巧借三角形的两条内外角平分线夹角的模型解决问题

B

B

E

C

B

A

巧借三角形的两条内（外）角平分线夹角的模型解决问题

新北实验中学 严云霞

【基本模型】

三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系 模型一：当这两个角为内角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和（如图1）； 模型二：当这两个角为外角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差（如图2）； 模型三：当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半（如图3）；

【分析】三个结论的证明

例1、 如图1，△ABC 中，BD 、CD 为两个内角平分线，

试说明：∠D=90°+2

1

∠A 。

（方法一）解：∵BD 、CD 为角平分线

∴∠CBD ＝21∠ABC ， ∠BCD ＝2

1

∠ACB 。

在△BCD 中：∠D ＝180°－（∠CBD ＋∠BCD ）

＝180°－21

（∠ABC ＋∠ACB ）

＝180°－21

（180°－∠A ）

＝180°－21×180°＋21

∠A

＝90°＋2

1

∠A

（方法二）解：连接AD 并延长交BC 于点E 解：∵BD 、CD 为角平分线

∴∠CBD ＝21∠ABC ， ∠BCD ＝2

1

∠ACB 。

∵∠BDE 是△ABD 的外角 ∴∠BDE ＝∠BAD+∠ABD

=∠BAD+2

1

∠ABC

同理可得∠CDE ＝∠CAD+2

1

∠ACB

又∵∠BDC ＝∠BDE+∠CDE

∴∠BDC ＝∠BAD+21∠ABC+∠CAD+21

∠ACB

＝∠BAC+21

（∠ABC+∠ACB ）

＝∠BAC+21

（180°－∠BAC ）

＝90°＋2

1

∠BAC

例２、如图，ＢＤ、ＣＤ为△ＡＢＣ的两条外角平分线，

试说明：∠D=90°－2

1

∠A 。

解：∵BD 、CD 为角平分线

∴∠CBD=21

∠CBE

∠BCD ＝2

1

∠BCF

又∵∠CBE 、∠BCD 为△ABC 的外角 ∴∠CBE ＝∠A ＋∠ACB ∠BCF ＝∠A ＋∠ABC

∴∠CBE ＋∠BCF ＝∠A ＋∠ACB ＋∠A ＋∠ABC ＝∠A ＋180°

在△BCD 中：∠D ＝180°－（∠CBD ＋∠BCD ）

＝180°－（21∠CBE ＋21

∠BCF ）

＝180°－21

（∠CBE ＋∠BCF ）

＝180°－21

（∠A ＋180°）

＝90°－2

1

∠A

【小结】通过对模型1、2的分析和证明，我们还能发现三角形两内角平分线的夹角和两外角平分线的夹角互补，即和为180°。

例３：如图，在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，CD 为∠ＡＣＥ的平分线，

试说明：∠D ＝2

1

∠A ；

解：∵BD 为角平分线，

∴∠CBD ＝2

1

∠ABC ，

又∵CD 为∠ACE 的平分线

∴∠DCE=2

1

∠ACE ，

D

C

B

A

而∠DCE 为△BCD 的一个外角 ∴∠DCE=∠D+∠DBC ， 即∠D ＝∠DCE －∠DBC

∴∠D ＝21∠ACE －21

∠ABC

＝21

（∠ACE －∠ABC ）

＝2

1

∠A 。

【巧借模型解决问题】

一、 运用模型直接求值

例4、如图，在△ABC 中，∠Ａ=400，D 点是∠ABC 和∠ACB 角平分线的交点，则∠BDC= 0

【思路分析】由条件知，这是图1的模型：三角形两条内角

平分线的夹角，∴∠BDC ＝90°＋2

1

∠A

当∠Ａ=400时，∠BDC=90°＋20°=110° 反之，如果已知∠BDC 的度数，则把度数代入公式：∠BDC ＝90°＋

2

1

∠A ，可以解出∠A 的度数。

二、 运用模型揭秘画图题 例5、小明用下面的方法画出了45°角：作两条互相垂直的直线MN 、PQ ，点A 、B 分别是MN 、PQ 上任意一点，作∠ABP 的平分线BD ，BD 的反向延长线交∠OAB 的平分线于点C ，则∠C 就是所求的45°角．你认为对吗？请给出证明．

【思路分析】通过对两条角平分线的分析，可以发现AC 、BD 分别是△AOB 的内角平分线和外角平分线的夹角。根据图3的结论：这个夹角等于第三个角一半，

可知∠C=2

1

∠AOB 。

解：先模仿图3证明∠C=2

1

∠AOB

又∵∠AOB=90°

∴∠C=2

1

∠AOB=45°

三、 运用模型探究规律，提升拓展 例6、问题引入：

（1）如图①，在△ABC 中，点O 是∠ABC 和∠ACB 平分线的交点，若∠A=α，则∠BOC= （用α表示）；

拓展研究：

（2）如图②，∠CBO=13∠ABC ，∠BCO= 1

3

∠ACB ，∠A=α，试求∠BOC 的度数

（用α表示）

归纳猜想：