01章 质点运动学 习题解答

满足题中条件，在最高点相遇，必有vAy=vBy=0,xA=xB
令⑶, ⑷ 0, t v AO sin 30 / g ⑸, v BO v AO sin 30 / sin 60 ⑹ 令⑴ ⑵，得S (v AO cos 30 v BO cos 60)t ⑺ 把⑸, ⑹代入⑺中得：S v AO (cos 30 0.5ctg 60) 2.83m 2g
t 2 80t 1200 0, 求得 t 60 s,20 s
将t=60代入②中，v=40，不合题意，舍去；将t=20代入②中，v=40m/s，此即列车前进到1200m处的速率。
a dv / dt 2m / s 2 , a n v 2 / r 40 2 / 1500 1.067 m / s 2 a a a n (2) 2 1.067 2 2.267 m / s 2 a 1.067 a与v 所成夹角： arctg n arctg ( ) 152 a 2 1-21
dx v x dt x
1 ln(1 v0 bt ) b
x t v0 dt v dt 1 t d (1 v0 bt ) , dx 0 , 1 v0 bt 0 b 0 1 v0 bt 0 1 v 0 bt
1-16在195m长的坡道上，一人骑自行车以18km/h的速度和20cm/s2的加速度上坡，另一自行车同时以5.4km/h的初速度和0.2m/s2的加速度下坡，问： ⑴经多长时间两人相遇？⑵两人相遇时各走过多长的路程？ 解：以上坡者出发点为原点沿其前进方向建立坐标ox，用脚标1表示上坡者，用脚标2表示下坡者。 两人的加速度实际上是相同的： a1 a 2 0.2m / s 2
y 2 arccos( ) 45 | r | 2 z 与z轴夹角 arccos arccos 0 90 | r |
1-10
ˆ ，R为正常数，求t=0,π/2时的速度和加速度。⑵ ˆ R sin tˆ ⑴ r R cos t i j 2tk
ˆ ，求t=0,1时的速度和加速度（写出正交分解式）。 ˆ 4.5t 2 ˆ r 3t i j 6t 3 k ˆ ˆ R cos tˆ 解：⑴ v dr / dt R sin t i j 2k
S1 | x1 (25) x1 (0) | | x1 (30) x1 (25) | 2 x1 (25) x1 (30) 2(5 25 0.1 25 2 ) (5 30 0.1 30 2 ) 65m
对于下坡者，因为做单方向直线运动，所以30s内走过的路程：
2
1-19 迫击炮的发射角为60°发射速率150m/s，炮弹击中倾角为30°的山坡上的目标，发射点正 在山脚，求弹着点到发射点的距离OA. 解：以发射点为原点，建立图示坐标o-x，斜抛物体的轨迹方程为（见教材）：
y xtg g x2 2 2v0 cos
2
y
本题，α=60°，v0=150m/s，A点坐标xA,yA应满足轨迹方程，所以 ：
⑴令x1=x2，可求得相遇时间：5t=195-1.5t, t=195/6.5=30s ⑵对于上坡者，在相遇期间做的不一定是单方向直线运动，据上坡者的速度表达式： v1=50.2t，令v1=0，求得对应时刻t=25s，所以，上坡者在25s前是在上坡，但25s后却再下坡。 因此，上坡者在30s内走过的路程：
S | x(3) x(0) | | x(6) x(3) | x(6) 2 x(3) 3 18 2( 1 3 3 9 3) 18 36 54cm
115飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动，刚着陆时，t=0时速度为v0，且坐标x=0，假设 其加速度为 ax = - bvx2，b=常量，求飞机速度和坐标随时间的变化规律。
2 2
火车以200千米/小时的速度驶入圆形轨道，其半径为300米。司机一进入圆弧形轨道立即 减速，减速度为2g。求火车在何处的加速度最大？最大加速度是多少？ 解：沿火车运动的圆形轨道建立弧坐标os，t=0时，s=0,v=v0=200km/h=55.56m/s。据题意aτ= -2g，v=v0+aτt=v0 -2g t，an=v2/R=(v0 –2gt)2/R。∴a=(aτ2+an2)1/2=[4g2+(v0 –2gt)4/R2]1/2，显然，t=0时，a最大，
S 2 | x 2 (30) x 2 (0) | x 2 (0) x 2 (30) 195 60 135m
1-17 电梯以1.0m/s的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板0.50m高，问当小孩再次落到地板上 时，电梯下降了多长距离？ 解：以电梯为参考系，小孩相对电梯做竖直上抛运动，他从起跳到再次落到地板所需
x(m)
b
30° 120° 20 10 30
c
45°
t(s)
t图像中为曲线斜率。由于三种图像都是直线，因此三种运动都是匀速直线运动，设直线 与x轴正向夹角为α，则速度 v tg x / t 对于a种运动：
v tg120 3m / s, x |t 0 20m, t | x 0 20tg 30 11.55s
x x(6) x(0) 72m 路程S x 72cm
3 ⑵ v0 9 时，v x t 2 9, x 1 3 t 9t
x x(6) x(0) 18cm
令vx=0，由速度表达式可求出对应时刻t=3，由于3秒前质点沿x轴反向运动，3秒后质 点沿x轴正向运动，所以路程：
x 解： dv x a x dt bv x dt , v x dv x b dt , v x | v v0 bt
2
vx
2
t
1
v0
0
1 1 bt , v0 v x
1
vx

1 v0 bt v0 1 bt , , vx v0 v0 1 v0 bt
1-14质点从坐标原点出发时开始计时，沿x轴运动，其加速度ax
=
2t
(cms-
2)，求在下列两种情况下质点的运动学方程，出发后6s时质点的位置、在此期间所走过的
位移及路程。⑴初速度v0=0；⑵初速度v0的大小为9cm/s，方向与加速度方向相反。 解： dv x a x dt 2tdt ,
x
vx
初始条件：t 0 时，x1 x10 0, x 2 x 20 195 v1 v10 18km / h 5m / s, v 2 v 20 5.4km / h 1.5m / s
根据匀变速直线运动公式：
v10
v20
x 195 a2
2 2 x1 v10 t 1 0 2 a1t 5t 0.1t a1 2 2 x 2 195 v 20 t 1 a t 195 1 . 5 t 0 . 1 t 2 2
第1章 质点运动学习题解答
1-9
ˆ .⑴求质点轨迹；⑵求自t= ˆ e 2t ˆ 质点运动学方程为 r e 2t i j 2k
-
1到t=1质点的位移。 解：⑴由运动学方程可知： x e 2t , y e 2t , z 2, xy 1 ，所以，质点是在z=2平面内 的第一像限的一条双曲线上运动。 ˆ (e 2 e 2 ) ˆ ⑵ r r (1) r (1) (e 2 e 2 )i j
y A x A tg 60 g 2v0 cos 60
2 2
v0
60° 30°
A x
x A 3x A
2
2g v0
2
xA ①
3 2
2
另外，根据图中几何关系，可知： x A OA cos 30
Leabharlann Baidu
OA
y A OA sin 30 1 2 OA ，代入①中，有：
1 2
2v0 2 150 2 OA OA OA , OA 1531m 2 3g 3 9.8 2v0
⑵
ˆ, a ˆ； ˆ 9tˆ v dr / dt 3 i j 18t 2 k dv / dt 9 ˆ j 36tk
ˆ, a ˆ ˆ, a ˆ9ˆ v |t 0 3i |t 0 9 ˆ j , v |t 1 3i j 18k |t 1 9 ˆ j 36k
ˆ, a ˆ R sin tˆ ˆ, a dv / dt R cos t i j. v | t 0 R ˆ j 2k |t 0 R i ˆ, a ˆ 2k v |t / 2 R i |t / 2 R ˆ j
ˆ 7.2537 ˆ 7.2537i j 。所以，位移大小：
| r | (x) 2 (y ) 2 (7.2537) 2 7.2537 2 7.2537 2 , 与x轴夹角 arccos 与y轴夹角 arccos x 2 ) 135 arccos( | r | 2
a x a, a v x a, a a x a
113图中a、b和c表示质点沿直线运动三种不同情况下的xt图像，试说明每种运动的特点（即速度，计时起点时质点 的位置坐标，质点位于坐标原点的时刻） 解：质点直线运动的速度
v dx / dt ，在x-
a
20 10 0 -10 -20
对于b种运动：
v tg 30 3 / 3ms 1 , x |t 0 10m, t | x 0 10 / tg 30 17.32 s
对于c种运动：
v tg 45 1ms 1 , t | x 0 25s, x |t 0 25tg 45 25m
3 2
3g
2
2
120列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时
北
间范围内，其运动学方程为S=80tv O
S
东 an α a
τ
aτ
t2（m,s），t=0时，列车在图中O点，此圆弧形轨道的半径r=1500m，求列车驶过O点以后 前进至1200m处的速率及加速度。 解：S=80t-t2 ① v=dS/dt=80-2t ② 令S=1200，由①可求得对应时间：
112质点直线运动的运动学方程为x=acost,a为正常数，求质点速度和加速度，并讨论运动 特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等） 解： x a cos t , v x dx / dt a sin t , a x dv x / dt a cos t 显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围：
2 时间，是他从最高处自由下落到地板所需时间的2倍。由自由落体运动公式： h 1 2 gt ，
可求得从最高出落到地板所需时间： t 2 g / h 2 9.8 / 0.5 0.32 s ，所以小孩做竖直 上抛所需时间为0.64s，在此时间内电梯对地下落距离： L = 1.0×0.64 = 0.64 m 1-18 在同一竖直面内的同一水平线上A、B两点分别以30º、60º为发射角同时抛出两球，欲使 两小球相遇时都在自己的轨道的最高点，求A、B两点间的距离。已知小球在A点的发射速 度vA=9.8米/秒。
解：以A点为原点建立图示坐标系，取发射时刻为计时起点，两点间距离为S，初始 条件如图所示。 据斜抛规律有：
x A v AO cos 30t
⑴
x B v BO cos 60t S v By v BO sin 60 gt
⑵ ⑷
v Ay v AO sin 30 gt ⑶
v0
2 dv x 2 tdt , v x v0 t 0
t
3 dx v x dt (v0 t 2 )dt , dx v0 dt t 2 dt , x v0 t 1 3t 0 0 0
t
t
3 2 ⑴ v0 0 时，v x t 2 , x 1 x(6) 1 3t ; 3 6 72cm