(完整word版)最短路径算法附应用

最短路径算法及应用

乘汽车旅行的人总希望找出到目的地的尽可能的短的行程。如果有一张地图并在图上标出每对十字路口之间的距离，如何找出这一最短行程？

一种可能的方法就是枚举出所有路径，并计算出每条路径的长度，然后选择最短的一条。那么我们很容易看到，即使不考虑包含回路的路径，依然存在数以百万计的行车路线，而其中绝大多数是不值得考虑的。

在这一章中，我们将阐明如何有效地解决这类问题。在最短路径问题中，给出的是一有向加权图G＝（V，E，W），其中V为顶点集，E为有向边集，W为边上的权集。最短路径问题研究的问题主要有：单源最短路径问题、与所有顶点对之间的最短路径问题。

一、单源最短路径问题

所谓单源最短路径问题是指：已知图G＝（V，E），我们希望找出从某给定的源结点S∈V 到V中的每个结点的最短路径。

首先，我们可以发现有这样一个事实：如果P是G中从vs到vj的最短路，vi是P中的一个点，那么，从vs沿P到vi的路是从vs到vi的最短路。

（一）Dijkstra算法

对于图G，如果所有Wij≥0的情形下，目前公认的最好的方法是由Dijkstra于1959年提出来的。

例1 已知如下图所示的单行线交通网，每弧旁的数字表示通过这条单行线所需要的费用，现在某人要从v1出发，通过这个交通网到v8去，求使总费用最小的旅行路线。

Dijkstra方法的基本思想是从vs出发，逐步地向外探寻最短路。执行过程中，与每个

点对应，记录下一个数(称为这个点的标号)，它或者表示从vs到该点的最短路的权(称为P 标号)、或者是从vs到该点的最短路的权的上界(称为T标号)，方法的每一步是去修改T

标号，并且把某一个具T标号的改变为具P标号的点，从而使G中具P标号的顶点数多一个，这样至多经过n-1(n为图G的顶点数)步，就可以求出从vs到各点的最短路。

在叙述Dijkstra方法的具体步骤之前，以例1为例说明一下这个方法的基本思想。例1中，s=1。因为所有Wij≥0，故有d(v1, v1)=0。这时，v1是具P标号的点。现在考察从v1发出的三条弧，(v1, v2), (v1, v3)和(v1, v4)。如果某人从v1出发沿(v1, v2)到达v2，这时需要d(v1, v1)+w12=6单位的费用；如果他从v1出发沿(v1, v3)到达v3，这时需要d(v1, v1)+w13=3单位的费用；类似地，若沿(v1, v4)到达v4，这时需要d(v1, v1)+w14=1单位的费用。因为min{ d(v1, v1)+w12，d(v1, v1)+w13，d(v1, v1)+w14}= d(v1, v1)+w14=1，可以断言，他从v1到v4所需要的最小费用必定是1单位，即从v1到v4的最短路是(v1, v4)，d(v1, v4)=1。这是因为从v1到v4的任一条路P，如果不是(v1, v4)，则必是先从v1沿(v1, v2)到达v2，或者沿(v1, v3)到达v3。但如上所说，这时他已需要6单位或3单位的费用，不管他如何再从v2或从v3到达v4，所需要的总费用都不会比1小(因为所有wij≥0)。因而推知d(v1, v4)=1，这样就可以使v4变成具P标号的点。现在考察从v1及v4指向其余点的弧，由上已知，从v1出发，分别沿(v1, v2)、(v1, v3)到达v2, v3，需要的费用分别为6与3，而从v4出发沿(v4, v6)到达v6所需的费用是d(v1, v4)+w46=1+10=11单位。因min{ d(v1, v1)+w12，d(v1, v1)+w13，d(v1, v4)+w46}= d(v1, v1)+w13=3。基于同样的理由可以断言，从v1到v3的最短路是(v1, v3)，d(v1, v3)=3。这样又可以使点v3变成具P 标号的点，如此重复这个过程，可以求出从v1到任一点的最短路。

在下述的Dijstra方法具体步骤中，用P，T分别表示某个点的P标号、T标号，si表示第i步时，具P标号点的集合。为了在求出从vs到各点的距离的同时，也求出从Vs到各点的最短路，给每个点v以一个λ值，算法终止时λ(v)=m，表示在Vs到v的最短路上，v的前一个点是Vm；如果λ(v)=∞，表示图G中不含从Vs到v的路；λ(Vs)=0。

Dijstra方法的具体步骤：

{初始化}

i=0

S0={Vs}，P(Vs)=0 λ(Vs)=0

对每一个v<>Vs，令T(v)=+ ∞，λ(v)=+ ∞，

k=s

{开始}

①如果Si=V，算法终止，这时，每个v∈Si，d(Vs,v)=P(v)；否则转入②

②考察每个使(Vk,vj)∈E且vj Si的点vj。

如果T(vj)>P(vk)+wkj，则把T(vj)修改为P(vk)+wkj，把λ(vj)修改为k。

③令

如果，则把的标号变为P标号，令

，k=ji，i=i+1，转①，否则终止，这时对每一个v∈Si，d(vs,v)=P(v)，

而对每一个。

算法实现：

1、数据结构

＊用邻接矩阵表示图G

＊用一维数组D[I]存放从源点到I点的最短路径长度或其上界。（上面算法中的P 标号与T标号实际上存放着源点到某点的最短路径长度或其上界，因此我们可以统一用D 数组来表示）。

＊用一维数组P，其中P[I]记录到I点的最短路径中前一个顶点的序号。

{$R+}

2、源程序

（二）Bellman-Ford算法

在单源最短路径问题的某些实例中，可能存在权为负的边。如果图G＝（V，E）不包含从源s可达的负权回路，则对所有v∈V，最短路径的权定义d(s,v)依然正确，即使它是一个负值也是如此。但如果存在一从s可达的负回路，最短路径的权的定义就不能成立。S到该回路上的结点就不存在最短路径。当有向图中出现负权时，则Dijkstra算法失效。当不存在源s可达的负回路时，我们可用Bellman-Ford算法实现。

下面我们介绍有向图中，存在具有负权的弧时，求最短路的方法。

为了方便起见，不妨设从任一点vi到任一点vj都有一条弧（如果在Gk ,(vi,vj)不存在，则添加(vi,vj)且令wij=+∝）。

显然，从vs到vj的最短路总是从vs出发，沿着一条路到某个点vi，再沿(vi,vj)到vj的（这里vi可以是vs本身），由本章开始时介绍的一个结论可知，从vs到vi的这条路必定是从vs到vi的最短路，所以d(vs,vi)必满足如下方程：