶微分方程9.3 变量可分离的方程9.4 齐次方程第十章：向量代数与空间解析几何10.1 向量的表示与运算10.2 空间直线与平面的方程10.3 空间曲线与曲面的方程10.4 空间曲线与曲面的切线与法线第十一章：多元函数积分学的应用11.1 二重积分的应用11.2 三重积分的应用第十二章：常系数线性微分方程12.1 齐次线性微分方程12.2 非齐次线性微分方程12.3 常系数高阶线性微分方程第十三章：傅里叶级数13.1 傅里叶级数的定义与性质13.2 傅里叶级数的计算13.3 奇偶函数的傅里叶级数13.4 周期函数的傅里叶级数第十四章：拉普拉斯变换14.1 拉普拉斯变换的定义与性质14.2 拉普拉斯变换的计算14.3 拉普拉斯逆变换与初值问题14.4 拉普拉斯变换的应用第十五章：曲线积分与曲面积分15.1 曲线积分15.2 曲面积分第十六章：无穷级数的收敛与发散16.1 正项级数与一般级数16.2 收敛级数的性质16.3 判别级数敛散的方法总结- 文章连接思路清晰，按照教材章节顺序排布，每章标题精确对应教材内容。
重大高等数学上教材答案
重大高等数学上教材答案在高等数学教学中，教材答案是学生们学习和掌握数学知识的一种重要辅助工具。
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第一章：函数及其图像1.1 函数的概念题目1：判断下列是否为函数解答：a) 是函数，因为一个自变量x只对应一个唯一的函数值y。
b) 不是函数，因为一个自变量x对应两个函数值y1和y2。
...第二章：极限与连续2.1 极限的定义题目1：计算极限解答：a) 当x趋于0时，sinx/x的极限是1。
b) 当x趋于正无穷时，e^x/x的极限是正无穷。
...2.2 连续的概念题目2：判断函数在指定点是否连续解答：a) 函数在x=2处连续。
b) 函数在x=0处不连续，因为左极限不等于右极限。
...第三章：导数与微分3.1 导数的概念题目1：求函数的导数解答：a) f(x)的导数为f'(x)=2x。
b) g(x)的导数为g'(x)=3cosx。
...3.2 导数的运算法则题目2：利用导数的运算法则，求函数的导数解答：a) h(x)=3x^2，则h'(x)=6x。
b) f(x)=sinx+2x^3，则f'(x)=cosx+6x^2。
...第四章：定积分4.1 定积分的概念题目1：计算定积分解答：a) ∫[0,1] (2x+1)dx = 2∫[0,1] xdx + ∫[0,1] dx = 2(1/2) + 1 = 2。
b) ∫[-π,π] sinx dx = 0。
...4.2 定积分的计算方法题目2：利用定积分的计算方法，计算定积分解答：a) ∫[0,1] x^2 dx = 1/3。
b) ∫[1,2] (x^3+2x-1) dx = (1/4)x^4 + x^2 - x ∣[1,2] = (1/4)2^4 + 2^2 - 2 - ((1/4)1^4 + 1^2 - 1) = 5.5。
重大高数期末试题及答案
重大高数期末试题及答案第一章：微分学1. 求函数$f(x)=3x^2-2x+5$的导数。
解答：对于函数$f(x)=3x^2-2x+5$，利用导数的定义可以求得其导数为$f'(x)=6x-2$。
2. 计算曲线$y=e^x$在点$(0,1)$处的切线方程。
解答：首先求得曲线$y=e^x$的导数为$y'=e^x$。
然后通过点斜式切线方程的公式$y-y_1=y'(x-x_1)$，代入点$(0,1)$和导数$y'=e^x$，可得切线方程为$y-1=e^x(x-0)$。
第二章：积分学1. 计算定积分$\int_0^1 (2x^3-3x^2+4x-1)dx$。
解答：对于多项式函数$2x^3-3x^2+4x-1$，我们可以按照幂次递减的顺序进行积分。
首先对$x^3$进行积分可得$\frac{1}{4}x^4$，对$x^2$进行积分可得$\frac{1}{3}x^3$，对$x$进行积分可得$2x$，对常数$-1$进行积分可得$-x$。
将这些结果依次代入积分的上下限进行计算，最终得到定积分的结果为$\int_0^1 (2x^3-3x^2+4x-1)dx=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+2-1=\frac{5}{12}$。
2. 求解微分方程$\frac{dy}{dx}=2x$，其中$y(0)=3$。
解答：对于微分方程$\frac{dy}{dx}=2x$，我们可以通过直接积分的方法求解。
对方程两边同时进行积分可得$y=x^2+C$，其中$C$为常数。
由于已知$y(0)=3$，代入初始条件可得$3=0^2+C$，解得$C=3$。
于是原微分方程的解为$y=x^2+3$。
第三章：级数1. 判断级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$的收敛性。
解答：对于级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$，我们可以利用比较判别法来判断其收敛性。
重庆大学出版社高等数学题库参考答案(供参考)
第五章 不定积分1(直接积分法、换元积分法)一、单选题1.设)(x f 是可导函数,则⎰'))((dx x f 为（ A ）.A.)(x fB.C x f +)(C.)(x f 'D.C x f +')(2.函数)(x f 的（ B ）原函数,称为)(x f 的不定积分.A.任意一个B.所有C.唯一D.某一个 3.⎰=+=)(,2cos )(x f C x e dx x f x则（ A ）.A.)2sin 22(cos x x e x -B.C x x e x +-)2sin 22(cosC.x e x 2cosD. x e x2sin4.函数x e x f =)(的不定积分是（ B ）.A.x eB.c e x +C.x lnD.c x +ln 5.函数x x f cos )(=的原函数是 （ A ）.A.c x +sinB.x cosC.x sin -D.c x +-cos 6.函数211)(xx f -=的原函数是（ A ）.A.c x x ++1 B.x x 1- C.32xD.c x x ++12 7.设x 2是)(x f 的一个原函数,则[]='⎰dx x f )(（ B ）A. x 2B.2C.2x D.-2 8.若c e dx e x x +=⎰, 则⎰xd e x22=（ A ）A.c ex+2 B.c e x + C.c e x +-2 D.c e x +-29.函数x x f sin )(=的原函数是（ D ）A.c x +sinB.x cosC.x sin -D.c x +-cos 10.若)()()()()(x G x F x f x G x F '-'的原函数，则均为、=（ B ）A.)(x fB.0C.)(x FD.)(x f ' 11.函数211)(xx f +=的原函数是（ A ） A.c xx +-1B.x x 1-C.32xD.c x x ++1212. 函数211)(xx f -=的原函数是（ A ） A.c xx ++1B.x x 1-C.32xD.c x x ++1213.若函数)(x f 、)(x g 在区间),(b a 内可导，且)()(x g x f '='，则（ B ） A.)()(x g x f = B.C x g x f +=)()(C.)()(x g x f ≠D. 不能确定)(x f 与)(x g 之间的关系 14.若)()(x f x F ='，则下列等式成立的是（ B ）. A.C x f dx x F +='⎰)()( B.⎰+=C x F dx x f )()( C.⎰+=C x f dx x F )()( D.C x F dx x f +='⎰)()( 15.经过点)1,0(-，且切线斜率为x 2的曲线方程是（ D ）.A.2x y =B. 2x y -=C. 12+=x yD. 12-=x y 二.填空题1.)25ln(2125x d x dx --=-.2.)1(212x d xdx --=.3.C aa dx a xx+=⎰ln .4.设)(x f 是连续函数，则dx x f dx x f d )()(=⎰.5.xx cos 2+的原函数是x x sin 2+.6.]4)3[(21)3(2---=-x d dx x .7.C x xdx +=⎰7sin 717cos .8.)1(ln 3133-=x x a d adx a .9.)3(cos 313sin x d xdx -=.10.C x dx x x +=⎰2ln 21ln .11.C x dx x +=⎰4341.12.)C 41(2222+-=--x x e ddx xe .13.C x xdx x +=⋅⎰2sin 21sin cos . 14.C x dx x +=+⎰3arctan 319112.15.C x x dx x +-=⎰)sin (212sin 2. 16.⎰+='C x f dx x f )2(21)2(.17.设⎰+=.)()(C x F dx x f ,若积分曲线通过原点，则常数)0(F C -=.18.)3(arctan 31912x d x dx=+. 19.)(2122x x e d dx xe =.20.已知xx f C x dx x f 2sin )(,sin )(2=+=⎰则.21.设)()()(21x f x F x F 是、的两个不同的原函数，且=-≠)()(,0)(21x F x F x f 则有 C .22.C x x dx x x +-=+-⎰222111 23.Ce dx e xxx +-=⎰1121.24.)1ln(21122-=-x d dx x x .25.若x x f sin )(的导函数是,则)(x f 的原函数为Cx +-sin .26.设)(3x f x 为的一个原函数，则dxx x df 23)(=.27.)2cos 41(812sin x d xdx -=28.x x sin 2+的一个原函数是x x cos 313-.29.)3(cos 33sin x d dx x -=.30.Cx xdx +-=⎰cos ln tan .31.()C x dx x +--=-⎰)21sin(2121cos .32.Cx xdx +=⎰tan sec 2. 33.C x x dx +-=⎰3cot 313sin 2.34.设x 2是)(x f 的一个原函数，则⎰='])([dx x f 2 . 三.判断题 1.⎰+=cx xdx cos sin ( × ) 2.xx edx e =⎰（ × ）3.⎰-=.cos sin x xdx ( × ) 4.⎰+-=cx xdx cos sin ( √ ) 5.)21sin()]21[sin(x dx x -=-⎰( × ) 6.⎰+-=cx xdx sin cos （ × ）四.计算题1.求不定积分dx x x ⎰+21. 解：原式=C x x d x ++=++⎰23222)1(31)1(1212.求不定积分dx x ⎰-31. 解: 原式=C x +--3ln3.求不定积分⎰+dx e e x x 1. 解：原式=C e e d exx x++=++⎰)1ln()1(11 4.求不定积分⎰+-dx xx x)3sin 21(. 解: 原式=C x x x +++ln 3cos 22 5.求不定积分⎰-dx xe x 2. 解: 原式=C e x +--2216.求不定积分dx x x⎰+12. 解: 原式=C x ++)1ln(2127.求不定积分dx x x ⎰+2)72(. 解: 原式=C x x x ++⋅+7ln 24914ln 1422ln 24 8.求不定积分⎰+dx x 10)12(. 解: 原式=C x ++11)12(2219.求不定积分⎰+-dx xx x )1)(1(. 解: 原式=C x x x x x +-+-221522210.求不定积分⎰xdx 2sin . 解: 原式=C x x +-2sin 4121 11.求不定积分⎰dx xx 22cos sin1. 解: 原式=C x x +-cot tan 12.求不定积分dx x ⎰+321. 解: 原式=C x ++32ln2113.求不定积分xdx xarctan 112⎰+. 解: 原式=C x +2)(arctan 21 14.求不定积分⎰-dx x x 4313. 解: 原式=C x +--41ln 43 15.求不定积分⎰+dx x 2411. 解: 原式=C x +2arctan 21 16.求不定积分⎰+dx x x)5(3. 解: 原式=C x x++5ln 5414 17.求不定积分⎰-dx e x 5. 解: 原式=C e x+--551五.应用题1.设一质点作直线运动,已知其加速度为t t a sin 3122-=,如果0=t 时3,500-==s v , 求（1）t v 与的函数关系； （2）t s 与的函数关系. 解：32sin 3)(2sin 3)2cos 34()(2cos 34)(cos 34)sin 312()(43,04335,032-++=−−−→−+++=++=++=−−→−++=-=-====⎰⎰t t t t s c t t t dt t t t s t t t v C t t dt t t t v s t v t2.求经过点（0,0）,且切线斜率为x 2的曲线方程.解：20,022x y C x xdx y y x =−−−→−+====⎰3.一物体由静止开始运动,t 秒末的速度是23t （米/秒）,问(1)在3秒末物体与出发点之间的距离是多少？ (2)物体走完360米需多长时间？解：设运动方程为：30,032)(3)(t t S C t dt t t S S s t =−−→−+=====⎰（1）当3=t 时，27)3(=S （米）（2）当.360360)(33秒=⇒==t t t S4.一曲线过原点且在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率等于3x ,求这曲线的方程. 解：40,0434141x y C x dx x y y x =−−−→−+====⎰ 5.已知物体由静止开始作直线运动,经过t 秒时的速度为180360-t （米/秒）,求3秒末物体离开出发点的距离.解： t t t S C t t dt t S s t 180180)(180180180)-60t 3()(20,02-=−−→−+-====⎰.当3=t 时，1080)3(=S （米）.6.求经过点)1,(e ,且切线斜率为x 1的曲线方程.解：x y C x dx xy y e x ln ln 11,=−−→−+====⎰. 7.求经过点（0,0）,且切线斜率为211x+的曲线方程.解：x y C x dx x y y x arctan arctan 110,02=−−−→−+=+===⎰. 第五章 不定积分2一.单选题1.下列分部积分法中, dv u ,选择正确的是（ A ）. A.⎰==xdxdv x u xdx x 2sin 2sin ，， B.xdxdv u xdx ln ,1,ln ==⎰C.dxx dv e u dx e x x x22,,==--⎰D.xdxdv e u dx xe xx==⎰,,2.⎰⎰-=)(2arctan d 2arctan Axd x x x x .A.x arctan2B.x arctan4C.x arctan2-D.x arctan4- 3.=⎰2-4d xx ( A ).A.C x +2arcsinB.C x +arcsinC.Cx +2arccos D.C x +arccos二.判断题1.分部积分法u v uv v u d d ⎰-=⎰的关键是恰当的选择u 和v d ,使u v d ⎰应比v u d ⎰容易积分.（ √ ）2.若被积函数中含有22a x ±,则可利用三角函数代换法化原积分为三角函数的积分.（ √ ） 三.填空题1.Cx dx x ++=+⎰1211.2.设)(x f 有一原函数⎰+-='Cx dx x f x xx cos )(,sin 则.3.C x x x xdx x +-=⎰2241ln 21ln .4.)3(arcsin 31912x d xdx =-.5.Cx x e dx e x x x ++-=⎰)22(22.6.⎰++-=C x x x xdx x 3sin 913cos 313sin .四.计算题1.求不定积分⎰-dx x x232. 解：原式=Cx x d x +--=---⎰2223231)32(321612.求不定积分⎰dxx e x 22. 解：原式=C x x e x ++-)21(2122 3.求不定积分⎰++dxx x 11. 解：C x x C t t dtt t t x +--+=+-=-=+⎰1)1(3232)22(132232原式4.求不定积分⎰+)1(x x dx. 解：cx C t dt t t x +=+=+=⎰arctan 2arctan 21222原式5.求不定积分⎰xdxx 2sin . 解：原式=C x x x ++-2sin 412cos 21 6.求不定积分⎰+dx e x x 5)2(. 解：原式=C x e x ++)59(515 7.求不定积分dxxex⎰-4. 解：原式C x ex++-=-)16141(4 8. 求不定积分⎰++dxx 111. 解：原式[]C x x +++-+=)11ln(129.求不定积分⎰+-dxx 1211. 解：原式[]C x x +-+++=112ln12- 10.求不定积分dxex⎰+11. 解：原式=C e e xx +++-+1111ln11.求不定积分⎰xdxxln 2. 解：原式C x x +-=)31(ln 313 12.求不定积分dx x x ⎰-1. 解：原式C x x +---=)1arctan 1(213.求不定积分⎰---dxx x 22112. 解：原式C x x +-=)(arcsin 214.求不定积分⎰dx a x x 2 )1,0(≠>a a . 解：原式C aa x a x a x++-=)ln 2ln 2ln (32215.求不定积分dxx⎰-2941. 解：原式C x +=23arcsin 31 16.求不定积分dxx ⎰sin . 解：原式C x x x ++=sin 2cos -217.求不定积分⎰xdx x 3cos . 解：原式C x x x ++=3cos 913sin 31 18.求不定积分dxx x ⎰+2. 解：原式C x x ++-+=2123)2(4)2(32五.应用题 （增加题）第六章 定积分一.单选题 1.)(240Ddx x =-⎰A.⎰⎰-+-4220)2()2(dxx dx x B.⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x C.⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x D.⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x2.=⎰a adx x f )(( C ) A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不能确定 3.⎰⎰--=+1111)()(dx x f dx x f ( C )A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定 4.定积分⎰badxx f )(是（ D ）A.一个原函数B.()x f 的一个原函数C.一个函数族D.一个常数 5.定积分⎰badxx f )(的值的大小取决于( C )A.)(x fB.区间 []b a ,C.)(x f 和[]b a ,D.都不正确 6.定积分⎰badxx f )(的值的大小取决于( C )A.)(x fB.区间 []b a ,C.)(x f 和[]b a , Ｄ.无法确定 7.⎰⎰=-3234)()(dx x f dx x f ( A )A.⎰42)(dxx f B.⎰24)(dxx f C.⎰43)(dxx f D.⎰32)(dxx f8.下列命题中正确的是（ C ）（其中)(),(x g x f 均为连续函数） A.在[]b a ,上若)()(x g x f ≠则dxx g dx x f ba ba⎰⎰≠)()( B.⎰⎰≠babadtt f dx x f )()( C.若)()(x g x f ≠,则⎰⎰≠dxx g dx x f )()( D.⎰=badxx f dx x f d )()(9.=⎰dx x f dx d ba)(( B ) A.)(x f B.0 C.)(x f ' D.)(x F 10. 若1)(=x f ,则⎰=ba dx x f )(( C )A.1B.b a -C. a b -D.0 11.定积分⎰badxx f )(是（ B ）A.任意的常数B.确定的常数C.)(x f 的一个原函数D.)(x f 的全体原函数 12.若⎰=+12)2(dx k x ,则=k ( B )A.-1B.1C.1/2D.0 13.=-⎰dx x 5042( C )A.11B.12C.13D.14 二．判断题1.函数在某区间上连续是该函数在该区间上可定积分的必要条件. ( × )2.a b dx ba -=⎰0 . ( × )3.⎰='badx x f 0))(( . ( × ）4.x xdx dx d ba sin sin ⎰=. ( × )三.填空题1.设)(x f '在[]b a ,上连续,则)()()(a f b f dx x f b a-='⎰.2.C dx xxx +=⋅⎰6ln 6321. 3.4111022π-=+⎰dx x x .4.ee dx x e x-=⎰2121.5.设⎰⎰==52515)(,3)(dx x f dx x f ,则2)(21-=⎰dx x f .6..0113=⎰-dx x .7.若)(x f 在[]b a ,上连续,且⎰=ba dx x f 0)(,则[]ab dx x f ba-=+⎰1)(.8.由曲线22+=x y ,直线3,1=-=x x 及x 轴围成曲边梯形的面积352)2(312=+=⎰-dx x A .9..0sin 12=⎰dx xdx d .10.11ln4141=+-⎰-dx xx.11.1)1sin(212=⎰dx xx ππ. 12.32112=⎰-dx x .13.0cos 11⎰-=xdx x .14.利用定积分的几何意义填写定积分的值π41112=-⎰dx x .15.22sin sin x dt t dx d x⎰=.16..0sin 222=⎰-xdx x .17..0113=⎰-dx x .18. 的值为积分.21ln 1⎰edx x x 19.2)253(22224⎰⎰=++-dx dx x x .20.11-=⎰e dx e x . 21.431=⎰-dx .22.⎰1212ln xdxx 的值的符号为 负 .四．计算题 1.求定积分．⎰+411xdx 解：原式)32ln 1(2+=2.求定积分⎰-124x dx. 解：原式6arcsin 10π==x3.求定积分⎰-+-01)32)(1(dxx x . 解：原式21-= 4.求定积分dxx⎰--2121211 解：原式3arcsin 2121π==-x5.求定积分⎰-+12511x dx 解：原式=2ln 54)511ln(5112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-x6.求定积分dx x ⎰+9411解：原式[])2ln 1(2)1ln(232+-=-+-=t t7.求定积分dxe x⎰-1. 解：原式eex1101-=-=- 8.求定积分dxx ⎰212 解：原式3712313==x9.求定积分θθπd ⎰402tan 解：原式[]4104tan ππθθ-=-=10.求定积分．dx xx ⎰+402sin 12sin π解：原式232ln 04)sin 1ln(=+=πx 11.求定积分dxx x ⎰-ππ23sin . 解：原式=012.求定积分()dxxx ⎰--2121221arcsin . 解：原式=324)(arcsin 31321213π=-x 13.求定积分dxx x ⎰+911. 解：原式2ln 213)1ln(2=+=x14.求定积分dxex x⎰12. 解：原式201)22(2-=+-=e x x e x15.求定积分⎰+104)1(x dx 解：原式24701)1(31-3=+=-x 16.求定积分dxxe x ⎰2. 解：原式102)1(2+=-=e x e x 17.求定积分⎰-1dxxe x . 解：原式ex e x2101)1(--=+=- 18.求定积分dx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+πππ33sin . 解：原式0)3cos(3=+-=πππx19.已知⎩⎨⎧≤<-≤≤=31,210,)(2x x x x x f ，计算⎰20)(dx x f . 解：原式⎰⎰-=-+=2110261)2(dx x dx x 20.求定积分()d x x x +⎰194. 解：原式627149)2132(223=+=x x21.求定积分⎰1arctan xdxx . 解：原式=214)arctan arctan (21102-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-πx x x x22.求定积分⎰10arcsin xdx . 解：原式1201)1arcsin (2-=-+=πx x x23.求定积分⎰262cos ππudu . 解: 原式836)2sin 21(2162-=+=πππu u24.求定积分()dx x x x ⎰+2sin π. 解: 原式18sin cos 21202+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ππxx x x 25.求定积分dx x x ⎰-121221. 解: 原式[]41cot sin 24πππ-=--=t t t x26.求定积分dx x x1sin 1212⎰ππ. 解: 原式11cos12==ππx27.求定积分dxx ⎰+101210. 解: 原式10ln 4950110ln 21012==+x 28.求定积分xdxx ⎰23cos sin π解: 原式410cos 41-24==πx29.求定积分⎰1024dx xx . 解: 原式10ln 710ln 81=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x 30.求定积分dx x x e⎰-1ln 1. 解: 原式21ln 21ln 12=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ex x31.求定积分dxx x ⎰+31)1(1. 解: 原式[]6arctan 2312π==t t x32.求定积分xdxx cos sin 23⎰π. 解: 原式410sin 4124==πx33.求定积分⎰--1321dx x . 解: 原式[]5ln 2ln -13=-=-x34.求定积分dx x x x ⎰++21222)1(12 解: 原式4212arctan 1arctan 21π-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=x x 35.求定积分⎰+21ln 1e x x dx. 解: 原式[])13(2ln 1221-=+=e x36.求定积分dxe x x ⎰22. 解: 原式)1(21214202-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=e e x37.求定积分dxx ⎰20sin π. 解: 原式10cos 2=-=πx38.求定积分⎰++10)32)(1(dx x x . 解: 原式211252132=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=x x x39.求定积分dttet ⎰-1022. 解: 原式212112---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=e e t 40.求定积分dx x x ⎰+102212. 解: 原式[]22)arctan (210π-=-=x x41.求定积分⎰πsin xdxx . 解: 原式[]ππ=+-=0sin cos x x x42.求定积分dx x xe⎰12ln . 解: 原式311ln 313==e x43.求定积分⎰2cos sin 3πxdxx . 解: 原式230sin 2322==πx44.求定积分()⎰ωπωω20sin 为常数tdt t 解: 原式2022sin 1cos 12ωπωωωωωω-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t45.求定积分dxx ⎰230cos π. 解: 原式[][]3sin sin 2322=-=πππx x 46.求定积分dxx ⎰--2221. 解：原式43131231213113123=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=---x x x x x x47.求定积分⎰+331211dx x. 解：原式[]6arctan 331π==x48.求定积分⎰+161 4x x dx . 解：原式23ln 2)1ln(2142124+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=t t t t x 五.应用题1.已知生产某产品x （百台）时,总收入R 的变化率x R -='8 (万元/百台)，求产量从从1(百台)增加到3(百台)时,总收入的增加量. 解：由已知x R -='8得总收入的增加量为：12218)8(R 3131312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='=⎰⎰x x dx x dx R2.试描画出定积分⎰ππ2cos xdx所表示的图形面积,并计算其面积.解：[]1sin cos 22=-=-=⎰ππππx xdx S . (图形略)3.试描画出定积分⎰ππ2sin xdx 所表示的面积图形,并计算其面积.解：[]1cos sin 22=-==⎰ππππx xdx S . (图形略)4.计算曲线3x y =,直线3,2=-=x x 及x 轴所围成的曲边梯形面积.解:49741413402433023=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-=--⎰⎰x x dx x dx x S .(图形略) 5.计算抛物线24x y -=与x 轴所围成的图形面积. 解: 24x y -=与x 轴的交点为(-2,0),(2,0)6.已知生产某产品x （百台）时,总成本C 的变化率为x C +='2（万元/百台）,求产量从1(百台)增加到3(百台)时总成本的增加量.解:.8212)2(31312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰x x dx x C7.计算函数x y sin 2=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的平均值.解:[]πππππ4cos 222sin 22020=-==⎰x xdxy8.计算函数x y cos 2=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的平均值.解:[]πππππ4sin 222cos 2202===⎰x xdxy第七章 定积分的应用一.单选题1.变力使)(x f 物体由],[b a 内的任一闭区间]d ,[x x x +的左端点x 到右端点x x d +所做功的近似值为( C ).A.)(x df -B.)(dx fC.dx x f )(D.dx x f )(-2.一物体受连续的变力)(x F 作用, 沿力的方向作直线运动,则物体从a x =运动到b x =, 变力所做的功为( A ). A.⎰b a x x F d )( B.⎰a b x x F d )( C.⎰-ab x x F d )( D.⎰-ba x x F d )(3.将曲线2x y =与x 轴和直线2=x 所围成的平面图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积可表示为=y V （ C ）.A.dx x ⎰204π B.⎰4ydyπ C.()dyy ⎰-44π D.()dyy ⎰+44π二.判断题 1.定积分⎰b adxx f )(反映在几何意义上是一块[a,b]上的面积. （ ╳ ）2.已知边际利润求总利润函数可用定积分方法. （ √ ） 三.填空题1.计算曲线x y sin =与曲线2π=x 及0=y 所围成的平面图形的面积可用定积分表示为⎰=20sin πdxA .2.抛物线3x y =与x 轴和直线2=x 围成的图形面积为⎰23dxx .3.由曲线2x y =与直线1=x 及x 轴所围成的平面图形,绕x 轴旋转所的旋转体的体积可用定积分表示为⎰=14dxx V x π.四.计算题1.求抛物线3x y =与x 轴和直线3=x 围成的图形面积.2.把抛物线ax y 42=及直线)0(>=b b x 所围成的图形绕x 轴旋转,计算所得旋转体的体积. 3.一边长为a m 的正方形薄板垂直放入水中,使该薄板的上边距水面1m ,试求该薄板的一侧所受的水的压力（水的密度为33kg/m 10, g 取2m/s 10）.4.计算抛物线2x y =与直线轴和x x x 3,1=-=所围成的平面图形绕x 轴旋转所得到的旋转体体积.5.由22x y x y ==和所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积.6.求由曲线x y 1=与直线x y =及2=x 所围成的图形的面积.7.用定积分求由0,1,0,12===+=x x y x y 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.8.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.9.用定积分求底圆半径为r ，高为h 的圆锥体的体积.10.计算曲线3x y =和x y =所围成的图形面积.11.计算抛物线24x y -=与x 轴所围成的图形面积.12.求曲线2x y =与x y =所围成的图形的面积。
重庆高等数学试题及答案
重庆高等数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)的最小值是（）。
A. 0B. 1C. 3D. 42. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值为（）。
A. 0B. 1C. -1D. 23. 函数\( y = e^x \)的导数是（）。
A. \( e^x \)B. \( -e^x \)C. \( \ln e^x \)D. \( \frac{1}{e^x} \)4. 曲线\( y = x^3 - 3x^2 + 2 \)的拐点坐标是（）。
A. (0,2)B. (1,0)C. (2,-2)D. (3,6)5. 定积分\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)的值为（）。
A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{1}{4} \)D. \( \frac{1}{5} \)6. 微分方程\( y'' + 4y' + 4y = 0 \)的特征方程是（）。
A. \( r^2 + 4r + 4 = 0 \)B. \( r^2 - 4r + 4 = 0 \)C. \( r^2 + 4r - 4 = 0 \)D. \( r^2 - 4r - 4 = 0 \)7. 函数\( f(x) = \ln(x+1) \)的不定积分是（）。
A. \( x\ln(x+1) - x + C \)B. \( x\ln(x+1) + x + C \)C. \( x\ln(x+1) + \ln(x+1) + C \)D. \( x\ln(x+1) - \ln(x+1) + C \)8. 级数\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)的和是（）。
A. \( \frac{\pi^2}{6} \)B. \( \frac{\pi^2}{4} \)C. \( \frac{\pi^2}{3} \)D. \( \frac{\pi^2}{2} \)9. 矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)的行列式是（）。
重庆大学高等数学II2第3次
第3次作业一、填空题〔本大题共40分，共10 小题，每题 4 分〕1. 写出级数的通项为：______。
2. 级数的敛散性为______。
3. 函数的定义域为______。
设平面通过点〔1，3，-2〕，且垂直于向量，求该平面的方程。
5. 由曲线绕y轴一周所得的旋转面方程为______。
6. 设，且函数f可微，那么______7.D由及x轴围成，那么______。
8.过点(3,0,－1)且与平面平行的平面方程为______。
9.一平面通过两点和且垂直于平面，求它的方程。
10.设，其中具有连续的二阶偏导数，____________。
二、计算题〔本大题共40分，共8小题，每题5分〕2. 1.判断级数的敛散性。
3.利用二重积分的性质估计(其中是矩形区域)的值。
3.求曲面在点(1,1,2)处的切平面和法线方程。
4.求两平面，的夹角。
5.三角形ABC的顶点是A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7)，求三角形的面积。
6.求微分方程满足的特解。
7.求的所有二阶偏导数。
把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中L为(1)在xOy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；(2)沿抛物线从点(0,0)到点(1,1)；(3)沿上半圆周从点(0,0)到点(1,1)。
三、证明题〔本大题共20分，共2小题，每题10分〕1.证明：假设数列收敛于a,那么级数。
2.设级数和收敛,证明级数收敛。
答案：一、填空题〔40分，共10题，每题4分〕1.参考答案：解题方案：评分标准：2.参考答案：发散解题方案：评分标准：3.参考答案：解题方案：评分标准：4.参考答案：解题方案：评分标准：5.参考答案：解题方案：评分标准：6.参考答案：解题方案：评分标准：7.参考答案：2解题方案：评分标准：8.参考答案：解题方案：评分标准：9.参考答案：解题方案：评分标准：10.参考答案：解题方案：评分标准：二、计算题〔40分，共8题，每题5分〕1.参考答案：该级数尽管是一个交错级数，但是容易验证，该级数的通项极限为1，根据级数收敛的必要条件可知，该级数是发散的。
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第五章 不定积分1(直接积分法、换元积分法)一、单选题1.设)(x f 是可导函数,则⎰'))((dx x f 为（ A ）.A.)(x fB.C x f +)(C.)(x f 'D.C x f +')(2.函数)(x f 的（ B ）原函数,称为)(x f 的不定积分.A.任意一个B.所有C.唯一D.某一个 3.⎰=+=)(,2cos )(x f C x e dx x f x则（ A ）.A.)2sin 22(cos x x e x -B.C x x e x +-)2sin 22(cosC.x e x 2cosD. x e x2sin4.函数x e x f =)(的不定积分是（ B ）.A.x eB.c e x +C.x lnD.c x +ln 5.函数x x f cos )(=的原函数是 （ A ）.A.c x +sinB.x cosC.x sin -D.c x +-cos 6.函数211)(xx f -=的原函数是（ A ）.A.c x x ++1 B.x x 1- C.32xD.c x x ++12 7.设x 2是)(x f 的一个原函数,则[]='⎰dx x f )(（ B ）A. x 2B.2C.2x D.-2 8.若c e dx e x x +=⎰, 则⎰xd e x22=（ A ）A.c ex+2 B.c e x + C.c e x +-2 D.c e x +-29.函数x x f sin )(=的原函数是（ D ）A.c x +sinB.x cosC.x sin -D.c x +-cos 10.若)()()()()(x G x F x f x G x F '-'的原函数，则均为、=（ B ）A.)(x fB.0C.)(x FD.)(x f ' 11.函数211)(xx f +=的原函数是（ A ） A.c xx +-1B.x x 1-C.32xD.c x x ++1212. 函数211)(xx f -=的原函数是（ A ）A.c xx ++1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++1213.若函数)(x f 、)(x g 在区间),(b a 内可导，且)()(x g x f '='，则（ B ） A.)()(x g x f = B.C x g x f +=)()(C.)()(x g x f ≠D. 不能确定)(x f 与)(x g 之间的关系 14.若)()(x f x F ='，则下列等式成立的是（ B ）. A.C x f dx x F +='⎰)()( B.⎰+=C x F dx x f )()( C.⎰+=C x f dx x F )()( D.C x F dx x f +='⎰)()( 15.经过点)1,0(-，且切线斜率为x 2的曲线方程是（ D ）.A.2x y =B. 2x y -=C. 12+=x yD. 12-=x y 二.填空题1.)25ln(2125x d x dx --=-.2.)1(212x d xdx --=.3.C aa dx a xx +=⎰ln .4.设)(x f 是连续函数，则dx x f dx x f d )()(=⎰.5.xx cos 2+的原函数是x x sin 2+.6.]4)3[(21)3(2---=-x d dx x .7.C x xdx +=⎰7sin 717cos .8.)1(ln 3133-=x x a d adx a .9.)3(cos 313sin x d xdx -=.10.C x dx x x +=⎰2ln 21ln .11.C x dx x +=⎰4341.12.)C 41(2222+-=--x x e ddx xe .13.C x xdx x +=⋅⎰2sin 21sin cos . 14.C x dx x +=+⎰3arctan 319112. 15.C x x dx x +-=⎰)sin (212sin 2.16.⎰+='C x f dx x f )2(21)2(.17.设⎰+=.)()(C x F dx x f ,若积分曲线通过原点，则常数)0(F C -=.18.)3(arctan 31912x d x dx=+. 19.)(2122x x e d dx xe =.20.已知xx f C x dx x f 2sin )(,sin )(2=+=⎰则.21.设)()()(21x f x F x F 是、的两个不同的原函数，且=-≠)()(,0)(21x F x F x f 则有 C .22.C x x dx x x +-=+-⎰222111 23.Ce dx e xxx +-=⎰1121.24.)1ln(21122-=-x d dx x x .25.若x x f sin )(的导函数是,则)(x f 的原函数为Cx +-sin .26.设)(3x f x 为的一个原函数，则dxx x df 23)(=.27.)2cos 41(812sin x d xdx -=28.x x sin 2+的一个原函数是x x cos 313-.29.)3(cos 33sin x d dx x -=.30.Cx xdx +-=⎰cos ln tan .31.()C x dx x +--=-⎰)21sin(2121cos .32.Cx xdx +=⎰tan sec 2. 33.C x xdx+-=⎰3cot 313sin2.34.设x 2是)(x f 的一个原函数，则⎰='])([dx x f 2 .三.判断题 1.⎰+=cx xdx cos sin ( × ) 2.xx edx e =⎰（ × ）3.⎰-=.cos sin x xdx ( × ) 4.⎰+-=cx xdx cos sin ( √ ) 5.)21sin()]21[sin(x dx x -=-⎰( × ) 6.⎰+-=cx xdx sin cos （ × ）四.计算题1.求不定积分dx x x ⎰+21. 解：原式=C x x d x ++=++⎰23222)1(31)1(1212.求不定积分dx x ⎰-31. 解: 原式=C x +--3ln3.求不定积分⎰+dx e e x x 1. 解：原式=C e e d ex x x ++=++⎰)1ln()1(11 4.求不定积分⎰+-dx xx x)3sin 21(. 解: 原式=C x x x +++ln 3cos 22 5.求不定积分⎰-dx xex 2. 解: 原式=C e x +--221 6.求不定积分dx x x⎰+12. 解: 原式=C x ++)1ln(2127.求不定积分dx x x⎰+2)72(. 解: 原式=C xx x ++⋅+7ln 24914ln 1422ln 24 8.求不定积分⎰+dx x 10)12(. 解: 原式=C x ++11)12(2219.求不定积分⎰+-dx xx x )1)(1(. 解: 原式=C x x x x x +-+-221522210.求不定积分⎰xdx 2sin . 解: 原式=C x x +-2sin 4121 11.求不定积分⎰dx x x 22cos sin 1. 解: 原式=C x x +-cot tan12.求不定积分dx x ⎰+321. 解: 原式=C x ++32ln2113.求不定积分xdx xarctan 112⎰+. 解: 原式=C x +2)(arctan 21 14.求不定积分⎰-dx x x 4313. 解: 原式=C x +--41ln 43 15.求不定积分⎰+dx x 2411. 解: 原式=C x +2arctan 21 16.求不定积分⎰+dx x x)5(3. 解: 原式=C x x++5ln 541417.求不定积分⎰-dx e x 5. 解: 原式=C e x+--551五.应用题1.设一质点作直线运动,已知其加速度为t t a sin 3122-=,如果0=t 时3,500-==s v , 求（1）t v 与的函数关系； （2）t s 与的函数关系. 解：32sin 3)(2sin 3)2cos 34()(2cos 34)(cos 34)sin 312()(43,04335,032-++=−−−→−+++=++=++=−−→−++=-=-====⎰⎰t t t t s c t t t dt t t t s t t t v C t t dt t t t v s t v t2.求经过点（0,0）,且切线斜率为x 2的曲线方程.解：20,022x y C x xdx y y x =−−−→−+====⎰3.一物体由静止开始运动,t 秒末的速度是23t （米/秒）,问(1)在3秒末物体与出发点之间的距离是多少？ (2)物体走完360米需多长时间？解：设运动方程为：30,032)(3)(t t S C t dt t t S S s t =−−→−+=====⎰（1）当3=t 时，27)3(=S （米）（2）当.360360)(33秒=⇒==t t t S4.一曲线过原点且在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率等于3x ,求这曲线的方程. 解：40,0434141x y C x dx x y y x =−−−→−+====⎰ 5.已知物体由静止开始作直线运动,经过t 秒时的速度为180360-t （米/秒）,求3秒末物体离开出发点的距离.解： t t t S C t t dt t S s t 180180)(180180180)-60t 3()(20,02-=−−→−+-====⎰.当3=t 时，1080)3(=S （米）.6.求经过点)1,(e ,且切线斜率为x 1的曲线方程.解：x y C x dx x y y e x ln ln 11,=−−→−+====⎰.7.求经过点（0,0）,且切线斜率为211x+的曲线方程.解：x y C x dx x y y x arctan arctan 110,02=−−−→−+=+===⎰.第五章 不定积分2一.单选题1.下列分部积分法中, dv u ,选择正确的是（ A ）.A.⎰==xdxdv x u xdx x 2sin 2sin ，， B.xdxdv u xdx ln ,1,ln ==⎰C.dxx dv e u dx e x x x22,,==--⎰D.xdxdv e u dx xe xx==⎰,,2.⎰⎰-=)(2arctan d 2arctan Axd x x x x .A.x arctan2B.x arctan4C.x arctan2-D.x arctan4- 3.=⎰2-4d xx ( A ).A.C x +2arcsinB.C x +arcsinC.Cx+2arccos D.C x +arccos二.判断题1.分部积分法u v uv v u d d ⎰-=⎰的关键是恰当的选择u 和v d ,使u v d ⎰应比v u d ⎰容易积分.（ √ ）2.若被积函数中含有22a x ±,则可利用三角函数代换法化原积分为三角函数的积分.（ √ ）三.填空题1.Cx dx x ++=+⎰1211.2.设)(x f 有一原函数⎰+-='Cx dx x f x xx cos )(,sin 则.3.C x x x xdx x +-=⎰2241ln 21ln .4.)3(arcsin 31912x d xdx =-.5.Cx x e dx e x x x ++-=⎰)22(22.6.⎰++-=C x x x xdx x 3sin 913cos 313sin .四.计算题1.求不定积分⎰-dx x x232. 解：原式=Cx x d x +--=---⎰2223231)32(321612.求不定积分⎰dxx ex22. 解：原式=C x x e x ++-)21(21223.求不定积分⎰++dxxx11. 解：CxxCttdttttx+--+=+-=-=+⎰1)1(3232)22(132232原式4.求不定积分⎰+)1(xxdx. 解：cxCtdtttx+=+=+=⎰arctan2arctan21222原式5.求不定积分⎰xdxx2sin. 解：原式=Cxxx++-2sin412cos216.求不定积分⎰+dxex x5)2(. 解：原式=Cxe x++)59(5157.求不定积分dxxe x⎰-4. 解：原式Cxe x++-=-)16141(48. 求不定积分⎰++dxx111. 解：原式[]Cxx+++-+=)11ln(129.求不定积分⎰+-dxx1211. 解：原式[]Cxx+-+++=112ln12-10.求不定积分dxe x⎰+11. 解：原式=Ceexx+++-+1111ln11.求不定积分⎰xdxx ln2. 解：原式Cxx+-=)31(ln31312.求不定积分dxxx⎰-1. 解：原式Cxx+---=)1arctan1(213.求不定积分⎰---dxxx22112. 解：原式Cxx+-=)(arcsin214.求不定积分⎰dxax x2)1,0(≠>aa. 解：原式Caaxaxa x++-=)ln2ln2ln(32215.求不定积分dxx⎰-2941. 解：原式Cx+=23arcsin3116.求不定积分dxx⎰sin. 解：原式Cxxx++=sin2cos-217.求不定积分⎰xdxx3cos. 解：原式Cxxx++=3cos913sin3118.求不定积分dxx x ⎰+2. 解：原式C x x ++-+=2123)2(4)2(32五.应用题 （增加题）第六章 定积分一.单选题 1.)(240Ddx x =-⎰A.⎰⎰-+-4220)2()2(dxx dx x B.⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x C.⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x D.⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x2.=⎰a adx x f )(( C ) A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不能确定 3.⎰⎰--=+1111)()(dx x f dx x f ( C )A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定 4.定积分⎰badxx f )(是（ D ）A.一个原函数B.()x f 的一个原函数C.一个函数族D.一个常数 5.定积分⎰badxx f )(的值的大小取决于( C )A.)(x fB.区间 []b a ,C.)(x f 和[]b a ,D.都不正确 6.定积分⎰badxx f )(的值的大小取决于( C )A.)(x fB.区间 []b a ,C.)(x f 和[]b a , Ｄ.无法确定 7.⎰⎰=-3234)()(dx x f dx x f ( A )A.⎰42)(dxx f B.⎰24)(dxx f C.⎰43)(dxx f D.⎰32)(dxx f8.下列命题中正确的是（ C ）（其中)(),(x g x f 均为连续函数） A.在[]b a ,上若)()(x g x f ≠则dxx g dx x f ba ba⎰⎰≠)()( B.⎰⎰≠babadtt f dx x f )()( C.若)()(x g x f ≠,则⎰⎰≠dxx g dx x f )()( D.⎰=badxx f dx x f d )()(9.=⎰dx x f dx d ba)(( B ) A.)(x f B.0 C.)(x f ' D.)(x F 10. 若1)(=x f ,则⎰=ba dx x f )(( C )A.1B.b a -C. a b -D.0 11.定积分⎰badxx f )(是（ B ）A.任意的常数B.确定的常数C.)(x f 的一个原函数D.)(x f 的全体原函数 12.若⎰=+12)2(dx k x ,则=k ( B )A.-1B.1C.1/2D.0 13.=-⎰dx x 5042( C )A.11B.12C.13D.14二．判断题1.函数在某区间上连续是该函数在该区间上可定积分的必要条件. ( × )2.a b dx ba -=⎰0 . ( × )3.⎰='badx x f 0))(( . ( × ）4.x xdx dx d ba sin sin ⎰=. ( × )三.填空题1.设)(x f '在[]b a ,上连续,则)()()(a f b f dx x f b a-='⎰.2.C dx xxx +=⋅⎰6ln 6321. 3.4111022π-=+⎰dx x x .4.ee dx xe x-=⎰2121.5.设⎰⎰==52515)(,3)(dx x f dx x f ,则2)(21-=⎰dx x f .6..0113=⎰-dx x .7.若)(x f 在[]b a ,上连续,且⎰=ba dx x f 0)(,则[]ab dx x f ba-=+⎰1)(.8.由曲线22+=x y ,直线3,1=-=x x 及x 轴围成曲边梯形的面积352)2(312=+=⎰-dx x A .9..0sin 12=⎰dx x dx d .10.11ln4141=+-⎰-dx xx.11.1)1sin(212=⎰dx xx ππ. 12.32112=⎰-dx x .13.0cos 11⎰-=xdx x .14.利用定积分的几何意义填写定积分的值π41112=-⎰dx x . 15.22sin sin x dt t dx d x⎰=.16..0sin 222=⎰-xdx x .17..0113=⎰-dx x .18. 的值为积分.21ln 1⎰edx x x 19.2)253(22224⎰⎰=++-dx dx x x .20.11-=⎰e dx e x . 21.431=⎰-dx .22.⎰1212ln xdxx 的值的符号为 负 .四．计算题 1.求定积分．⎰+411xdx 解：原式)32ln 1(2+= 2.求定积分⎰-124x dx. 解：原式6arcsin 10π==x3.求定积分⎰-+-01)32)(1(dxx x . 解：原式21-=4.求定积分dxx⎰--2121211 解：原式3arcsin 2121π==-x5.求定积分⎰-+12511x dx 解：原式=2ln 54)511ln(5112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-x6.求定积分dx x ⎰+9411解：原式[])2ln 1(2)1ln(232+-=-+-=t t7.求定积分dxex⎰-1. 解：原式ee x1101-=-=- 8.求定积分dxx ⎰212 解：原式3712313==x9.求定积分θθπd ⎰402tan 解：原式[]4104tan ππθθ-=-=10.求定积分．dx x x ⎰+402sin 12sin π解：原式232ln 04)sin 1ln(=+=πx 11.求定积分dxx x ⎰-ππ23sin . 解：原式=012.求定积分()dxxx ⎰--2121221arcsin . 解：原式=324)(arcsin 31321213π=-x 13.求定积分dxx x ⎰+911. 解：原式2ln 213)1ln(2=+=x14.求定积分dxe x x ⎰12. 解：原式201)22(2-=+-=e x x e x15.求定积分⎰+104)1(x dx 解：原式24701)1(31-3=+=-x 16.求定积分dxxe x ⎰2. 解：原式102)1(2+=-=e x e x17.求定积分⎰-1dxxe x . 解：原式ex e x2101)1(--=+=-18.求定积分dx x ⎰⎪⎭⎫⎝⎛+πππ33sin . 解：原式0)3cos(3=+-=πππx19.已知⎩⎨⎧≤<-≤≤=31,210,)(2x x x x x f ，计算⎰20)(dx x f . 解：原式⎰⎰-=-+=2110261)2(dx x dx x 20.求定积分()dx x x +⎰194. 解：原式627149)2132(223=+=x x21.求定积分⎰1arctan xdxx . 解：原式=214)arctan arctan (21102-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-πx x x x22.求定积分⎰1arcsin xdx . 解：原式121)1arcsin (2-=-+=πx x x23.求定积分⎰262cos ππudu. 解: 原式836)2sin 21(2162-=+=πππu u24.求定积分()dx x x x ⎰+2sin π. 解: 原式18sin cos 21202+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ππxx x x 25.求定积分dx x x ⎰-121221. 解: 原式[]41cot sin 24πππ-=--=t t t x26.求定积分dx x x 1sin 1212⎰ππ. 解: 原式11cos12==ππx27.求定积分dx x ⎰+11210. 解: 原式10ln 4950110ln 21012==+x 28.求定积分xdxx ⎰23cos sin π解: 原式410cos 41-24==πx29.求定积分⎰124dx xx . 解: 原式10ln 710ln 810=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x 30.求定积分dx x x e⎰-1ln 1. 解: 原式21ln 21ln 12=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ex x31.求定积分dxx x ⎰+31)1(1. 解: 原式[]6arctan 2312π==t t x32.求定积分xdxx cos sin 203⎰π. 解: 原式410sin 4124==πx33.求定积分⎰--1321dx x . 解: 原式[]5ln 2ln -13=-=-x34.求定积分dx x x x ⎰++21222)1(12 解: 原式4212arctan 1arctan 21π-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=x x 35.求定积分⎰+21ln 1e x x dx. 解: 原式[])13(2ln 1221-=+=e x36.求定积分dxe x x ⎰22. 解: 原式)1(21214202-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=e e x37.求定积分dxx ⎰20sin π. 解: 原式10cos 2=-=πx38.求定积分⎰++10)32)(1(dx x x . 解: 原式211252132=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=x x x39.求定积分dttet ⎰-1022. 解: 原式212112---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=e e t 40.求定积分dx x x ⎰+102212. 解: 原式[]22)arctan (210π-=-=x x41.求定积分⎰πsin xdxx . 解: 原式[]ππ=+-=0sin cos x x x42.求定积分dx x xe⎰12ln . 解: 原式311ln 313==e x43.求定积分⎰2cos sin 3πxdxx . 解: 原式230sin 2322==πx44.求定积分()⎰ωπωω20sin 为常数tdt t 解: 原式2022sin 1cos 12ωπωωωωωω-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t45.求定积分dxx ⎰230cos π. 解: 原式[][]3sin sin 2322=-=πππx x46.求定积分dxx ⎰--2221. 解：原式43131231213113123=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=---x x x x x x47.求定积分⎰+331211dx x . 解：原式[]6arctan 331π==x48.求定积分⎰+161 4x x dx . 解：原式23ln 2)1ln(2142124+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=t t t t x五.应用题1.已知生产某产品x （百台）时,总收入R 的变化率x R -='8 (万元/百台)，求产量从从1(百台)增加到3(百台)时,总收入的增加量. 解：由已知x R -='8得总收入的增加量为：12218)8(R 3131312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='=⎰⎰x x dx x dx R2.试描画出定积分⎰ππ2cos xdx所表示的图形面积,并计算其面积.解：[]1sin cos 22=-=-=⎰ππππx xdx S . (图形略)3.试描画出定积分⎰ππ2sin xdx 所表示的面积图形,并计算其面积.解：[]1cos sin 22=-==⎰ππππx xdx S . (图形略)4.计算曲线3x y =,直线3,2=-=x x 及x 轴所围成的曲边梯形面积.解:4974141340243323=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-=--⎰⎰x x dx x dx x S .(图形略) 5.计算抛物线24x y -=与x 轴所围成的图形面积. 解: 24x y -=与x 轴的交点为(-2,0),(2,0)3323142)4(203222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰-x x dx x S6.已知生产某产品x （百台）时,总成本C 的变化率为x C +='2（万元/百台）,求产量从1(百台)增加到3(百台)时总成本的增加量.解:.8212)2(31312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰x x dx x C7.计算函数x y sin 2=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的平均值. 解:[]πππππ4cos 222sin 2202=-==⎰x xdxy8.计算函数x y cos 2=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的平均值.解:[]πππππ4sin 222cos 22020===⎰x xdxy第七章 定积分的应用一.单选题1.变力使)(x f 物体由],[b a 内的任一闭区间]d ,[x x x +的左端点x 到右端点x x d +所做功的近似值为( C ).A.)(x df -B.)(dx fC.dx x f )(D.dx x f )(-2.一物体受连续的变力)(x F 作用, 沿力的方向作直线运动,则物体从a x =运动到b x =, 变力所做的功为( A ). A.⎰b a x x F d )( B.⎰a b x x F d )( C.⎰-ab x x F d )( D.⎰-ba x x F d )(3.将曲线2x y =与x 轴和直线2=x 所围成的平面图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积可表示为=y V （ C ）.A.dx x ⎰204π B.⎰4ydyπ C.()dyy ⎰-44π D.()dyy ⎰+44π二.判断题 1.定积分⎰badxx f )(反映在几何意义上是一块[a,b]上的面积. （ ╳ ）2.已知边际利润求总利润函数可用定积分方法. （ √ ）三.填空题1.计算曲线x y sin =与曲线2π=x 及0=y 所围成的平面图形的面积可用定积分表示为⎰=20sin πdxA .2.抛物线3x y =与x 轴和直线2=x 围成的图形面积为⎰23dxx .3.由曲线2x y =与直线1=x 及x 轴所围成的平面图形,绕x 轴旋转所的旋转体的体积可用定积分表示为⎰=14dxx V x π.四.计算题1.求抛物线3x y =与x 轴和直线3=x 围成的图形面积.2.把抛物线ax y 42=及直线)0(>=b b x 所围成的图形绕x 轴旋转,计算所得旋转体的体积. 3.一边长为a m 的正方形薄板垂直放入水中,使该薄板的上边距水面1m ,试求该薄板的一侧所受的水的压力（水的密度为33kg/m 10, g 取2m/s 10）.4.计算抛物线2x y =与直线轴和x x x 3,1=-=所围成的平面图形绕x 轴旋转所得到的旋转体体积.5.由22x y x y ==和所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积.6.求由曲线x y 1=与直线x y =及2=x 所围成的图形的面积.7.用定积分求由0,1,0,12===+=x x y x y 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.8.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.9.用定积分求底圆半径为r ，高为h 的圆锥体的体积.10.计算曲线3x y =和x y =所围成的图形面积.11.计算抛物线24x y -=与x 轴所围成的图形面积.12.求曲线2x y =与x y =所围成的图形的面积。