三重积分的变量代换

f ( x, y, z)dV ,

dV称为体积元素.
物理意义 设(x,y,z)是占有空间区域的物体
的体密度函数, 则该物体的质量
m ( x, y, z)dV .

二. 性质 类似二重积分, 有线性、可加性、
单调性和中值定理, 还有
1dV V


(Vol())
1 /4 O
z
y
(8 2)π 5
例7 函数 f (u)在U(0)可导, 且 f (0) = 0, 求极限
1 lim 4 t 0 t

t
f ( x 2 y 2 z 2 )dxdydz,
其中t是 x2 y2 z 2 t 2 .
(πf (0))
x2 y 2 z 2 例8 计算位于: a 2 b2 c 2 1, 而密度函数为
*
其中T将*变为.
二. 柱面坐标系
此坐标系实乃x,y坐标转变为极坐标, 其变换公式为
x r cos y r sin z z
z M(x,y,z) M(r,,z)
0 0 1
( x, y, z ) cos 由 sin (r , , z ) 0
z
= 常数(平面)的曲面分割, 小区域的体积
近似等于长方体的体积, 故为rdrd dz
x
z
r O
dr dz

y d
注意 在具体计算时, 通常用柱线法或截面 法得到D(或Dz)的二重积分, 再转化为极坐标.
例4 计算 I ( x z)dV , 其中是空间域

z x2 y 2
导出
f ( x, y, z)dV

f ( sin cos , sin sin , cos ) 2sin d d d
*
其中*是在球面坐标系下的表示形式.
使用球面坐标时
=常数(球面)
=常数(圆锥面) =常数(半平面)
先z再y后x
dx
y2 ( x )
y1 ( x )
dy

z1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz
三次积分
例1 计算积分 y cos( x z)dxdydz, 其中由抛物柱 面 y x 及平面y = 0, z = 0 和
π xz 2
Байду номын сангаас
围成.
π2 1 16 2
f ( x, y, z)dxdydz
D def
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz dxdy

dxdy
D b a
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz
z2 ( x , y )
r sin r cos 0
r,
x
O

r P(r,)
y
得到柱面坐标积分公式
*
f ( x, y, z)dV f (r cos , r sin , z)rdrd dz
其中*是在柱面坐标系下的表示形式.
体积微元几何意义
用r = 常数(圆柱面), = 常数(半平面), z
由于Jacobi行列式
( x, y , z ) sin sin ( , , ) cos sin cos
cos cos cos sin sin
sin sin
sin cos 2 sin
0
( x, y, z ) J (u, v, w)
xu yu zu
xv yv zv
xw yw zw
0, 又f (x,y,z)C(), 则
f ( x, y, z)dxdydz f ( x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) | J | dudvdw.
xy型正则区域
{( x, y, z) | z1 ( x, y) z z2 ( x, y),( x, y) D}
从质量角度求三重积分, 将f (x,y,z)视为密度函 数, 则(x,y)D,
z z=z2(x,y)
( x, y)
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
1 z 的物体的质量.
2
4πabc 4πabc3 3 15
f ( x, y, z)dz
z=z1(x,y)
是内由z1(x,y)到 z2(x,y)的线段上
O x
y D
所分布的质量, 故物体总质量为
( x, y)dxdy
D D
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz dxdy

从而(设 D {( x, y) | a x b, y1 ( x) y y2 ( x)})
( z ) f ( x, y, z )dxdy
Dz
z h2 z h1 O x
Dz
是物体在截面Dz上分布的质量,
y
所以物体总质量为

从而
h2 h1
( z )dz
h2 h1
f ( x, y, z )dxdy dz D z
f ( x, y, z)dxdydz
lim f (i , j , k )Vijk I ,
0
i 1 j 1 k 1 l m n
其中
Vijk Vol(Vijk ),
1i l ,1 j m ,1 k n
max
{diam{Vijk }},
则称 f (x,y,z)在上可积, I称为f 在上的三重积分, 记为
z M y P

O x
uuur || OM ||[0, ) uuur · (OM , Oz ) [0, π]

uuu r : Ox轴正向逆时针转到OP
坐标变换关系式
的角度[0,2] (或 [,])
x sin cos y sin sin z cos
例3 设物体位于 : z
x2 y 2 2 , x y 2 ( z 2)2 4, 3
其密度为|z|, 求此物体的质量.
21π
16.4.2 三重积分的变量代换 一. 变量代换
x x (u , v, w) 设变换 T : y y (u , v, w) 有连续偏导数, 且满足 z z (u , v, w)
16.4.1 直角坐标计算三重积分 在直角坐标下, 由于dV=dxdydz, 因此有
f ( x, y, z)dV f ( x, y, z)dxdydz.

一. 柱线法(坐标面投影法) 设是以曲面z = z1(x,y)为底, 曲面z = z2(x,y)为顶, 而侧面是母线平行z轴的柱面所围成区域. 又在xy 上的投影区域为D, 则可表示为
二. 截面法(坐标轴投影法) 设区域在z轴上投影区间为[h1,h2], 即介于平
面z = h1与z = h2之间, 过z处且垂直z轴的平面截
得截面区域Dz, 则可表示为 z型空间区域
{( x, y, z) | h1 z h2 ,( x, y) Dz }
从质量角度考虑, 对z[h1,h2],
Chap16－3、4
三重积分
16.3 三重积分的概念和性质
一. 定义 设f (x,y,z)在可求积有界闭域[a,b]
[c,d][e,f ](:=V)定义. 令f (x,y,z) = 0, (x,y,z)V \. 若 对V的长方体分划Vijk及(i,j,k) Vijk, 总有
def
h2 h1 h2
f ( x, y, z )dxdy dz D z
Dz
dz f ( x, y, z )dxdy
h1
例2 计算 I ( x z 2 )dxdydz, 其中由旋转抛物面

z x 2 y 2 与平面 z = 2围成. (注意对称性 ) 4π
z
中心在原点 过z轴
=常数
x O
=常数
y
=常数
积分区域边界曲面方程或被积函数含x2 + y2 +z2,
可考虑用球面坐标
例6 计算I x 2 y 2 z 2 dV , 其中

是由球面 x2 y2 z 2 2z 与锥面
z x 2 y 2 所围成含z轴部分区域.
， z 1 ( x 2 y 2 ).
π 8
y2 2z 例5 计算I ( x y) dV , 其中是由曲线 x 0
2
绕z轴旋转得到的曲面与平面z = 2, z = 8所围
成的区域. (考研试题修改)
336 π
三. 球面坐标系 设M(x,y,z)是空间一点, 引进球面坐标(,,)