高考数学(理)二轮专题练习【专题5】(2)空间中的平行与垂直(含答案)

第2讲 空间中的平行与垂直

考情解读 1.以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．

1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理

2.

提醒3．平行关系及垂直关系的转化

热点一 空间线面位置关系的判定

例1 (1)设a ，b 表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．若a ⊥α且a ⊥b ，则b ∥α B ．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β C ．若a ∥α且a ∥β，则α∥β D ．若γ∥α且γ∥β，则α∥β

(2)平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥β

C ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α

D ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α

思维启迪 判断空间线面关系的基本思路：利用定理或结论；借助实物模型作出肯定或否定． 答案 (1)D (2)D

解析 (1)A ：应该是b ∥α或b ⊂α；B ：如果是墙角出发的三个面就不符合题意；C ：α∩β＝m ，若a ∥m 时，满足a ∥α，a ∥β，但是α∥β不正确，所以选D. (2)若α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，a ⊄β，则a ∥α，a ∥β，故排除A. 若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，则a ∥β，故排除B.

若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.

思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．

设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：

①若α⊥β，m∥α，则m⊥β

②若m⊥α，n⊥α，则m∥n

③若m⊥α，m⊥n，则n∥α

④若n⊥α，n⊥β，则β∥α

其中真命题的序号为()

A．①③B．②③

C．①④D．②④

答案 D

解析①若α⊥β，m∥α，则m与β可以是直线与平面的所有关系，所以①错误；

②若m⊥α，n⊥α，则m∥n，所以②正确；

③若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，所以③错误；

④若n⊥α，n⊥β，则β∥α，所以④正确．

故选D.

热点二平行、垂直关系的证明

例2如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平

面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：

(1)P A⊥底面ABCD；

(2)BE∥平面P AD；

(3)平面BEF⊥平面PCD.

思维启迪(1)利用平面P AD⊥底面ABCD的性质，得线面垂直；(2)BE∥AD易证；(3)EF是△CPD的中位线．

证明(1)因为平面P AD⊥底面ABCD，

且P A垂直于这两个平面的交线AD，

所以P A⊥底面ABCD.

(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

所以AB∥DE，且AB＝DE.

所以四边形ABED为平行四边形．

所以BE∥AD.

又因为BE ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， 所以BE ∥平面P AD .

(3)因为AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形． 所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD ， 由(1)知P A ⊥底面ABCD . 所以P A ⊥CD . 所以CD ⊥平面P AD . 所以CD ⊥PD .

因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点， 所以PD ∥EF .所以CD ⊥EF . 所以CD ⊥平面BEF . 又CD ⊂平面PCD ， 所以平面BEF ⊥平面PCD .

思维升华 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型． (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行． (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直． (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．

(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直．

如图所示，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD

为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点． 求证：(1)AF ∥平面BCE ； (2)平面BCE ⊥平面CDE .

证明 (1)如图，取CE 的中点G ，连接FG ，BG . ∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且GF ＝1

2DE .

∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB . 又AB ＝1

2

DE ，∴GF ＝AB .

∴四边形GF AB 为平行四边形，则AF ∥BG . ∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴AF ∥平面BCE .

(2)∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD .

∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF .

又CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE.

∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.

∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.

热点三图形的折叠问题

例3如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．

(1)求证：DE∥平面A1CB；

(2)求证：A1F⊥BE；

(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？请说明理由．

思维启迪折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化．第(1)问证明线面平行，可以证明DE∥BC；第(2)问证明线线垂直转化为证明线面垂直，即证明A1F⊥平面BCDE；第(3)问取A1B的中点Q，再证明A1C⊥平面DEQ.

(1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点，

所以DE∥BC.

又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，

所以DE∥平面A1CB.

(2)证明由图(1)得AC⊥BC且DE∥BC，

所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.

所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，

所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，

所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，

所以A1F⊥BE.

(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：

如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.

又因为DE∥BC，

所以DE∥PQ.

所以平面DEQ即为平面DEP.

由(2)知，DE⊥平面A1DC，

所以DE⊥A1C.