3-1一维单原子链振动

w/(4/m)1/2
1.0
First Brillouin
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-/a
0
/a
q
2/a
6
格波物理意义
格波 简谐近似下，格波是简谐平面波 un Aeitnaq 格波意义： 1. 对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动 2. 对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相
格波的波形图（格波意义2）
绝热近似
用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来描述电子对离子运动的 影响。
—— 将电子的运动和离子的运动分开
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的研究
—— 先计算原子之间的相互作用力
—— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
3
一维单原子链运动
一维单原子链晶格周期为a，原子质量m，相对各自平衡位置的
a
0
aa
势能展式中保留到二阶——简谐近似n-2 n-1
n
n+1
n+2
：力常数
U
1 2
d 2U dr 2
a
2
1 2
2
d 2U dr 2
a
f dU ?
dr
4
一维单原子链运动
只考虑最近邻原子间的相互作用:
第n个原子受力
n-2 n-1
n
n+1 n+2
fn n1 n1 2n
色散关系： 2 sin 1 aq
q
m2
频率极大值和极小值 min 0,max 2 / m 只有频率在 0 2 / m 之间的格波才能在晶体中传播，其它
频率的格波被强烈衰减（低频滤波）
10
长波极限
格波 长波极限情况 (q 0, a)
当 q→0 时 a q
m
w/(4m)1/2
向上的箭头代表原子沿X轴正向振动 向下的箭头代表原子沿X轴负向振动
q的物理意义：
波的传播方向（即沿q的方向）上， naq表示相位差
7
格波物理意义
格波 ——格波解
un Aeitnaq
晶体中所有原子共同参与的一种频率相同、振幅相等的振动，不
同原子间存在位相差，每一确定q的解代表波长为2/|q|的集体运
强烈地影响着物质的热学性质、电学性质、光学性质、超导电性、 磁性、结构相变等物理性质。
杜隆－珀替经验规律 能量均分原理, 趋于热平衡时，每个自由度的平均(动能)能量为kBT/2。 简谐振子的平均能量为kBT[平均动能+平均势能](从运动方程得出) 对N个原子，共有3N个简正模式，在温度T平衡时，晶格振动贡献 的内能为 1 mol晶体的E 定 3容N比kBT热 但实际上，低温下比热随温度CV的,m降 低3N而kB降低3N。0kB
位移分别为un 平衡位置时，两个原子间的互作用势能 U(a)
发生相对位移 = un–un-1后，相互作用势能U(r)= U(a+)
U
(r)
U
(a)
dU dr
a
1 2
d 2U dr 2
2 High
a
items
考虑到平衡条件
n-2 n-1
n
n+1 n+2
U (a)
constant,
dU dr
第n个原子的运动方程
aa
n-2
n-1
n
n+1
n+2
m
2un t 2
n1 n1 2n
：力常数
—— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同
5
运动方程的解
试解（格波方程）
un Aeitnaq
naq — 第n个原子振动位相因子 带入运动方程
m 2un
t 2
n1 n1 2n
8
不同波长的格波
如果 q q 2 l
a
l为整数，则 q 和 q' 描述同一晶格振动状态
例如 波长
q1
2a
2 1
, q2
5
2a
2 2
, q2
q1
2
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
4a, 2
4 5
a
格波1(Red)相邻原子位相差
aq1 / 2
格波2(Green)相邻原子位相差
aq2 2 / 2
9
第一Brillouin区
——两种波矢的格波中，原子的振动完全相同。
相邻原子的位相差取
aq
波矢取
q
a
a
——第一Brillouin区
1.0
First Brillouin
0.8
0.6
q 1
q 2
/(4m)1/2
——只研究第一Brillouin晶格振动问题 0.4
0.2
——其它区域不能提供新的物理内容
0.0
-/a
0
/a
2/a
§3 晶格振动和热学性质
3 Crystal Vibrations and Thermal Properites
➢ 一维单原子链
➢ 一维双原子链 ➢ 简正坐标 ➢ 三维晶格振动 ➢ 晶格比热 ➢ 晶体的热力学函数
本章研究内容
晶格振动的研究 —— 晶体的热学性质，热运动是晶体宏观性质的 表现 。研究固体宏观性质和微观过程的重要基础，
动，这种振动以波的形式在整个晶体中传播，称为格波。
格波波长： 2 / q
格波波矢： q 2 n
波矢表示波数，方向表示波的传播方向。q取不同的值，相邻两原 子间的振动位相差不同，则晶格振动状态不同
不同原子间位相差： n ' aq naq (n ' n)aq 相邻原子的位相差： (n 1)aq naq aq
m 2 Aeitnaq Aeitnaqiaq Aeitnaqiaq 2 Aeit naq
化简得到 m2 eiaq eiaq 2 2 cos aq 1
2 sin 1 aq
m2
解得色散关系——波的频率-波矢关系
真空中光波 = cq，空气中声波 = vq
而格波的色散关系是非线性的。
热膨胀、传导和晶格振动的非 3谐效6.0应2 密10切23相1关.3。81023 24.9
2
绝热近似
讨论晶体结构时，我们把晶体内的原子看作是处于自己的平衡位置 上固定不动的，但实际上，物质是在不断运动的，量子力学告诉我 们，即使达到绝对零度，仍具有零点能的振动。
它强烈地影响着物质的比热、热导、热膨胀、光反射等物理性质。
/a 11
长波极限
格波 长波极限情况 (q 0, a)
——声学波（accoustic wave）
相邻两个原子之间的位相差 q(n 1)a qna qa 0
此时，一个波长内包含许多原子，晶格可看作连续介质
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
-/a
0
q
此时，一维单原子格波的色散关系与连续介质中弹性波的
色散关系一致
vElastic q
弹性波速（相速）为
vq a
m
a
m/a
K
其中K， 为连续介质的弹性模量和介质密度
—— 长波极限下，一维单原子晶格格波可以看作是弹性波
—— 晶格可以看成是连续介质