贝塞尔方程

由周期性边界条件 u (r , , t ) u (r , 2 , t ), 得 ( ) ( 2 ). ( ) b ( ) 0 得固有值问题 ( ) ( 2 ) '( ) '( 2 ) 求解该固有值问题可得常数b必为非负整数 b n 2 , n 0,1, 2,...
第四章-贝塞尔方程
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1 1 1 2 2 k y ( x) a0 [1 ( x ) ( x ) ... ( 1) ( x) 2 k ...] 2! 4! (2k )! a1 1 1 1 3 5 k [( x ) ( x ) ( x ) ... (1) ( x ) 2 k 1 ...] 3! 5! (2k 1) !
第四章-贝塞尔方程
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2u 2 u 回顾：二维拉普拉斯方程 u 2 2 0 x y 在极坐标系 (r , ) x r cos , y r sin ,
下转化为
u 1 u 1 u 2 0. 2 2 r r r r
2
2
于是在极坐标系下, 圆形膜瞬时温度的定解问题变为
第四章-贝塞尔方程
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R(r ) 1 R(r ) 1 ( ) T (t ) 2 2 R(r ) r R(r ) r ( ) a T (t )
于是得到
2 T (t ) a T (t ) 0
R (r ) 1 R (r ) 1 ( ) 2 R(r ) r R(r ) r ( ) 而后一式又可写成 R( r ) ( ) 2 R( r ) 2 r r r R(r ) R(r ) ( ) 此式左端是r的函数，与 无关；而右端仅为 的函数,与r无关， 因此此式必等于常数，设为b

yx

c x
n n 0
n
( c0 0, 为常数)
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1 2 用级数法求解贝塞尔方程 y y (1 2 ) y 0 (2) x x
r 2 R(r ) rR( r ) ( r 2 2 ) R( r ) 0 (2) | R(0) | R ( R0 ) 0，
核心部分：贝塞尔方程求解 (3)T (t ) a 2T (t ) 0 易求解
第四章-贝塞尔方程
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二阶线性常微分方程的级数解法
a1 a0 cos x sin x c1 cos x c2 sin x
c1,c2为任意常数
注：上述方程系数均为常数(即是只有常数项的幂级 数)，无需再做展开。若方程系数不是常数，则在用 级数解法求解时，应将系数项展开为幂级数后再整 理系数。
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d2y dy p ( x) q ( x) y 0 (1) 2 dx dx 定理 2.如果 ( x x0 ) p ( x)和 ( x x0 )2 q( x) 在区间 x x0 R 内能展成 x x0 幂级数， 那么方程(1)至少存在一 个具有下面形式的级数解
第四章-贝塞尔方程
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贝塞尔方程的求解
贝塞尔方程
1 y y (1 2 ) y 0 (2) ( v 为常数) x x
1 n2 p( x) , q( x) 1- 2 满足定理2的条件而不满足 注： x x
2
定理1的条件。 由定理2知, 在x=0点的邻域 x R 内至少存在一个 如下形式的级数解
2 2 u u 1 u 1 u 2 2 , 0 r R0 , 0 2 a 2 2 r r r r t u ( R0 , , t ) 0 t 0, 0 2 u ( r , , 0) ( r , ) t 0, 0 2 , r R0 u (r , , t ) u (r , 2 , t ) t 0, 0 2 , r R0 u (r , , t ) u (r , 2 , t ) t 0, 0 2 , r R0 | u (0, , t ) | t 0, 0 2
贝塞尔方程
1. 贝塞尔方程的引出 2. 贝塞尔方程的求解 3. 贝塞尔函数的性质 4. 贝塞尔函数的应用
第四章-贝塞尔方程
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贝塞尔方程的引出
问题：考虑固定边界的圆膜瞬时温度的定解问题. 设 有一半径为 R0 的圆形薄膜, 其上下两面绝热, 圆膜边 界上的温度始终保持为零度, 初始温度分布为已知, 则圆膜的瞬时温度分布归结为下面的定解问题
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R (r ) R (r ) ( ) 2 r r b 则有 r R(r ) R (r ) ( )
2
于是又得到下面两个方程：
( ) b( ) 0, r 2 R(r ) rR(r ) ( r 2 b) R(r ) 0
为了下面贝塞尔方程求解的需要，我们介绍两 个二阶线性常微分方程的级数解法的结论。 二阶线性常微分方程的一般形式为 d2y dy p ( x) q ( x) y 0 2 dx dx 其中 p ( x), q( x) 是已知的函数
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d2y dy p ( x) q ( x) y 0 (1) 2 dx dx 定理 1. 如果 p( x)和 q ( x) 在区间 x x0 R 内能展成
2 a3 a1 3! 2 4 a5 a3 a1 5 4 5! 2k a2 k 1 (1) a1 (2k 1) !
k
于是得方程的解
1 1 1 2 2 k y ( x) a0 [1 ( x ) ( x ) ... ( 1) ( x) 2 k ...] 2! 4! (2k )! a 1 1 1 1 [( x ) ( x )3 ( x )5 ... (1) k ( x ) 2 k 1 ...] 3! 5! (2k 1) !
x x0的幂级数， 那么方程(1)在此区间
内存在两个线性无关的、且具有以下形式 的级数解：

yi ( x) cni ( x x0 ) n , (i 1, 2)
n 0
其中 c n i (i 1,2 n 0,1,2, ) 均为常数。
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例 在 x0 0 的邻域上求解常微分方程 为常数 y '' 2 y 0 2 p ( x ) 0, q ( x ) 解 方程的系数 满足定理1的要求 2 k y ( x ) a a x a x ... a x ... 设 0 1 2 k 从而 y '( x) a1 2a2 x 3a3 x 2 ... kak x k 1 ... y ''( x) 2 1a2 3 2a3 x 4 3a4 x 2 ... k (k 1)ak x k 2 ... 带入方程得，再把各个幂次项分别合并系数后 得 2 1a2 2 a0 0 3 2a3 2 a1 0
2
两边同除以 R(r )( )T (t )可得
R(r ) 1 R(r ) 1 ( ) T (t ) 2 2 R(r ) r R(r ) r ( ) a T (t ) 此式左端是r 和 的函数， 与t无关；而右端仅为 t 的函数,与r 和 无关，因此上式等于常数， 设为 则有
按照斯图姆—刘维尔固有值理论，常数 (即固有值)
2 0.
0 时，方程为欧拉方程，求解在前几节中已解决
考虑 2 0 的情形。 作变换 r
x,
dR dR , dr dx
2 d 2R d R 2 , 2 2 dr dx
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r 2 R( r ) rR(r ) ( r 2 2 ) R (r ) 0 | R (0) | R ( R0 ) 0，
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记 b 2 , 方程 r 2 R(r ) rR(r ) ( r 2 b) R(r ) 0 改写为 r 2 R(r ) rR(r ) ( r 2 2 ) R (r ) 0 d dR(r ) 2 或者 (r ) ( r ) R (r ) 0. dr dr r 由于 u (r , , t ) 在 0 r R0 上满足边界条件 u r R 0 0 于是得 R( R0 ) 0. 由自然边界条件得 R(0)
则上述方程变为
d 2R dx 2 1 dR 2 (1 2 ) R 0 x dx x
即
2 2 x y ( x) xy ( x) ( x v ) y ( x) 0
2
该方程称为v阶贝塞尔方程
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于是圆形膜瞬时温度定解问题的求解转化下面三个问 题的求解 ( ) b ( ) 0 (1) ( ) ( 2 ), '( ) '( 2 ) 已处理过

y ( x) ( x x0 )

c
n0
n
( x x0 ) ,
n
其中 , cn ( n 0,1,2, ) 均为常数。 练习：用级数解法求解欧拉方程 (m为常数) x 2 y xy m 2 y 0 提示：设 y ( x) a x a +1 x +1 +a +2 x +2 ... a k x k ...
2 2 u u u 2 2 2 2 a 0 x y R 2 0, 2 t x y u ( x, y, t ) x2 y 2 R02 0, t 0 u ( x, y, t ) t 0 ( x, y ), t 0
r 2 R( r ) rR(r ) ( r 2 2 ) R(r ) 0 得另一固有值问题 | R(0) | R( R0 ) 0，
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r 2 R( r ) rR(r ) ( r 2 2 ) R (r ) 0 | R (0) | R ( R0 ) 0，
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用分离变量法求解, 令 u (r , , t ) R(r ) ( )T (t ) 代入方程，得
R(r )( )T (t ) 1 1 a R (r )( )T (t ) R(r ) ( )T (t ) 2 R(r )( )T (t ) r r
4 3a4 2 a2 0 5 4a5 2 a3 0 2 (k 2)( k 1) ak 2 ak 0
第四章-贝塞尔方程Leabharlann Baidu
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2 得递推关系 a2 a0 2 1 2 2 a4 a2 a0 43 4!
2k a2 k ( 1) k a0 (2k )!