2014年浙江省高考文科数学卷(含答案)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数 学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、设集合{|2},{|5}S x x T x x =≥=≤，则S T ＝（ ）
A ．(,5]-∞
B ．[2,)+∞
C ．(2,5)
D ．[2,5]
2、设四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
3、某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的的体积是（ ） A ．72 cm 3 B ．90 cm 3 C ．108 cm 3 D ．138 cm 3
4、为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函
数y x =的图像（ ） A ．向右平移
12π个单位 B ．向右平移4
π
个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移4
π
个单位
5、已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是 A ．－2 B ．－4 C ．－6 D ．－8 （ ）
6、设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面（ ）
A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥
B ．若//m β，βα⊥则m α⊥
C ．若,,m n n ββα⊥⊥⊥则m α⊥
D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥ 7、已知函数则且,3)3()2()1(0,)(2
3
≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ） A ．3≤c B ．63≤<c C ．96≤<c D ．9>c
8、在同一直角坐标系中，函数()a f x x =（0x >），()l o g a gx
x =的图象可能是（ ）
俯视图
9、设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，||b ta +
是最小值为1（ ）
A ．若θ确定，则||a 唯一确定
B ．若θ确定，则||b
唯一确定 C ．若||a 确定，则θ唯一确定 D ．若||b
确定，则θ唯一确定
10、如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处
进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角）。

若15AB m =，25AC m =，30BCM ∠=︒则tan θ的最大值（ ） A
B
C
D
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分. 11、已知i 是虚数单位，计算
2
1(1)i
i -+＝____________；
12、若实数,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，则x y +的取值范围是
_____________；
13、若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是__________；
14、在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖，甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是______________；
15、设函数2222, 0
(), 0
x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若(())2f f a =，则a ＝
_________；
16、已知实数,,a b c 满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则a 的最大值是____________；
17、设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线分别交于
点A 、B ，若点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是______________.
三．解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18、(本题满分14分)
在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c
，已知
2
4sin 4sin sin 22
A B
A B -+=
否
（1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值。

19、(本题满分14分)
已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S ⋅= （1）求d 及n S ；
（2）求,m k （*,m k N ∈）的值，使得1265m m m m k a a a a +++++++=
20、(本题满分15分)
如图，在四棱锥A —BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ；90CDE BED ∠=∠=︒，2AB CD ==，1DE BE ==
，AC = （1）证明：AC ⊥平面BCDE ；
（2）求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值。

21、(本题满分15分)
已知函数()33||(0)f x x x a a =+->，若()f x 在[1,1]-上的最小值记为()g a 。

（1）求()g a ；
（2）证明：当[1,1]x ∈-时，恒有()()4f x g a ≤+
22、(本题满分14分)
已知ABP ∆的三个顶点在抛物线C ：24x y =上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中
点，3PF FM = ；
（1）若||3PF =，求点M 的坐标； （2）求ABP ∆面积的最大值。

D E
B
C
2014年高考浙江卷文科数学参考答案
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.【答案】D
【解析】 依题意[2,5]S T = ，故选D. 点评：本题考查结合的交运算，容易题. 2.【答案】A
【解析】若四边形ABCD 为菱形，则对角线BD AC ⊥；反之若BD AC ⊥，则四边形比一定是平行四边形，故“四边形ABCD 为菱形”是“BD AC ⊥”的充分不必要条件，选A. 点评：本题考查平行四边形、 菱形的性质，充分条件与必要条件判断，容易题. 3.【答案】B
【解析】由三视图知，原几何体是由一个长方体与一个三棱柱组成，其体积为
)(903432
1
6432cm V =⨯⨯⨯+
⨯⨯=，故选B. 点评：本题考查根据三视图还原几何体，求原几何体的体积，容易题. 4.【答案】C
【解析】因为)4
3sin(23cos 3sin π
+
=+=x x x y ，所以将函数x y 3sin 2=的图象
向左平移
12π个单位长得函数3()12
y x π
=+，即得函数x x y 3cos 3sin +=的图象，选C. 点评：本题考查三角函数的图象的平移变换， 公式)4
sin(2cos sin π
+
=+x x x 的
运用，容易题. 5.【答案】B
【解析】由02222=+-++a y x y x 配方得a y x -=-++2)1()1(2
2，所以圆心坐标为
)1,1(-，半径a r -=22，由圆心到直线02=++y x 的距离为
22
|
211|=++-，所以a -=+2)2(222，解得4-=a ，故选B.
点评：本题考查直线与圆相交，点到直线的距离公式的运用，容易题. 6.【答案】C
5
【解析】对A ，若n m ⊥，α//n ，则α⊂m 或α//m 或α⊥m ，错误； 对B ，若β//m ，αβ⊥，则α⊂m 或α//m 或α⊥m ，错误； 对C ，若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥m ，正确；
对D ，若n m ⊥，β⊥n ，αβ⊥，则α⊥m 或α⊂m 或α//m ，错误. 故选C. 点评：本题考查空间中的线线、线面、面面的闻之关系，容易题. 7.【答案】C
【解析】 设k f f f =-=-=-)3()2()1(，则一元二次方程0)(=-k x f 有三个根1-、
2-、3-，所以)3)(2(1()(+++=-x x x a k x f ， 由于)(x f 的最高次项的系数为1，
所以1=a ，所以966≤+=<k c . 点评：本题考查函数与方程的关系，中等题. 8.【答案】D
【解析】对A ，没有幂函数的图象，；对B,)0()(>=x x x f a
中1>a ，x x g a log )(=中
10<<a ，不符合题题；对C ，)0()(>=x x x f a 中10<<a ，x x g a log )(=中1>a ，
不符合题题；对D ，)0()(>=x x x f a
中10<<a ，x x g a log )(=中10<<a ，符合题题；故选D. 点评：本题考查幂函数与对数函数的图象判断，容易题. 9.【答案】D
【解析】依题意，对任意实数t ，1||≥+t a b 恒成立，所以
1cos ||||2)(≥⋅⋅⋅++θb a b a 22t t 恒成立，若θ为定值，则当||b 为定值时二次函数才有
最小值. 故选B. 点评：本题考查平面向量的夹角、模，二次函数的最值，难度中等. 10.【答案】C
【解析】由勾股定理知，20=BC ，过点P 作BC P P ⊥'交BC 于P '，连结P A '， 则P A P P '
'=
θtan ，设m P B ='，则m P C -='20，因为
30=∠BCM ， 所以222252033225)
20(33
tan m
m m m +-⋅=+-=θ，所以当0=x 时去的最大值341520=， 故θtan 的最大值为
9
3
43334=
⨯. 考点：本题考查函数的奇函数的性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等.
二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.请将答案天灾答题卡对应题号的位
置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 11.【答案】1122
i -
- 【解析】 因为211111
(1)2222
i i i i i i --+===--+-. 点评：本题考查复数的运算，容易题.
12.【答案】2
【解析】不等式组表示的平面区域如图中ABC ∆，令y x z +=，解方程组
24010x y x y +-≤⎧⎨
--≤⎩得)1,2(C ，解方程组101
x y x --≤⎧⎨≥⎩得)0,1(B ，平移直线y x z +=经过点C 使得z 取得最大值，即312=+=Max z ，当直线y x z +=经过点)0,1(B 使得z 取得最小
值，即101min =+=z ，故y x +的取值范围是]3,1[.
点评：本题考查不等式组表示的平面区域，求目标函数的最值，容易题. 13.【答案】6
【解析】当0=S ，1=i ，则第一次运行1102=+⨯=S ，211=+=i ； 第二次运行4112=+⨯=S ，312=+=i ； 第三次运行11342=+⨯=S ，413=+=i ； 第四次运行264112=+⨯=S ，514=+=i ；
第五次运行50575262>=+⨯=S ，615=+=i 终止循环，故输出6=i . 点评：本题考查程序框图，直到型循环结构，容易题. 14.【答案】
3
1
【解析】基本事件的总数是6123=⨯⨯，甲乙两人各抽取一张，两人都中奖只有2种情况，由古典概型公式知，所求的概率3
1
62==p . 点评：本题考查古典概型，容易题. 15.【答案】4
【解析】若0≤a ，无解；若0>a ，解得2±=a .故2±=a 点评：本题考查分段函数，复合函数，容易题. 16.【答案】
3
3
2
【解析】因为0=++c b a ，所以)(b a c +-=，所以1)]([222=+-++b a b a ， 所以0122222=-++a ab b ，故实数a 的最大值为3
3
2. 点评：本题考一元二次方程的根的判别式，容易题. 17.【答案】
2
5 【解析】由双曲线的方程数知，其渐近线方程为x a b y =与x a
b
y -=，分别与直线03=+-m y x 联立方程组，
解得)3,3(b a bm b a am A ----，)3,3(b
a bm
b a am B ++-，由||||PB PA =，设AB 的中点为E ，因为PE 与直线03=+-m y x 垂直，所以)(8822222a
c b a -==，所以2
5
=
e . 点评：本题考查双曲线的性质、渐近线与离心率，中等题. 三. 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。