高考数学文科试题汇编三角函数

数 学

C 单元 三角函数 C1 角的概念及任意角的三角函数

2．C1[2014·全国卷] 已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( )

A.45

B.35 C ．－35 D ．－45

2．D [解析] 根据题意，cos α＝－4（－4）2＋3

2＝－4

5.

C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式

18．C2，C4，C6[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．

(1)求f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

5π4的值；

(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．

18．解：方法一：

(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝

⎛⎭⎪⎫

sin 5π4＋cos 5π4

＝－2cos π4⎝

⎛⎭⎪⎫

－sin π4－cos π4＝2.

(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1

＝2sin ⎝

⎛⎭⎪⎫

2x ＋π4＋1，

所以T ＝2π

2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π

2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π

8，k ∈Z .

所以f (x )的单调递增区间为⎣

⎢⎡⎦⎥⎤

k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .

方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1

＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

2x ＋π4＋1.

(1)f ⎝

⎛⎭

⎪⎫5π

4

＝2sin

11π4＋1 ＝2sin π

4＋1 ＝2.

(2)因为T ＝2π

2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π

2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π

8，k ∈Z .

所以f (x )的单调递增区间为⎣

⎢⎡⎦⎥⎤

k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .

2．C2 、C6[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( ) A ．sin α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin 2α＞0 D ．cos 2α＞0 2．C [解析]

因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α

1＋tan 2α>0，所以选C.

17．C2，C5，C8[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝6

3，B ＝A ＋π2.

(1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中， 由题意知，sin A ＝1－cos 2

A ＝3

3.

又因为B ＝A ＋π

2，

所以sin B ＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫A ＋π2＝cos A ＝6

3.

由正弦定理可得，b ＝a sin B

sin A ＝3³6

3

33

＝3 2.

(2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝

⎛⎭⎪⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.

由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，

所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )

＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33³⎝ ⎛⎭⎪⎫

－33＋63³63

＝1

3.

因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12³3³32³13＝32

2.

C3 三角函数的图象与性质

16．C8、C3[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值．

16．解： 由三角形面积公式，得 12³3³1²sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2

A ＝±

1－89＝±13.

①当cos A ＝1

3时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12

－2³1³3³1

3＝8，

所以a ＝2 2.

②当cos A ＝－1

3时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12

－2³1³3³⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－13＝12，所以a ＝2

3.

7．C3[2014·福建卷] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π

2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列说法正确的是( )

A ．y ＝f (x )是奇函数

B ．y ＝f (x )的周期为π

C ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π

2对称

D ．y ＝f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－π2，0对称

7．D [解析] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π

2个单位后，得

到函数y ＝f (x )＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫

x ＋π2的图像，即f (x )＝cos x ．由余弦函数的图像

与性质知，f (x )是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x ＝

k π(k ∈Z )对称，关于点⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2＋k π，0(k ∈Z )对称，故选D.

图1-2

5．C3、C7[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π

3的交点，则φ的值是________．