运筹学教程(黄皮书-胡运权) 第11章 存贮论 习题及解析

订购量为Q＊时的最大缺货量
c1 Q c1 c2
单位时间的最低总费用
TC
2 Dc1c2 c3 c1 c2
订购量为Q＊时的最大存贮量为
Q T d

2 Dc3c2 c2 (c1 c2 )
2c3 (c1 c2 ) c1c2 D
S t2 d t1 T t 2
*
课堂练习：
某医院药房每年需某种药品1600瓶，每次订购费为5元，每 瓶药品每年保管费0.1元，试求每次应订多少瓶？
§1 允许缺货，补充时间较长
经济生产批量模型也称不允许缺货、生产需要一定时间模型，这也是一种确 定型的存贮模型。它的存贮状态图为
存贮量
最高存贮量
p-d
d
平均存贮量
t 生产 时间
不 生产 时间
§3 允许缺货，补充时间极短 设每次订货量为 Q ，由于最大缺货量为S，则最高库存量 为 Q- S，故不缺货时期内的平均存贮量为(Q- S)/2，于是，周
期T 内的平均存贮量= (Q- S)t1/2T。由于t1 = (Q- S)/d，T= Q/d，
则周期T 内的平均存贮量= (Q- S)2/2Q。 又周期T内的平均缺货量= (S t2 ) /2T。由于t2 = S/d，T=
时间
§1 允许缺货，补充时间较长
这种存贮模型的特点： 1. 需求率 （单位时间的需求量）为 d； 2. 生产率（单位时间的产量）为 p — 有限供货率； 3. 不允许缺货； 4. 单位产品单位时间的存贮费 c1 ； 5. 每次的生产准备费 c3 ； 6. 每期初进行补充。 设每次生产量为 Q ，生产率是 p，则每次的生产时间 t 为Q/ p ，于是 最高库存量为 (p-d) Q/ p。到T 时刻存贮量为0，则0到T时间内的平均存贮
运筹学教程（第三版） --胡运权 主编
第11章 存贮论
§1 存贮问题及其基本概念 §2 确定型存贮模型
§3 单周期的随机型存贮模型
§4 其他的随机型存贮模型
§5 存贮论应用研究中的一些问题
第11章 存贮论
存贮是缓解供应与需求之间出现的供不应求或供过于求等不协
调情况的必要和有效的方法和措施。
但是，要存贮就需要资金和维护，存贮的费用在企业经营的成 本中占据非常大的部分。
§1 允许缺货，补充时间极短
经济订购批量存贮模型，又称不允许缺货，生产时间很短存贮模型， 是一种最基本的确定性存贮模型。在这种模型里，需求率即单位时间从 存贮中取走物资的数量是常量或近似乎常量；当存贮降为零时，可以立 即得到补充并且所要补充的数量全部同时到位（包括生产时间很短的情 况，我们可以把生产时间近似地看成零）。这种模型不允许缺货，并要 求单位存贮费，每次订购费，每次订货量都是常数，分别为一些确定的、 不变的数值。 • 主要参数： 需求率 ： d 单位货物单位时间的存贮费： c1 每次订购费： c3 每次订货量： Q 分别是一些确定的、不变的数值。
存贮论（库存控制）主要解决存贮策略问题，即如下两个问题：
1．补充存贮物资时，每次补充数量(Q)是多少？ 2．应该间隔多长时间( T )来补充这些存贮物资？
建立不同的存贮模型来解决上面两个问题，如果模型中的需求
率、生产率等一些数据皆为确定的数值时，存贮模型被称为确定性 存贮模型；如果模型中含有随机变量则被称为随机性存贮模型。
的年度费用，每年的生产次数。 解： 从题可知，年需求率d=D=4900，年生产率p=9800,c1=1000,c3=500 代入公式可得，
Q*
2Dc3 2 4900 500 9800 99 个 d 4900 11000 1- p c1 9800
Q/d，故周期T内的平均缺货量= S2/2Q。故单位时间的总费用
TC为：
(Q S ) 2 D S2 TC c1 c3 c2 2Q Q 2Q
§3 允许缺货，补充时间极短
使TC达最小值的最佳订购量
Q
S

2 Dc3 (c1 c2 ) c1c2
2 Dc3c1 c2 (c1 c2 )
货，对企业来说除了支付少量的缺货费用外另无其他的损失，这样
企业就可以利用“允许缺货”这个宽松条件，少付几次订货费用，少 付一些存贮费用，从经济观点出发这样的允许缺货现象对企业是有
利的。
§3 允许缺货，补充时间极短 这种模型的存贮状态图为 ：
存贮量 Q-S
最大存贮量
o
不缺 货时 间 t1 缺 货时 间 t2
§1 允许缺货，补充时间极短
2 3000 52 25 2Dc3 最优订货量Q 1140.18 c1 6
*
订货周期T0=
365 2.67 (天) (3000 52) / 1140 .8
一年的总费用
3900000 3900000 TC 3Q 3 1140 .18 6841 .06(元) * Q 1140 .18
课堂练习：
某厂每月需要甲产品100件，生产速度为每月500件，每批 准备费用为5元，每月每件产品存储费为0.4元，求计算其 经济生产批量。
§3 允许缺货，补充时间极短
所谓允许缺货是指企业在存贮量降至0时，不急于补充等一段
时间，然后订货。顾客遇到缺货也不受损失或损失很小，并假设顾
客会耐心等待，直到新的补充到来。当新的补充一到，企业立即将 所缺的货物交付给这些顾客，即缺货部分不进入库存。如果允许缺
两次订货间隔时间=
2 Dc3c1 2 2 Dc3c1 365 T0 D / Q
§1 允许缺货，补充时间极短
例1. 益民食品批发部是个中型的批发公司，它为附近200多家食品零售店提供货源。批 发部的负责人为了减少存储的成本，他选择了某种品牌的方便面进行调查研究，制定正确 的存储策略。下面为过去12周的该品牌方便面的需求数据。
§1 允许缺货，补充时间极短
1 D TC Qc1 c3 ( Dc ) 单位时间内的总费用 2 Q 2 Dc3 Q 求极值得使总费用最小的订购批量为 c1
这是存贮论中著名的经济订购批量公式，也称哈里斯-威尔逊公式。 单位时间内的存贮费用= Dc c
3 1
单位时间内的订货费用=
单位时间内的总费用=
§3 允许缺货，补充时间极短
解：
1
将有关参数代入公式可得 2Dc3 2 4900 500 Q 70 c1 1000
* 1
250 250 T 3.57天 * D / Q1 4900 / 70 D 4900 每年订货次数为 * 70次 Q 70 1 * D 1 4900 一年的总费用为 Q c1 * c3 70 1000 500=70000元 2 Q 2 70
例1.
有一个生产和销售图书馆设备的公司，经营一种图书馆专用书架，基于以往
的销售记录和今后市场的预测，估计该书架今年一年的需求量为4900个。存贮一个书架 一年的费用为1000元。这种书架的生产能力为每年9800个，组织一次生产的费用为500
元。为了降低成本，该公司如何组织生产？要求求出最优的生产量，相应的周期，最少
每个周ห้องสมุดไป่ตู้T所需时间
c 显然， 2 时，允许缺货订购模型趋于经济订购批量模型。
§3 允许缺货，补充时间极短
例子：假设§2例子中图书馆设备公司不生产书架，只销售书架。 其销售的书架靠订货提供而且都能及时供货。该公司一年的需求量为 4900个，一个书架一年的存贮费用为1000元，每次订货费为500元， 每年的工作日为250天。 问： 1. 不允许缺货。求一年总费用最低的最优每次订货量及相应的周 期，每年的订购次数，一年的总费用。 2. 允许缺货。设一个书架缺货一年的缺货费为2000元。求一年总 费用最低的最优每次订货量及相应的周期，相应的最大缺货量，同期 中缺货的时间，不缺货的时间，每年的订购次数，一年的总费用。
周 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 总计 平均每周 需求（箱） 3000 3080 2960 2950 2990 3000 3020 3000 2980 3030 3000 2990 36000 3000
§1 允许缺货，补充时间极短
过去12周里每周的方便面需求量并不是一个常量，而以后时间里需求量 也会出现一些变动，但由于其方差相对来说很小，我们可以近似地把它看成 一个常量，即需求量每周为3000箱，这样的处理是合理的和必要的。 计算存贮费：每箱存贮费由两部分组成，第一部分是购买方便面所占用 资金的利息，如果资金是从银行贷款，则贷款利息就是第一部分的成本；如 果资金是自己的，则由于存贮方便面而不能把资金用于其他的投资，我们把 此资金的利息称为机会成本，第一部分的成本也应该等于同期的银行贷款利 息。方便面每箱30元，而银行贷款年利息为12%，所以每箱方便面存贮一年 要支付的利息款为3.6元。第二部分由贮存仓库的费用、保险费用、损耗费用、 管理费用等构成，经计算每箱方便面贮存一年要支付费用2.4元，这个费用占 方便面进价30元的8%。把这两部分相加，可知每箱方便面存贮一年的存贮费 为6元，即C1=6元/年· 箱，占每箱方便面进价的20%。 计算订货费：订货费指订一次货所支付的手续费、电话费、交通费、采 购人员的劳务费等，订货费与所订货的数量无关。这里批发部计算得每次的 订货费为C3=25元/次。
§1 允许缺货，补充时间极短
各参量之间的关系： 订货量 Q 总存贮费 越小 存贮费用越小 越大 存贮费用越大 存贮量Q与时间 t 的关系 总订购费 订购费用越大 订购费用越小
存贮量 Q
Q/2
0
T1
T2
T3
时间 t
§1 允许缺货，补充时间极短
这种存贮模型的特点： 1. 需求率 （单位时间的需求量）为 d； 2. 无限供货率（单位时间内入库的货物数量） ； 3. 不允许缺货； 4. 单位货物单位时间的存贮费 c1 ； 5. 每次的订货费 c3 ； 6. 每期初进行补充，即期初存贮量为Q 。 单位时间内总费用=单位时间内的存贮费用+单位时间内的订货费用 单位时间内的存贮费用=单位时间内购买货物所占用资金的利息 +贮存仓库的费用+保险费用+损耗费用+管理费用等 设每次的订货量为Q，由于补充的货物全部同时到位，故0时刻的存贮 量为Q。到T时刻存贮量为0，则0到T时间内的平均存贮量为Q/2。又设单位 时间内的总需求量为D，(单位货物的进价成本即货物单价为c)，则
§1 允许缺货，补充时间极短
一年的存贮费 每箱方便面一年的存贮费 平均存贮量 1 6 Q 3Q 2
一年的订货费 每次的订货费 每年订货次数 D c3 Q 3000 52 25 Q
一年的总费用 一年的存贮费+一年的订货费 3000 52 3900000 3Q 25 3Q Q Q
量为 (p-d) Q/2p 。故单位时间的存贮费为：
另一方面，设D为产品的单位时间需求量，则单位时间的生产准备费 为 c3 D /Q ，进而，单位时间的总费用TC为： 1 d D TC (1 ) Q c1 c3 2 p Q
1 d (1 ) Q c1 2 p
§1 允许缺货，补充时间较长 使TC达最小值的最佳生产量
时间
S
最大缺货量
T
§3 允许缺货，补充时间极短
这种存贮模型的特点： 1. 需求率 （单位时间的需求量）为 d； 2. 无限供货率； 3. 允许缺货，且最大缺货量为S； 4. 单位货物单位时间的存贮费 c1 ； 5. 每次的订货费 c3 ； 6.单位时间缺少一个单位货物所支付的单位缺货费c2 ； 7.当缺货量达到S时进行补充，且很快补充到最大存贮量。
Q 2 Dc3 d (1 )c1 p
单位时间的最低总费用
d TC 2 Dc3 (1 )c1 p

生产量为Q＊时的最大存贮量为
250 D / Q
d 2 Dc3 (1 ) p c1
每个周期所需时间为
显然， p 时，经济生产批量模型趋于经济订购批量 模型。
§2 允许缺货，补充时间较长
§2 允许缺货，补充时间较长
D 4900 每年的生产次数为 * 49.5 50 Q 99 250 计每年的工作日为250天，则相应周期为 5天 50 1 d * D 1 4900 一年最少的总费用为 1 Q c1 * c3 1 99 1000 50 500 49750元 2 p Q 2 9800