第三章自动控制原理(胡寿松)第五版ppt

的时间区间中始终不会
超过其稳态值，把这样 的响应称为非周期响应。 t 无振荡
０
T
2T
3T
4T
Centre for Robotics
c(t)
c(t) 1 e

t T
t 0
1.0 0.865 0.632
0.95 0.982
一阶系统响应具备两个 重要的特点： ①可以用时间常数T去度量 系统输出量的数值。 ②响应曲线的初始斜率等于 1/T。 t T反映了系统的 惯性。
二阶系统有两个结构参数ξ (阻尼比)和n(无阻尼振荡频 率) 。二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数表示的。
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例如: RLC电路 R 微分方程式为：
L
r(t)
C
c(t)
d 2 c( t ) dc( t ) LC RC c( t ) r ( t ) 2 dt dt
(1) ξ >1 时，特征根为一对不等值
的负实根，位于s 平面的负实 轴上，使得系统的响应表现为
s
过阻尼的。
s2
s1
0
Centre for Robotics 1, 2
s
n n 1
2
(2) ξ=1时，特征根为一对等值的负实根，位于s 平面的负实轴上，
使得系统的响应表现为临界阻尼的。 (3) 0 < ξ < 1 时，特征根为一对具有负实部的共轭复根，位于s平面 的左半平面上，使得系统的响应表现为欠阻尼的。 j
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第三章 线性系统的时域分析法
3.1 线性系统时间响应的性能指标
3.2
3.3
一阶系统的时域响应
二阶系统的时域响应
3.4
3.5
高阶系统的时域响应
稳定性分析
3.6
稳态误差计算
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分析和设计控制系统的首要工作是确定系统的数模， 一旦获得系统的数学模型，就可以采用几种不同的方法
为幅值随时间增加而发散。
j jn
j
s1
s
0
0
s
s2
ξ>1 Centre for Robotics
j
j
ξ=1
s
s
s2
0<ξ < 1
s1
0 j
s1=s2
ξ=0
0 j jn
s1
n
jd
ξn
s2
s
0 0
s
阻 尼 比 取 不 同 值 时 ， 二 阶 系 统 根 的 分 布
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当输入信号r(t)=1(t)时，系统的响应c(t)称作其单位阶跃响应。
1 1 1 C ( s ) ( s ) R( s ) Ts 1 s s
c(t) 1.0 0.865 0.632
1 1 s T
c(t) 1 e

t T
t 0
0.95 0.982
响应曲线在[0，）
3.3 二阶系统的时域分析
3.3.1 Centre for Robotics 二阶系统的数学模型 标准化二阶系统的结构图为：
R(s)
+
﹣
n2
s(s+2ξn)
C(s)
2 n 2 s( s 2n ) n 闭环传递函数为 ( s ) 2 2 2 n s 2n s n 1 s( s 2n )
Centre for Robotics 2
2 n
j
s1

1 C ( s) ( s n jd )(s n jd ) s
n
jd
1 2 2 ( s n ) d s
j
jd
s1
s
n
s1= s2 = n
0
ξn
s
0
s2
s1,2 n n 1 Centre for Robotics
2
(4) ξ =0 时，特征根为一对幅值相等的虚根，位于s平面的虚轴上 使得系统的响应表现为无阻尼的等幅振荡过程。 (5) ξ < 0 时，特征根位于s平面的右半平面，使得系统的响应表现
０
T
2T
3T
4T
一阶系统的瞬态响应指标调整时间ts
定义：︱c(ts) 1 ︱=
＝e
ts T
( 取5%或2%)
T越小惯性越小， 响应快！ T越大，惯性越 大，响应慢。
t s 3T ( 5%) t s 4T ( 2%)
3.2.2 单位斜坡响应 [ r(t) = t ] Centre for Robotics 1 1 1 T T C ( s) 2 2 Ts 1 s s s s 1 T
M p%
c( t p ) c( ) c( )
100%
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2. 稳态性能指标
稳态误差ess：稳定系统误差的终值。即
e ss lim e( t )
t
最后一节细讲。
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3.2 一阶系统的时域分析
凡是可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。
At t 0 r (t ) 0 t0
A=1，称单位斜坡函数,记为 t· 1(t)
f(t)
1 L[t 1( t )] 2 s
0 t
考查Βιβλιοθήκη Baidu统对匀速信号的跟踪能力
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3. 抛物线函数（等加速度函数）
1 2 At t0 r (t ) 2 0 t0
3.1.1典型输入信号
1. 阶 跃 函 数 （ 位 置 函 数 ） A r(t) 0 记 为 1(t) t0 t0 令 A 1 称单位阶跃函数， 1 s
f(t) 1
R(s) L1(t)
考查系统对恒值信号的跟踪能力
0
t
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2. 斜坡函数 （等速度函数）
c(t ) t T Te t / T
c(t) T
(t 0)
稳态分量（跟踪 项+常值）
c(t) = t ﹣T + Te﹣t/T
0
T
t
稳态响应是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上 迟后了一个时间常数T的斜坡函数。
c() t T
表明过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间，在位 置上仍有误差，一般叫做跟踪误差。
3.3.3
2 n 由式 ( s ) 2 2 ，其输出的拉氏变换为 s 2n s n
单位阶跃响应
C ( s)
2 n 1 C ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 s 2n s n s 2 n
s( s s1 )(s s2 )
3.3.2
二阶系统的闭环极点
二阶系统的闭环特征方程，即 s 2 + 2ξn s + n2 = 0
其两个特征根为： s1, 2 n n 2 1
特征根有不同类型的值，或者说在s平面上有
不同的分布规律。分述如下： j
上述二阶系统的特征根表达式中，随着阻尼比ξ 的不同取值，
C ( s) Φ( s ) R( s )
2 n 1 2 零初条件 2 2 2 T s 2Ts 1 s 2n s n
R C n 1 / T T LC 2 L 对于不同的二阶系统，阻尼比和无阻尼振荡频率的 含义是不同的。
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（5）正弦函数
r t A sint
A R( s ) L A sint 2 s 2
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二.
阶跃响应的时域性能指标
c(t) = ct(t) + css(t) = 暂态响应 + 稳态响应
1. 暂态性能指标
图3－2
(1) 延迟时间td：c(t)从0到0.5c(∞)的时间。 (2)上升时间tr ：c(t)第一次达到c(∞)的时间。无超调时, c(t)从0.1 c(∞)到0.9 c(∞)的时间。 (3) 峰值时间tp： c(t)到达第一个峰值的时间 (4)调节时间ts： c(t)衰减到与稳态值之差不超过±2%或±5%所需 的时间。通常该偏差范围称作误差带,用符号△表示， 即 △ =2%或 △ =5% 。 (5)超调量s%：c(t) 最大峰值偏离稳态值的部分，常用百分数表示 ，描述的系统的平稳性。
式中s1，s2是系统的两个闭环特征根。 对上式两端取拉氏反变换，可以求出系统的单位阶跃响应表达 式。阻尼比在不同的范围内取值时，二阶系统的特征根在s 平面上 的位置不同，二阶系统的时间响应对应有不同的运动规律。下面分 别加以讨论。
（1）欠阻尼情况 0<ξ<1
s1, 2 n j n 1 n j d
比较阶跃响应曲线和斜坡响应曲线：
c(t) 1.0 c(t) T
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t t 0 0 T 在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小， 最终趋于0，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也 最大；无差跟踪 在斜坡响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大， 最终趋于常值T，在初始状态下，位置误差和响应曲线的斜率均等 于0。有差跟踪。
f(t)
A=1，称单位抛物线函数,记为
1 2 t 1( t ) 2
1 1 2 R( s ) L t 1t 3 s 2
0
t
考查系统的机动跟踪能力
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4. 脉冲函数
并 有 t 0 t 0 t 0
(t)
及



t dt 1
0 t
R( s) L (t ) 1
考查系统在脉冲扰动下的恢复情况
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各函数间关系：
t
积 分 求导 1t 积 分 求导 t 1t 积 分 1 2 求导 t 2 1t
线性定常系统的重要性质
Centre for Robotics 1.当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系 统的输出则为原来输出的导数。 C ( s) GB ( s) R( s) dr( t ) C1 ( s ) GB ( s ) L[ ] G B ( s ) sR( s ) sC ( s ) dt dc( t ) c1 (t ) dt 2. 在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号 时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分， 积分常数由零初始条件决定。 R( s ) 1 C 2 ( s ) GB ( s ) L[ r ( t )dt] GB ( s ) C ( s) s s y2 ( t ) y( t )dt
单位脉冲响应 [R(s)=1] h(t) Centre for Robotics 1 1/T C ( s) Ts 1 它恰是系统的闭环传函，这 0.368/T 时输出称为脉冲（冲激）响应 0.135/T 0.05/T 函数，以h(t)标志。 t 1 T 0 T 2T 3T h( t ) C脉冲 ( t ) e T 3.2.3
去分析系统的性能。
线性系统：
时域分析法，
根轨迹法，
频率法
相平面法 描述函数法， 非线性系统：
采样系统：
Z 变换法
多输入多输出系统： 状态空间法
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§3-1 线性系统时间响应的性能指标
动态性能，静态性能。 动态性能需要通过其对输入信号的响应过程来评价。因此在分 析和设计控制系统时，需要一个对系统的性能进行比较的基准--典型输入信号。条件：1 能反映实际输入；2 在形式上尽可能简 单，便于分析；3 使系统运行在最不利的工作状态。
dc( t ) T c( t ) r ( t ) dt T＝RC，时间常数。
r(t)
R C
c(t)
其典型传递函数及结构图为： C ( s) 1 ( s) R( s ) Ts 1
R(s)
+
R(s)
1 Ts+1
C(s)
﹣
1 Ts
C(s)
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3.2.1 单位阶跃响应
求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于
系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。
t
d d C阶跃 t ) C 斜坡 ( t ) C 脉冲 ( t ) C阶跃 ( t ) ( dt dt d d r脉冲 ( t ) r阶跃 ( t ) r斜坡 ( t ) 对应 r阶跃 ( t ) dt dt