几种常见的概率分布率

u
❖对于一般正态分布，要先进行标准化，再查表；
标准化的公式为： u = x -
u
=
x-
=
9.2 10
5
= 0.42
正态分布 σ= 10
标准正态分布 σ=1
μ=5 9.2
x
μ=0 0.42 u
例3.7 查标准正态分布u＝-0.82 及u＝1.15时的F（u）的值 例3.8 随机变量u服从正态分布N（0，1），问随机变量u的值落
在生物统计学中，正态分布占有极其重要的地位。许多生物学 现象所产生的数据，都服从正态分布。
一、 正态分布（x—N (μ,σ2)）的密度函数与分布函数
➢ 正态分布的规律是数据分布集
中在平均数附近，并且在平均
数的两侧成对称分布。正态分
布密度函数的图像，称为正态
曲线。
➢ 密度函数： f (x) =
1
正态曲线
p(x)
=
cnx
px (1-
p)n-x
=
n! x!(n -
x)!
p x (1-
p)n-x
= n(n -1)(n - 2)(n - x 1) px (1- p)n-x
=
1(1-
1
)(1-
x! x -1)
(np) x
(1-
p)n-x
（将系数的分子分母同乘以nx）
n
n
x!
= x (1- p)n-x
=
x!
2
=
1
概率函数内的λ ，不但是它的平均数，而且是
它的方差。
λ很大时， γ1和γ2则接近于0，这时的泊松分布近
似于正态分布。
三、 泊松分布应用实例
例3.5 在麦田中，平均每10m2有一株杂草，问每 100m2麦田中，有0株、1株、2株、…杂草的概率 是多少？
解： 先求出每100m2麦田中，平均杂草数μ μ＝ 100/10＝ 10株 将μ代入泊松分布的概率密度函数中， p(x) = 10x/(x!e10),（ e=2.71828） 即可求出x＝ 0，1，2，… 时所相应的概率。
在（0，1.21）区间的概率？ 利用公式P（0<U<u）=F（u）－0.5
例3.9 已知随机变量u服从正态分布N（0，1），问随机变量u的
值落在（-1.96，1.96）区间的概率是多少？
利用公式 P（∣U∣<u）=1－ 2F（－u） 或 P（u1<U<u2）=F（u2）－ F（u1）
例3.10 已知某高粱品种的株高X服从正态分布N（156.2，
标轴从－∞到u所夹的面积，该曲线下的面积即表示随机 变量U 落入区间（－∞，u）的概率；
➢ 标准正态分布查表常用的几个关系式：
• P（0<U <u1）=F（u1）－0.5 • P（U >u1）=F（－u1）=1－F（u1） • P（∣U∣>u1）=2F（－u1） • P（∣U∣<u1）=1－ 2F（－u1） • P（u1<U <u2）=F（u2）－F（u1）
本容量或试验次数却往往很大，即有很小的p值和很 大的n值。这时二项分布就变成另外一种特殊的分布，
即泊松分布。
如，显微镜视野内染色体有变异的细胞计数、单位 容积的水中细菌数目的分布、作物种子内杂草的分布 以及样方内少见植物的个体数等都属于泊松分布。
➢ 其概率函数可由二项分布的概率函数推导。
一、泊松分布概率函数的推导
➢ 上侧分位数：P(u>ua)=α时的ua值； ➢ 下侧分位数： P(u<-ua)=α时的ua值； ➢ 双侧分位数： P(∣u∣>ua/2 )=α时的ua值（从附
表2中以α /2查出的ua即可)；
大数定律与中心极限定理的应用
• 样本容量越大，样本统计数与总体参数之差越小。 • 对于容量大于30的样本，样本均值的分布可以较好地用一
➢ x=μ 时，f(x) 具有最大值，其值为
1 2
；
➢ σ的大小，决定曲线的“胖”、“瘦”程度（展开程度），σ越
小，曲线越“瘦”，数据越集中，σ越大，曲线越“胖”，数
据越分散。
➢ σ 固定时，μ值决定曲线的位置，当μ增大时曲线向右平移，当μ
减少时曲线向左平移，但曲线形状不变。
二、 标准正态分布
➢μ=0，σ=1时的正态分布称为标准正态分布。
数n 和概率P，因此其图形变化趋势与这两个参数有关。
1
0.5
0.8
γ1＝3.11
0.4
0.5
γ1＝0.98
0.4
γ1＝0.44
0.6
γ2＝9.50
0.3
0.4
0.2
γ2＝0.95
0.3
0.2
γ2＝0.19
0.2
0.1
0.1
0
0
0
0 2 4 6 8 10
0
25 50 75 100
0
100
200
300
兔出现的概率。 在[p＋(1－p)]n的展开式中只有第一项pn无棕色短毛兔
出现，因此n值可由pn＝1－0.99求出。
pn ＝（15/16）n ＝ 0.01
n（lg15－lg16）＝ lg0.01 -0.02803n ＝－2.00000 n ＝71.4
二项分布的应用条件有三：
（1）各观察单位只具有互相对立的一种结果，如阳性 或阴性， 生存或死亡等， 属于二项分类资料；
0 25 50 75 100
n=10，p＝0.50
n=100，p＝0.50
0.02 0.01
0 0
100 200 300 400 500 n=500，p＝0.50
二、 二项分布应用实例
例3.2 用棕色正常毛(bbRR)的家兔和黑色短毛(BBrr)兔杂交， F1代为黑色正常毛长的家兔(BbRr), F1代自交，F2代表型比为： 9/16B_R_ : 3/16B_rr : 3/16bbR_ : 1/16bbrr。问最少需要多少 F解2代：家设兔p，为才非能棕色以短99毛％兔的出概现率的得概到率一，个则棕1－色p短就为毛棕兔色（短bb毛rr）？
➢ 例：例3.1 注意： 1)放回式抽样适用于二项分布，非放回式抽样适
用于超几何分布；
2)通式为： P(x) = cnx p x (1- p)n-x
n = 试验次数； x = 在n次试验中事件A出现的次数 p= 事件A发生的概率（每次试验都是恒定的）
1－p= 事件 A发生的概率
P(x) = X 的概率函数为 P（X=x）； F(x) = P( X≤x )
（2）已知发生某一结果 (如死亡) 的概率为p，其对立 结果的概率则为1-p=q，实际中要求 p 是从大量观察中
获得的比较稳定的数值；
（3）n个观察单位的观察结果互相独立，即每个观察
单位的观察结果不会影响到其它观察单位的观察结果。
3. 2 泊松分布P(λ)
➢ 在生物学研究中，有许多事件出现的概率很小，而样
合计 400 1.00 1.00 400
• 注意，二项分布的应用条件也是泊松分布的应用条件。比
如二项分布要求n 次试验是相互独立的，这也是泊松分布
的要求。然而一些具有传染性的罕见疾病的发病数，因为 首例发生之后可成为传染源，会影响到后续病例的发生， 所以不符合泊松分布的应用条件。
3. 3 正态分布
一、 服从二项分布的随机变量的特征数
➢ 平均数：μ＝np ，μ＝ p （用比率表示时）
➢ 方差： 2 = np(1- p), 2 = p(1- p) （用比率表示时）
n
➢ 偏斜度：
1 =
1- 2 p np(1- p)
➢ 峭度：
2
=
1 np(1 -
p)
-
6 n
从以上公式可以看出二项分布决定于两个参考数：试验次
4.822），求：
（1）X<161cm的概率； （2）X>164cm的概率； （3）152<X<162的概率。
x-
=
161 - 156.2 4.82
=
1.00
x
=
164 - 156.2 4.82
=
1.62
x
=
152 - 156.2 4.82
=
-0.87
x
=
162 - 156.2 4.82
=
1.20
四、 正态分布的单侧分位数和双侧分位数
400
500
n=10，p＝0.01 0.5
n=100，p＝0.01 0.2
0.1
n=500，p＝0.01
0.4
γ1＝0.84 0.15
γ1＝0.27
0.08
γ1＝0.12
0.3
γ2＝0.51
0.1
0.2
γ2＝0.05
0.06
0.04
γ2＝0.01
0.1
n=10，p＝0.10
个正态分布近似（其中均值为μ ，即，样本均值的平均
值，标准差为 n ，即，样本均值的标准差）样本容 量越大，近似的效果越好。 • 如果原始总体就是正态分布，则对于任意样本容量n，样 本均值都将是正态分布的。
EXCEL在本章内容的应用
EXCEL电子表格提供的粘帖函数
BINOMDIST
计算二项式分布的概率值
➢密度函数： f (u) =
1
-u2
e 2 ,- u
2
➢分布函数：
F(u) = P(U u) =
1
u - 2
e 2 d
2 -
u= x-
标准正态分布有以下特性:
➢ μ=0时，概率密度值最大； ➢ 概率密度曲线向左、向右无限延伸，以x轴为渐近线；左右对
称
➢ u =1和u =－1是概率分布曲线的两个拐点；
➢ 曲线与横坐标轴所夹的图形面积为1； ➢ 累积分布函数曲线从－∞到0平稳上升，围绕点(0,0.5)对称；
➢ 标准正态分布的偏斜度γ1和峭度γ2均为零。
以下一些特征值很重要：
-3 -2 -1
1 23
68.27%
95.45%
99.73%
P（-1≤u＜1）=0.6826 P（-2≤u＜2）=0.9545 P（-3≤u＜3）=0.9973
e-
(
x- )2 2 2
,-
x
,
0
2
➢ 分布（累积）函数：
x
F(x) = p(X x) = f (u)du =
1
e du x
-
(u- )2 2 2
-
2 -
正态分布密度曲线特点：
➢ 密度曲线以x=μ直线为对称；
➢ x=σ和x=-σ所确定的点为曲线的两个“拐点”；
➢ 曲线向左、向右无限延伸，以x轴为渐近线；
第三章 几种常见的概率分布
离散型概率分布
• 二项分布（binomial distribution) • 泊松分布（poisson distribution) • 超几何分布（hypergeometric probability
distritution）
• 负二项分布（Negative binomial distribution）
以下一些特征值很重要：
-2.58 -1.96 -1.645 1.645 1.96 2.58
90% 95% 99% P（-1.96≤u＜1.96）=0.95 P (-2.58≤u＜2.58) =0.99
三、 正态分布表的查法
➢ 对于标准正态分布，其累积分布函数值F（u）可直接查
表（书p315附表1）得到，其值等于标准正态曲线与横坐
0.3
0.2
0 10 0
0.1 0.08 0.06
25 50 75 100 n=100，p＝0.10
γ1＝0 γ2＝－0.02
0 0
0.05 0.04 0.03
100 200 300 400 500 n=500，p＝0.10
γ1＝0 γ2＝0
0.1
γ1＝0
0.04
γ2＝－0.20
0.02
0
0
0 2 4 6 8 10
3.1 二项分布 B(n, p)
贝努利试验（Bernoulli trial） ： 我们把只有两种可能观测值（每次试验只可能是两个对立
事件之一）的随机试验统称为贝努利试验。这种试验在实际中 广泛存在，如观察某一实验动物的卵孵化与否、某一实验动物 是雌性还是雄性、实验反应是阴性还是阳性等。 n次独立地贝努利试验称为n重贝努利试验，其试验结果的分 布（一种结果出现x次的概率是多少的分布）即为二项分布。 应用二项分布的重要条件是：每一种试验结果在每次试验中 都有恒定的概率，各试验之间是重复独立的。
• 代入泊松分布公式
P( x = k ) = 0.5k e -0.5 k!
1ml水中细菌数
实际次数f
频率 概率 理论频数
0 243 0.6075 0.6065 242.60
1 120 0.3000 0.3033 121.32
2 31 0.0775 0.0758 30.32
3 6 0.0150 0.0144 5.76
x
[(1-
-1
p) ]p - p(n-x)
（当n→∞时，系数的极限为1，且nφ =μ）
x!
= x e-
x!
1
-1
e = lim (1 z) z，lim (1 - p) p = e
z0
p0
二、 服从泊松分布的随机变量的特征数
➢ 平均数：μ=λ ➢ 方差： σ2 = λ
➢ 偏斜度： 1=
1
➢
峭度：
例：为监测饮用水的污染情况， 现检验某社区每毫 升饮用水中细菌数 ， 共得400个记录如下：
1ml水中细菌数 0
1
2
3
次数f
243 120
31
6
合计 400
试分析饮用水中细菌数的分布是否服从泊松分布，计算每毫 升水中细菌数的概率及理论次数并将頻率分布与泊松分布作 直观比较。 • 解：经计算得每毫升水中平均细菌数为0.500 x ＝0.5，s2＝ 0.496，两者相接近，可认为服从泊松分布