中考压轴题动态几何之线动形成的面积问题

中考压轴题动态几何之线动形成的面积问题

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射．

动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题．本专题原创编写双（多）动点形成的面积问题模拟题．

在中考压轴题中，线动形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类．[来源:学_科_网]

原创模拟预测题1．如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）

A．B．C．D．

【答案】B．

【解析】

试题分析：当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大；

当点P在D E上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；

当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；

当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；

故选B．

考点：动点问题的函数图象；分段函数；分类讨论；压轴题．

原创模拟预测题2．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）

A．M处B．N处C．P处D．Q处【答案】D．

考点：动点问题的函数图象．

原创模拟预测题3．如图1，已知直线

3

y x

=+与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线

在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；

（2）如图2，双曲线

k

y

x

=

与新函数的图象交于点C（1，a），点

D是线段AC上一动点（不

包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．

①试求△PAD的面积的最大值；

②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】（1）函数的最小值为0；函数图象的对称轴为直线x=﹣3；

3 (3)

3 (3)

x x

y

x x

+≥-

⎧

=⎨

--<-

⎩；（2）①

25

8；②四边形PAEC不能为平行四边形．

【解析】

试题解析：（1）如图1，均是正整数新函数的两条性质：①函数的最小值为0，②函数图象的对称轴为直线x=﹣3；

由题意得A点坐标为（﹣3，0）．分两种情况：①x≥﹣3时，显然y=x+3；

②当x＜﹣3时，设其解析式为y kx b

=+．在直线y=x+3中，当x=﹣4时，y=﹣1，则点（﹣

4，﹣1）关于x轴的对称点为（﹣4，1）．把（﹣4，1），（﹣3，0）代入y kx b

=+，得：

41

30

k b

k b

-+=

⎧

⎨

-+=

⎩，

解得：

1

3

k

b

=-

⎧

⎨

=-

⎩，∴y=﹣x﹣3．综上所述，新函数的解析式为

3 (3)

3 (3)

x x

y

x x

+≥-

⎧

=⎨

--<-

⎩；

（2）如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，∴a=1+3=4．∵点C（1，4）在双曲线

k y

x =

上，∴k=1×4=4，∴

4

y

x

=

．∵点D是线段AC上一动点（不包括端点），∴可设点D的坐

标为（m，m+3），且﹣3＜m＜1．∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，∴P（

4

3

m+，m+3），

∴PD=

4

3

m

m

-

+，∴△PAD的面积为

S=14

()(3)

23

m m

m

-⨯+

+=

2

13

2

22

m m

--+

=

2

1325

()

228

m

-++

，∵a=

1

2

-

＜0，∴当

m=

3

2

-

时，S有最大值，为

25

8，又∵﹣3＜

3

2

-

＜1，∴△PAD的面积的最大值为

25

8；

②在点D运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形．理由如下：