安培环路定理总结
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安培环路定理
安培环路定理
静电场
1
E dS
S
0
q内有源场Fra bibliotekLE dl 0
保守场
恒定磁场
SB dS 0
无源场
LB dl ?
一、 安培环路定理
以无限长直电流的磁场为例说明
1、圆形积分回路
选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与平面
交点o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向与电流
成右旋关系。
练习：如图，流出纸面的电流为 2I ，流进纸面的电 流为 I ，则下述各式中那一个是正确的?
( A)
B• L1
dl
2
0I
(C )
B • dl
L3
0I
(B)
B• L2
dl
0I
( D)
B • dl
L4
0I
2I •
L1 I
L2
L3
L4
(D)
二、安培环路定理的应用
B • dl 0 Ii
...............
B
I
2）选取回路
作矩形安培环路，如图 规定：顺时针绕向为正
M
NB
++++++++++++
P
LO
N O p M
l B d l M B d l N B d l O B d l P B d l
B MN 利用安培环路定理求 B
B MN 0nMNI
B 0nI
方向可由右手螺旋法定。 无限长直螺线管内为均匀磁场
3、求螺线环内的磁感应强度
已知：I 、N、R1、R2
N——导线总匝数
静电场
1
E dS
S
0
q内有源场Fra bibliotekLE dl 0
保守场
恒定磁场
SB dS 0
无源场
LB dl ?
一、 安培环路定理
以无限长直电流的磁场为例说明
1、圆形积分回路
选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与平面
交点o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向与电流
成右旋关系。
练习：如图，流出纸面的电流为 2I ，流进纸面的电 流为 I ，则下述各式中那一个是正确的?
( A)
B• L1
dl
2
0I
(C )
B • dl
L3
0I
(B)
B• L2
dl
0I
( D)
B • dl
L4
0I
2I •
L1 I
L2
L3
L4
(D)
二、安培环路定理的应用
B • dl 0 Ii
...............
B
I
2）选取回路
作矩形安培环路，如图 规定：顺时针绕向为正
M
NB
++++++++++++
P
LO
N O p M
l B d l M B d l N B d l O B d l P B d l
B MN 利用安培环路定理求 B
B MN 0nMNI
B 0nI
方向可由右手螺旋法定。 无限长直螺线管内为均匀磁场
3、求螺线环内的磁感应强度
已知：I 、N、R1、R2
N——导线总匝数
2安培环路定理
v µ0I v B 1 ⋅ d l1 = dα 2π
v B1
v B2
v d l1
r1
dα
v dl2
θ1
I
●
r2
2
o θ
L
v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v µ0I v B 1 ⋅ d l1 = dα 2π v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v B1
v B2
L1
L
µ0 I
0
（闭合回路包围电流） 闭合回路包围电流） 闭合回路不包围电流） （闭合回路不包围电流）
表明：沿闭合环路的线积分，等于穿过以闭合环路 表明：沿闭合环路的线积分， 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 代数和
µ0
如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 情况又如何？ 情况又如何？
r r ∫ B ⋅ d l ≠ 0 说明稳恒磁场不是保守场
L
——磁场是“有旋场” 磁场是“有旋场” 磁场是
例：如图，流出纸面的电流为 2I ， 如图， 流进纸面的电流为 I ， 则下述各式中那一个是正确的? 则下述各式中那一个是正确的 r r r r (B) ∫ L 2 B ⋅ d l = µ 0 I (A) ∫ L B ⋅ d l = 2µ0 I r r r r (C) ∫ L B ⋅ d l = − µ0 I (D) ∫ L B ⋅ d l = − µ 0 I
如图， 如图，闭合曲线 L 不在垂直直电流的平面内
L
o
v dl||
v dl
v dl⊥
v v v dl = dl|| + dl⊥
L⊥
v B1
v B2
v d l1
r1
dα
v dl2
θ1
I
●
r2
2
o θ
L
v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v µ0I v B 1 ⋅ d l1 = dα 2π v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v B1
v B2
L1
L
µ0 I
0
（闭合回路包围电流） 闭合回路包围电流） 闭合回路不包围电流） （闭合回路不包围电流）
表明：沿闭合环路的线积分，等于穿过以闭合环路 表明：沿闭合环路的线积分， 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 代数和
µ0
如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 情况又如何？ 情况又如何？
r r ∫ B ⋅ d l ≠ 0 说明稳恒磁场不是保守场
L
——磁场是“有旋场” 磁场是“有旋场” 磁场是
例：如图，流出纸面的电流为 2I ， 如图， 流进纸面的电流为 I ， 则下述各式中那一个是正确的? 则下述各式中那一个是正确的 r r r r (B) ∫ L 2 B ⋅ d l = µ 0 I (A) ∫ L B ⋅ d l = 2µ0 I r r r r (C) ∫ L B ⋅ d l = − µ0 I (D) ∫ L B ⋅ d l = − µ 0 I
如图， 如图，闭合曲线 L 不在垂直直电流的平面内
L
o
v dl||
v dl
v dl⊥
v v v dl = dl|| + dl⊥
L⊥
安培环路定理
闭合回路l为圆 形回路，积分 方向与电流方 向成右螺旋。
2
7-6 安培环路定理
若回路积分方向不变，电流方向反向，磁场B 沿闭合线的积分为： 0 I l B d l l B cos d l 2r l d l 0 (I ) 0 闭合线l包围的电流
I
第七章 恒定磁场
7-6 安培环路定理
一、安培环路定理 1、定理的引入 无限长载流直导线的磁场为: 0 I
B 2π r
I
B
O
r
d l
l
磁场B沿闭合线的积分为： B d l B cos0 d l Bdl
l l l
B
0 I B d l 2r 0 I l 2r 0 闭合线l包围的电流
4
l
r
7-6 安培环路定理
电流在回路之外，因为 0 I 0 I B1 ， B2 2π r1 2π r2 0 I B1 dl1 B2 dl2 d 2π 所以有： B1 dl1 B2 dl2 0 磁场B沿闭合线的积分为：
l l
6
7-6 安培环路定理
2、安培环路定理 由上面的结果得磁场B沿闭合线的积分为:
内 B d l o I i
l i
在真空的稳恒磁场中，磁 感应强度 B 沿任一闭合 线积分，等于 0 乘该闭 合线包围所有电流的代数 和。
I3
I1> 0
电流分布
I2< 0
l
dl B
23
17
7-6 安培环路定理
2、圆柱体内的磁场 同理，磁场B沿闭合线的积分为：
I
R
安培环路定理
1
2
I
B1
2
1 2
0i
0i
I
3 B2 0
B3 0i
1
2
I
B1 B3 0
3
I
B2 0i
作业：练习三
例6 已知无限长圆桶上均匀分布电荷，面密度σ，角初 速度ω0 , 角加速度β，求t时刻内部旳磁感应强度
解：相当于密绕螺线管
B 0nI
nI 为单位长度旳电流，
nI 2 R 1 (0 t) / 2 R(0 t)
围电流时，B矢量沿 该闭合曲线旳线积分 为零。
4、闭合曲线内包围多根载流导线电流
I2 I1
S
B dl L
L (B1 B2 ... Bn ) dl
IN
L
L
B1
dl
L B2 dl
... L Bn dl
0 I1 0 I2 ... 0 I N
N
B dl L
3、磁场分布
n, I
Bin 均匀分布
外部磁场 Bout 0 内部磁场： Bin 0nI 0 j
通电稀疏螺线管空间旳磁场 通电密绕螺线管空间旳磁场
例2 求密绕载流螺线绕环内旳磁场
解：1 对称性分析；环内B 线为同心圆，环外 B为零。
2 选环路。
Bdl L
2 π RB
0 NI
B 0 NI
(1) 分析磁场旳对称性，判断B旳方向；
(2) 选择合适旳闭合回路，含方向；
(3) 求出 B dl ? 和 0 I ?
L
L内
(4) 利用
B dl
L
0 I ，求出B旳值。
L内
环路L旳选择：
(1) L上旳B大小相等，方向相同或B与dl 平行或垂直。
安培环路
B d l B d cos l Brd 0I 0 I d B dl rd 2π 2πr
d
l
I
dl
B
r
I r1
r2
l
B d l B d l 0 1 1 2 2 结论： d l 0 B
l
(3) 多电流情况
I1
B 0nI
无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场为零.
2、求无限长载流圆柱导体内外的磁场。设圆柱体半 径为R，面上均匀分布的总电流为I。 I
解：沿圆周L的B环流为
(L )
R
I d l B 2 r 0 内 B
dB
P
dB d B
当 r R 时 , I I B 2 r I 内 0 0I B 2 r I 2 当 r R 时 , I r 内 2 R r2 I 0 B2 r I B r 0 2 2 R 2 R
d l I 0 B
l
R
l
I
B
若电流反向时，则：
I 0 l B dl 2πRl dl 0I
对任意形状的回路 B 0 I 2 r
I
l 2 I 0 B d l d 结论： B d l I 0 l 0 l 2 0I 0 I (2) 闭合曲线不包围长直电流： B2 B1 B2 2 π r2 2 π r1 B1 μ μ 0I 0I B d l1 d φ B dφ l2 d φ 1 2 d dl 2 π 2 π 2 dl1
dB1
解 1)对称性分析 2）选取回路 设：面电流密度为j
d dB
P
11-4安培环路定理
§11-4 安培环路定理
静电场
∫ E dl = 0
l
I
r
B
磁 场
∫ B dl = ?
以载流长直导线为例，定性说明安培环路定理： 以载流长直导线为例，定性说明安培环路定理：
1..闭合积分回路 环绕载流长直导线（类似于高斯面中包围点电荷） 闭合积分回路L环绕载流长直导线 类似于高斯面中包围点电荷） 闭合积分回路 环绕载流长直导线（
∫ B dl = 0 ∑ Ii
说明： 说明： 电流取正时与环路成右旋关系 如图
I1 I4
l
I2
I3
∫ B dl = 0 ∑ Ii
= 0 (I2 I3 )
安培环路定理
∫ B dl = ∑I
L 0
物理意义： 物理意义： 空间所有电流共同产生的磁场 B 在场中任取的一闭合线， L 在场中任取的一闭合线，任 意规定一个绕行方向
.
I
r
d
B θ dl
∫ B dl = I
3、回路不环绕电流 、
.
3、回路不环绕电流 、
. e 0 I rd =∫ 2πr f I = ∫ d 2π I = [ ∫ d + ∫ d] = 0 2π
0
∫ B dl = ∫ Bcos θdl
d b
a
0
f →a→d
d → →f e
∴∫ B dl = 0
2.闭合积分回路在垂直于载流导线的平面内，但是形状任意 闭合积分回路在垂直于载流导线的平面内， 闭合积分回路在垂直于载流导线的平面内
IHale Waihona Puke L o L O2、任意积分回路 、
∫ B dl = ∫ Bcos θdl
0 I cosθdl =∫ 2πr 0 I 0 I rd = 2π =∫ 2πr 2π
静电场
∫ E dl = 0
l
I
r
B
磁 场
∫ B dl = ?
以载流长直导线为例，定性说明安培环路定理： 以载流长直导线为例，定性说明安培环路定理：
1..闭合积分回路 环绕载流长直导线（类似于高斯面中包围点电荷） 闭合积分回路L环绕载流长直导线 类似于高斯面中包围点电荷） 闭合积分回路 环绕载流长直导线（
∫ B dl = 0 ∑ Ii
说明： 说明： 电流取正时与环路成右旋关系 如图
I1 I4
l
I2
I3
∫ B dl = 0 ∑ Ii
= 0 (I2 I3 )
安培环路定理
∫ B dl = ∑I
L 0
物理意义： 物理意义： 空间所有电流共同产生的磁场 B 在场中任取的一闭合线， L 在场中任取的一闭合线，任 意规定一个绕行方向
.
I
r
d
B θ dl
∫ B dl = I
3、回路不环绕电流 、
.
3、回路不环绕电流 、
. e 0 I rd =∫ 2πr f I = ∫ d 2π I = [ ∫ d + ∫ d] = 0 2π
0
∫ B dl = ∫ Bcos θdl
d b
a
0
f →a→d
d → →f e
∴∫ B dl = 0
2.闭合积分回路在垂直于载流导线的平面内，但是形状任意 闭合积分回路在垂直于载流导线的平面内， 闭合积分回路在垂直于载流导线的平面内
IHale Waihona Puke L o L O2、任意积分回路 、
∫ B dl = ∫ Bcos θdl
0 I cosθdl =∫ 2πr 0 I 0 I rd = 2π =∫ 2πr 2π
安培环路定理及应用,磁场对载流导线和载流线圈的作用
df Idl B
0 I1 B1 2 a
df2 B1 I 2dl2
B2 I1dl1 df1 C I1 D I2 df2
a
0 I 2 B2 2 a
df1 B2 I1dl1
I2dl2
B1
0 I1 I 2 0 I1 I 2 dl1 df2 dl2 df1 2 a 2 a
二、 安培环路定理的应用
求磁感应强度
1. 分析磁场分布的对称性。
2. 选择一个合适的积分回路 3. 计算闭合回路中包围的电流
4. 再由
B dl 0 I i
l
求得B
1.无限长圆柱载流导体的磁场分布 圆柱体半径R ，电流为 I 分析对称性 电流分布——轴对称
I
r
ds1 0 ds1
大小: 方向:
df Idl B sin(dl , B)
df // Idl B
Idl
df
df
B
积分形式
B
Idl
f Idl B
L
载流直导线在均匀磁场中所受的安培力 取电流元
df Idl B
Id l
受力方向
力大小 积分
对称性分析： 管内为均匀场,方向与螺线 管轴线平行. 管的外面，磁场强度忽略 不计. B的大小的计算: •作矩形环路a b c d,如图
a b
B
d
c
L
B d l B内 ab B外 ab ＝0 nI ab
B外 0
B内 0 nI
3.载流环形螺线管内的磁场分布
取电流元 Idl
受力大小 df BIdl
安培环路定理
(1)管内:取L矩形回路 abcda
边在轴上，两边与轴平行,另
aP b
两个边垂直于轴。
LB dl Bab ab Bcd cd Bab ab
e
Q
f
0I 0nI ab
d
c
∞
B内 onI 其方向与电流满足右手螺旋.
(2)管外 :
取回路efbae同理可证，无限长直螺线管外任一点的磁场为
A(rQ )
0I 2
ln
r Q
r P
A(rP )
A(rQ
)
0I 2
ln
r Q
r
-I
r P
P
两式相加,得:
A(rP )
A(rQ )
0I 2
ln
rQ rP
rP rQ
0I 2
ln
rP rP
A(rP )
A(rQ )
0I 2
ln
r P
r P
若选Q点的矢势为零,则
A(rP )
0I 2
ln
r P
r P
例2.一无限长载流圆柱导体,半径为R, 电流I均匀分布
ldr
0I 2
l
ln
rQ r
A(rP ) A(rQ )
0I 2
ln
rQ rP
+I
Q
若选Q点的矢势为零,则
A(rp
)
0I 2
ln
rQ rP
r P
注意:若选Q点在无穷远处或导线
上,磁矢势将无意义.
讨论:两根平行的载流直导线,电流大 小相等方向相反,求磁矢势.
选Q点在两直线电流之间垂线的中点处.
A(rP )
B dS 0
11.4 安培环路定理
I
B // dl
环路内电流代数和为：
2
r 0 B dl B 2 r R 2 I
0 2
R
r
I r 2 r 2 I I 2 R R
L
0 I B r r 2 2R
2.圆柱体外一点 r > R 区域
I
在圆柱体外作一环路，
B dl Bdl cos
L 0
1. I 为环路内的电流代数和。
只与环路内的电流有关， B dl 2.环流
而与环路外电流无关。
3. B为环路上一点的磁感应强度，它与环路内外电流 都有关。
若 B dl 0 并不一定说明环路上各点的 B 都为 0。 若 B dl 0 环路内并不一定无电流。
L
I
B
0 I
要求环路上各点 B 大小相等，B 的方向 与环路方向一致， B // dl , cos 1
dl
或 Bdl ,
五、解题方法
cos 0
环路要经过所研究的场点。
1.场对称性分析； 2.选取环路； 3.确定环路内电流的代数和 I ； 4.应用环路定理列方程求解。 应用环路定理求 B 要比毕萨定律简 单，但只适用于具有高度对称的场。
B
I
左边:
L
B dl
L
r
L
Bdl cos
由于环路上各点的 B 大小相等； 且 B // dl ；θ=0
0 I B dl 2r 0 I 2r L
I 向下时为负值。
L B dl 0 I 左边=右边定理成立。
当环路为任意形状时：
B dl B2r 0 I
安培环路定理
i
i
nabI
利用安培环路定理求
............... B
B ab 0 nabI
0 nI B 0 内 外
a
d
b
c
I
计算环流
利用安培环路定理求 B
B dl 0 NI
0 NI 内 B 2r 外 0 R1、R2 R1 R2
D.若
静电场
稳恒磁场
B dl 0 I i
i
E dl 0
电场有保守性，它是 保守场，或有势场
磁场没有保守性，它是 非保守场，或无势场
1 s E dS 0 qi
电力线起于正电荷、 止于负电荷。 静电场是有源场
B dS 0
B dl 0 I
2、任意积分回路
B dl B cos dl
0 I cos dl 2r
0 I rd 2r
0 I 2 2
.
I
r
d
B dl
B dl 0 I
3、回路不环绕电流
B dl
r
练习：同轴的两筒状导线通有等值反向的电流I,
求 B的分布。
(1) r R1 , B 0
0 I ( 2) R1 r R2 , B 2r
R2
R1
I
r I
(3) r R2 , B 0
如图所示, 将半径为R的无限长薄圆柱管沿轴向割去 一宽度为a的狭缝, x轴穿过该狭 缝,且a << R, 电流沿轴向 均匀分布,单位长度的电流为i, 则轴线上任意点处的磁感 应强度的大小和方向为:
i
nabI
利用安培环路定理求
............... B
B ab 0 nabI
0 nI B 0 内 外
a
d
b
c
I
计算环流
利用安培环路定理求 B
B dl 0 NI
0 NI 内 B 2r 外 0 R1、R2 R1 R2
D.若
静电场
稳恒磁场
B dl 0 I i
i
E dl 0
电场有保守性，它是 保守场，或有势场
磁场没有保守性，它是 非保守场，或无势场
1 s E dS 0 qi
电力线起于正电荷、 止于负电荷。 静电场是有源场
B dS 0
B dl 0 I
2、任意积分回路
B dl B cos dl
0 I cos dl 2r
0 I rd 2r
0 I 2 2
.
I
r
d
B dl
B dl 0 I
3、回路不环绕电流
B dl
r
练习：同轴的两筒状导线通有等值反向的电流I,
求 B的分布。
(1) r R1 , B 0
0 I ( 2) R1 r R2 , B 2r
R2
R1
I
r I
(3) r R2 , B 0
如图所示, 将半径为R的无限长薄圆柱管沿轴向割去 一宽度为a的狭缝, x轴穿过该狭 缝,且a << R, 电流沿轴向 均匀分布,单位长度的电流为i, 则轴线上任意点处的磁感 应强度的大小和方向为:
安培环路定理的三个公式
安培环路定理的三个公式安培环路定理是电磁学中的一个重要定理，它描述了磁场的环流与电流之间的关系。
在这个定理中，有三个常用的公式，下面咱们就来好好唠唠这三个公式。
咱们先来说说第一个公式，这个公式表述为：在真空中，磁感应强度 B 沿任何闭合回路的线积分，等于穿过该回路所包围面积的电流的代数和乘以真空磁导率μ₀。
这听起来可能有点绕，咱举个例子啊。
就比如说，你想象有一个环形的电线，电流在里面流动。
咱们把这个环形电线想象成一个跑道，而磁场呢，就像是在跑道上奔跑的运动员。
这个运动员沿着跑道跑一圈，他跑的路程就是磁感应强度 B 的线积分。
而跑道里面的电流，就决定了这个运动员跑得有多快、跑的路程有多长。
再来讲讲第二个公式。
这个公式在有介质存在的情况下适用。
啥是介质呢？简单说，就是除了真空以外的其他物质。
这时候，磁感应强度 B 沿闭合回路的线积分，等于穿过回路所包围面积的传导电流和磁化电流的代数和乘以真空磁导率μ₀。
咱还是举个例子。
假设你有一块磁铁，周围有一些铁粉。
这些铁粉会被磁铁吸引，形成特定的分布。
这个分布就相当于一种介质。
在这种情况下，磁场的环流就不仅仅取决于传导电流，还和磁化电流有关。
最后说说第三个公式。
这个公式是在时变电磁场中的情况。
它可就更复杂一点啦，磁感应强度 B 沿闭合回路的线积分，等于穿过回路所包围面积的全电流的代数和乘以真空磁导率μ₀。
这里的全电流包括传导电流、位移电流。
那啥是位移电流呢？想象一下，有一个电容器正在充电，虽然没有电荷在电容器极板之间流动，但是电场在变化，就好像有电流在流动一样，这就是位移电流。
我记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个小家伙瞪着大眼睛一脸懵地问我：“老师，这也太抽象了，到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“孩子，你想想咱们家里用的电器，比如电灯泡能亮、风扇能转，这里面可都离不开这些知识呢。
”那孩子似懂非懂地点点头。
其实啊，安培环路定理的这三个公式虽然看起来复杂，但在实际的电磁学应用中可是非常重要的。
简述安培环路定理
简述安培环路定理
安培环路定理，又称电流定律，是电子技术中重要的基本定理。
它是1745年由安培发现的。
它指出，任何完整封闭环路中，由电源或电容器提供的电势差总称为电势差V。
电流I在环路中以电导率γ流通，所以电流I可以用以下公式来表示：V＝I x。
安培环路定理是一组电路定理，主要涉及电流、电压、电阻以及电势。
它是建立在电流流向定律（也称作Kirchhoff定律）的基础上的。
它是基于物理和电路学的几个事实和原理，由电流定律（也称作Kirchhoff定律）定义的。
安培环路定理中假定所有元件都是线性元件。
安培环路定理以及电流定律可以用于确定任何给定环路中穿过
它的电流及电压，从而形成电路的基本模型。
它可以用来解决复杂的电路，如多节点电路、三极管电路、反馈电路、脉冲电路、放大器等，它是电子技术中最重要的基本定理之一。
安培环路定理的另外一个重要的应用就是确定电路的性能参数。
比如，可以用它来确定电路的电阻、电容、电感以及参数等。
如果把它们结合起来，可以很快地计算出电路的稳定性、增益以及频率响应特性。
安培环路定理可以应用于不同理论，以及不同技术领域，比如电子技术、电路技术、数学理论等。
安培环路定理是电子技术中一个重要的基础，几乎所有的电子设计都会用到它。
总之，安培环路定理是一个重要的电子理论，它可以用于设计现
代电子设备。
它可以用来解决复杂的电路，并且可以确定电路的性能参数。
它也被广泛用于不同的理论和技术领域，所以它在现代电子技术中起到了重要的作用。
安培环路定理
B 0
安培环路定理(稳恒电流情形): H dl Ii
L L内
H J
H
B
0
M
M lim
V内
磁 矩 pm V
对线性各向同性 磁介质:
H B
V 0
0r
例题 一载流螺绕环，匝数为 N ，内径为 R1 ， 外径为 R2 ，通有电流 I ，求管内磁感应强度。
垂直部分 平行部分
(2)环路的长度便于计算；
4. 安培环路定理的应用举例 例题 长直密绕螺线管，单位长度上电流匝 数为 n ，求螺线管内的磁感应强度分布。
解：1 ) 对称性分析：螺线管内磁感线平行于 轴线，且在同一条磁感线上各点的 B 大小相 等， 外部磁感强度趋于零 ，即 B 0 。
选择安培环路如图：
B 0nI
c
得：长直载流螺线管内的磁场：
无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外 部磁场为零。
例题 已知I 、R，电流沿轴向、在截面上均匀分 布，求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。
解： 首先分析对称性 电流分布——轴对称 磁场分布——轴对称
r
O
I
R
dS1
dB2
dB
dB1
l
则B
rR
处
I
作积分回路如图，
R
I
B dl
沿该闭合回路的环流为：
L
L
B d l 2 rB
r
根据安培环路定理：
L
B dl 0 I
0 I
R
2
2
r
2
0I 2 R
10-4 安培环路定理
L
r
μ0 I 2 π rB 0 I , B 2πr 2 πr I 0 r R : l B d l 0 2 πR 2 0 r μ0 Ir 2 π rB 2 I , B 2 R 2π R
B
dB
I
.
dI
B
11
10.4 安培环路定理
B
第10章
稳恒磁场
r R, B d l 0 I
l
B0 0 I B 2π r
13
10.4 安培环路定理
例：求无限大平面电流的磁场。 解： 面对称。 B B dl ab dl bcB dl B dl B dl
10.4 安培环路定理
2 ) 选回路
第10章
稳恒磁场
L。
M N +++ + + + ++++++ L O P
磁场 B 的方向与
电流
B
I 成右螺旋。
MN NO
B d l B d l B d l B d l B d l
10.4 安培环路定理
第10章
稳恒磁场
I
o
B
r
若回路绕向变为逆时针时，则：
dl
L
μ0 I LB d l L 2πr dl
L 与 I 成左螺旋
0 I
2π
2π
0
d
0 I
dl rdθ
3
10.4 安培环路定理
第10章
稳恒磁场
包围电流正负的判断 ： 即：右手拇指伸直，弯曲四指与闭合路径 L 的 方向一致时，拇指的指向即为电流的正方向。 I1 I2 L
磁场的安培环路定理及其应用
B
0 Ir
2R2
(r
R)
可作出B的值随r的变化曲线，如 右图所示。
2．长直载流螺线管的磁场
【例8-7】设无限长载流直螺线管的缠绕密度（即单位长度 上的线圈匝数）为n，通有电流I，求该螺线管内的磁场。
【解】由电流分布的对称性可知，螺线管内的磁感应线是平
行轴线的直线，方向沿电流的右手螺旋方向，而且在同一磁感应
L B dl B ab
穿过矩形回路abcda的线圈匝数为 nab，通过每匝线圈的电
流为I，所以穿过回路的电流总和为 nI ab，于是由安培环路定理 得
所以
Bab 0nI ab
B 0nI
从上式可以看出：磁感应线B的大小与环形回路ab边在管内 的位置无关，表明无限长载流直螺线管的磁场是均匀的磁场。
可得
L B dl B 2r 0I
B 0I (r R)
2r
当r＜R时，根据安培环路定理有
L B dl B 2r 0 L内 Ii
由于在圆柱体内电流密度是均匀的，即电流密度为j＝I/πR2 通过截面积πr2的电流为
于是有
L内
Ii
jr 2
Ir 2 R2
可得
B L
dl
B
2r
0
L内
Ii
0
Ir 2 R2
线上B的大小处处相等。管外的磁场很弱，可以忽略不计。
过管内任意场点作如右图所示 矩形回路abcda，在回路的cd段上 以及bc和da段的管外部分，均有B ＝0，在bc和da段的管内部分，B与 dl相互垂直，即B·dl＝0，回路的ab 段上各点B的大小相等，方向与dl 一致，所以沿闭合路径abcda上B的 环流为
综上所述，我们知道应用安培环路定理可以计算某些对称 分布电流的磁感应强度，下表所示为几种常用的对称分布电流 的磁感应强度计算式。
大学物理——11.4安培环路定理
R1 ≈ R2 = R
r≈R
dHale Waihona Puke N B = µ0 I = µ 0 nI 2π R
注意：密绕细螺线管内部为匀强磁场。 注意：密绕细螺线管内部为匀强磁场。 匀强磁场
R
思考：钜形横截面的圆环形均匀密绕螺绕环？ 思考：钜形横截面的圆环形均匀密绕螺绕环？
矩形截面
无限长载流直螺线管内的磁场. 例11.8 无限长载流直螺线管内的磁场
+++ + + + ++++++ N O M
2) 选回路 L
L
P
B = µ 0 nI
如图所示， 例11.9 如图所示，一无限大导体薄平板垂直于纸 面放置，其上有方向指向读者的电流， 面放置，其上有方向指向读者的电流，面电流密度 即通过与电流方向垂直的单位长度的电流) (即通过与电流方向垂直的单位长度的电流)到处均 求其磁场分布. 匀，大小为 I ，求其磁场分布.
解：
ab = cd = l
a b c d
∫
L
v v b v v c v v d v v av v B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl = µ0lI
∴
2 Bl = µ0lI
1 B = µ0I 2
以上结果说明： 以上结果说明：在无限大均匀平面电流两侧的磁场 结果说明 是匀强磁场，且大小相等、方向相反. 是匀强磁场，且大小相等、方向相反.其磁感应线在 无限远处闭合，与电流亦构成右螺旋关系. 无限远处闭合，与电流亦构成右螺旋关系.
L 包围的电流指穿过以 L 为边界的任意曲面的电流。 包围的电流指穿过以 为边界的任意曲面的电流 的电流。 S3 S2 S1 L
安培环路定理知识点
安培环路定理知识点安培环路定理（Kirchhoff's loop rule），又称为基尔霍夫环路定律，是电路分析中的重要基本原理。
它描述了在闭合电路中电流的流动规律，从而帮助我们理解和解决各种电路问题。
本文将介绍安培环路定理的定义、原理和应用。
一、安培环路定理的定义安培环路定理是基于电荷守恒定律和电场的环路定理推导而来的。
根据安培环路定理，在任何一个闭合电路中，电流的代数和必须等于零，即电流在电路中经过各分支的代数和等于电流离开电路的代数和。
二、安培环路定理的原理1. 闭合电路的特性安培环路定理适用于闭合电路，即电流可以通过一条回路从一个点流向另一个点。
闭合电路是电流分析的基本前提，只有满足闭合条件，安培环路定理才能有效地应用。
2. 电流的代数和为零根据安培环路定理，电流的代数和在闭合电路中必须等于零。
这是因为电流在电路中没有被消耗或产生，而是通过各分支流动，因此电流的代数和保持平衡。
3. 方向与正负号在应用安培环路定理时，我们需要为电路中的每个分支选择一个参考方向，并赋予正负号。
一般来说，沿着参考方向流动的电流取正号，相反方向流动的电流取负号。
4. 电阻和电动势根据欧姆定律，电阻中的电流与电压成正比。
在安培环路定理中，我们可以使用电阻和电动势（如电池或电源）来描述电路中的元件。
电动势提供了驱动电流流动的能量。
三、安培环路定理的应用1. 电路分析安培环路定理是电路分析中常用的工具，特别适用于复杂电路的分析。
通过将电路划分为多个闭合回路，并应用安培环路定理，我们可以解析电流和电压的分布，找到各个分支中的电流大小和方向。
2. 电源电流计算在电路中，电源提供了电流的驱动力。
应用安培环路定理，我们可以通过计算各个分支中的电流来确定电源的输出电流。
这对于设计电路和选择合适的电源非常重要。
3. 电感和电容的分析除了电阻和电源外，安培环路定理也适用于电感和电容。
在交流电路中，电感和电容的特性可以通过安培环路定理来分析，并计算它们在电路中的作用。
安培环路定理
11.6 安培环路定理
11.6.1 安培环路定理 11.6.2 安培环路定理的应用
一、安培环路定理
在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度B 沿任意
闭合曲线的线积分（也称B 的环流）,等于穿过该积分
回路的所有电流强度的代数和的 倍0 。
B dl 0I 与环路成右旋关系的电流取正
L
例：
I4
B dl μ0(I1 I2 2I3)
解 (1) 导体中的电流密度为
J I π (a2 b2)
a
B1
J
B2 b O M O
dJ
利用补偿法
半径为a的实心圆柱体在M点产生的磁感强度为B1，半 径为b的实心圆柱体在M点产生的磁感强度为B2，其上 通过的电流方向相反，电流密度相同。
磁感强度用安培环路定理计算
r
设M点到O点的距离为r,
B1 dl B1 2πr 0πr2J
3）计算
I i
4）由
B dl
L
0
I 求B i
1：“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布 已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分布
电流及其产生的磁场具有轴对称分布
I
作积分回路如图
R
r R
则B沿该闭合回路的环流为：
B dl Bdl 2πrB
l
l
根据安培环路定理：
B
dl
μ 0
I
l
则：B
B1
μ0 Jr 2
a
B1
J
B2 b O M O
dJ
B2 dl B2 2π(d r) 0π(d r)2 J
B2
μ0 J(d 2
r)
M点磁感强度为 B = B1＋B2
11.6.1 安培环路定理 11.6.2 安培环路定理的应用
一、安培环路定理
在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度B 沿任意
闭合曲线的线积分（也称B 的环流）,等于穿过该积分
回路的所有电流强度的代数和的 倍0 。
B dl 0I 与环路成右旋关系的电流取正
L
例：
I4
B dl μ0(I1 I2 2I3)
解 (1) 导体中的电流密度为
J I π (a2 b2)
a
B1
J
B2 b O M O
dJ
利用补偿法
半径为a的实心圆柱体在M点产生的磁感强度为B1，半 径为b的实心圆柱体在M点产生的磁感强度为B2，其上 通过的电流方向相反，电流密度相同。
磁感强度用安培环路定理计算
r
设M点到O点的距离为r,
B1 dl B1 2πr 0πr2J
3）计算
I i
4）由
B dl
L
0
I 求B i
1：“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布 已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分布
电流及其产生的磁场具有轴对称分布
I
作积分回路如图
R
r R
则B沿该闭合回路的环流为：
B dl Bdl 2πrB
l
l
根据安培环路定理：
B
dl
μ 0
I
l
则：B
B1
μ0 Jr 2
a
B1
J
B2 b O M O
dJ
B2 dl B2 2π(d r) 0π(d r)2 J
B2
μ0 J(d 2
r)
M点磁感强度为 B = B1＋B2
6. 4 磁场的安培环路定理
L 0
L 0
i
若找到一合适回路，其满足：L
B d l 0 Ii
对任意稳恒磁场 均成立，但只能 求对称性很高的 磁场 I
i
L 要求环路 ： 大小相等、 方向与 d l 平行； 1)其上的 B B大小不等时，方向与d l 垂直； cos =1、1、0
0 I i B cos d l
r
I
L
(俯视图)
I
I
只与闭合曲线包围的电流有关。 ？若绕行方向反转， B d l 0 ( I ) ② I 的正负由回路L的绕行方向决定：
L
I 的流向与 L 的绕向成右手螺旋关系： 为正(I >0)； 反之为负(I<0)。
I >0
I<0
2．环路不包围电流 AC，l1 CA，l2 B1 d l1 =B1cos1dl1 =B1r1d
L
q内 SE d S 0
I R
分析无限长直载流导体圆柱的磁场分布
圆柱外
B
r
r
圆柱外的 磁场分布 是以中心 轴线为轴 的对称分 布。
圆柱内：
I
d Bb I 过场点取图示回路。 d B B d l B dl B d l B d l a B d l AC CD DEb EA L d Ba
证明： 分析磁场分布：
2
0
dB 1 B 0 nI 证毕！ 2
B d l 0 Ii
L
Bl AC 0 B l DE 0 0 n l AC I
L 0
i
若找到一合适回路，其满足：L
B d l 0 Ii
对任意稳恒磁场 均成立，但只能 求对称性很高的 磁场 I
i
L 要求环路 ： 大小相等、 方向与 d l 平行； 1)其上的 B B大小不等时，方向与d l 垂直； cos =1、1、0
0 I i B cos d l
r
I
L
(俯视图)
I
I
只与闭合曲线包围的电流有关。 ？若绕行方向反转， B d l 0 ( I ) ② I 的正负由回路L的绕行方向决定：
L
I 的流向与 L 的绕向成右手螺旋关系： 为正(I >0)； 反之为负(I<0)。
I >0
I<0
2．环路不包围电流 AC，l1 CA，l2 B1 d l1 =B1cos1dl1 =B1r1d
L
q内 SE d S 0
I R
分析无限长直载流导体圆柱的磁场分布
圆柱外
B
r
r
圆柱外的 磁场分布 是以中心 轴线为轴 的对称分 布。
圆柱内：
I
d Bb I 过场点取图示回路。 d B B d l B dl B d l B d l a B d l AC CD DEb EA L d Ba
证明： 分析磁场分布：
2
0
dB 1 B 0 nI 证毕！ 2
B d l 0 Ii
L
Bl AC 0 B l DE 0 0 n l AC I
安培环路定理
r
l
(4)
dl
l
B dl B 2 π r
I
i
i
I
(5)
B 2 π r 0 I
0 I B 2πr
太原理工大学大学物理
例1 求无限长载流圆柱面的磁场 解：(1)对称性分析
将圆柱面分为无限多窄条，每 个窄条可看作电流dI的无限长直 导线 p点的磁场的大小与r有关， 方向与r垂直。 （2）选合适的环路：在垂直于 轴线的平面内，选择半径r的圆形 L1 环路L，环路正方向如图。 太原理工大学大学物理
2π R
B
o R
r
B—r曲线如图。 太原理工大学大学物理
3.载流长直密绕螺线管内的磁场 已知：螺线管载流I,单位长度匝数n 求：管内B大小 a b 解： (1)分析磁场 d ‘ b ‘ ++++++++++++ L c 长直螺线管内 B ∥轴线, d 螺线管外 B 0 。 （2）过场点作一矩形回路L，且L与I成右手螺旋关系。 （3）计算
同理：当
rR
时
I
r
L
R
I I 2 2 Ii 2 π r 2 r πR R i
0 r 2 B2πr 2 I R
0 Ir 2 π R2 B 0 I 2 π r
0 Ir B 2π R 2
故均匀载流长圆柱体的磁场
(r R) (r R)
0 I
0 NI B 2πr
(r R1 , r R2 ) 0 故载流密绕螺绕环磁场 B 0 NI ( R1 r R2 ) 2πr 讨论:
1）若R2- R1=d<<r，环内各点 B近似相等，则n=N/2πr
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本章重点复 习
• 磁场
电 流
磁
电
流
运动电荷 磁 铁
运动电荷
场
磁
铁
0 Idl r • 毕奥－萨伐尔定律 dB 4 r 3 0 I B 无限长载流长直导线的磁场. 2πa
半无限长载流长直导线的磁场
BP
0 I
4πa
圆环形电流中心的磁场
B
0 I
2R
圆弧形电流在圆心处的磁场
2、计算（先考虑匀强场中的平面）
a. S垂直B
b. S 跟B成 角
m BS cos m BS 综述： m B S
B
S S
c. 通过任一曲面的 磁通量 m B dS
S
n B
dS
n
B
3、说明
•对于闭合曲面，规定n的方向垂直于曲面向外（指向凸出一侧） 穿出时，磁通量为正(θ<π/2, cosθ>0) 穿入时，磁通量为负(θ>π/2, cosθ<0) •穿过曲面磁通量可直观地理解为穿过该面的磁感应线条数 •单位：韦伯(wb) 1Wb=1T· m2
NO
B MN
代入公式：
n 是匝数密度 无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场 为零.且内部磁感应强度为 0
B MN 0 n MN I
B 0 nI
B nI
例2 求载流螺绕环内的磁场 （已知 n N I）
解 1） 对称性分析；环内 B 线为同心圆，环外 B 为零.
0 NI B 2π R 令 L 2 πR B 0 NI L
即
当
l B d l 2π RB 0 NI
2）选回路(顺时针圆周) .
d
R
B 0 nI
2 R d 时，螺绕环内可视为均匀场 .
★重要结论
例3无限长载流圆柱面的磁场,已知总电流强度为I
L1
r
R
L
i （穿过L）
I
稳恒 磁场
无源场
非保守场、无势场 （涡旋场）
四、安培环路定理的应用
1 电场的高斯定理 E dS q内 求解具有某些对称分布的静电场
s
0
LB dl 0 I i
( 穿过L )
磁场的安培环路定理
求解具有某些对称性的磁场分布
1.分析磁场的对称性：根据电流的分布来分析； 2.通过场点恰当选取合适的闭合积分路径； 3.规定积分回路的正绕向，确定回路内电流的正负； 4.列安培环路定理方程，求出B。
当r R
2π rB 0 I
B d l 0 I
l
R
L
r
2π r 2 πr 当0 r R l B d l 0 π R 2 I 0 r 2 0 Ir 2π rB 2 I B 2 R 2π R
B
0 I
B
B
的方向与 I 成右螺旋
即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任
1)表征了B 对任意闭合曲线的环流不恒等于零；
磁场是非保守场
（没有磁势的概念）
2)反映了磁感应线与电流的互相套联问题.
１).L 上各点的B 应是空间中所有闭合稳恒电流在该处产 生的 B 的矢量和．（类似高斯定理中的 E ）
l
l
注：结果对任意形状 的回路，任意形状的闭合 电流（伸向无限远的电流） 均成立.
n B dl 0 I i i 1
安培环路定理
总结： 安培环路定理
n B dl 0 I i i 1
一闭合路径的积分的值，等于 0 乘以该闭合路径 所包围的各电流的代数和.(注意电流强度的正负号) 3.安培环路定理的意义
1、内容
在稳恒电流的磁场中，磁感应强 度 B 沿任何闭合回路L的线积分 （环流），等于穿过这回路的所 有电流强度代数和的μ 0倍，数学 表达式：
B
I n 1
L
I2
B dl o Ii
L i
I1
Ii
I nk
2. 验证： （1）设闭合回路 l 为圆形回 路,载流长直导线位于其中心
l MN NO OP PM
=2 B l= 0 j l
故
B
0 j / 2
小 结
高斯定理
B dS 0
S
安培环路定理
B dl o Ii
L i
0 r R,
r R,
I
2π R 0 I B 2π r
B
0 Ir
2
0 I
2π R
B
R
o R
r
例5 在一无限大的导体平板上均匀流有电流密度为 j 的面电流，求平板两侧的磁感应强度。课本例8-7 j
dI
俯视图
dI’
dB
先判断方向
恰当选取闭合回路
j N M M
B
P
l B
O N
解： B d l B d l B d l B d l B d l
N B S
2、几种典型的磁感应线
I
B I
S
N
载流长直导线
圆电流
载流长螺线管
3、磁感应线特性
•磁感应线是环绕电流的无头尾的闭合曲线，无起点无终点； •磁感应线不相交。 •磁感应线与电流成右手关系
二、磁通量 磁场的高斯定理
(一) 磁通量 1.定义:通过磁场中某一曲面的磁感应线
的数目，定义为磁通量，用Ф表示。
I
o
0 I l B dl 2π Rdl 0 I dl 2π R l
0 I B 2π R
B
R
dl
l
l
设 l 与 I 成右螺旋关系
0 I
（2）多电流情况
I1
I2
I3
B B1 B2 B3 B d l 0 (I 2 I3 )
2).电流
I 是指闭合路径所包围并穿过的I
的代数和.
（是指以 L 为边界的任意曲面内的闭合稳恒电流）
3)．安培环路定理仅适用于闭合稳恒电流产生的磁场.
随时间变化的磁场 一段电流的磁场
均不适用.
4)★规定 与 L 绕向成右旋关系 与 L 绕向成左旋关系 例如：
Ii 0
Ii 0
I2
I1
LB dl
I
L2
解
0 I 2π R
B
r
o R r
0r R
rR
L2
L1 B d l B2 r 0 B 0 I 0 B d l B2 r 0 I B
2π r
例4 无限长载流圆柱体电流的磁场,已知总电流为 I
解 1）对称性分析 2）选取回路
B
n B
n
（二）磁场的高斯定理
1、内容
通过任意闭合曲面的磁通量必等于零。
B dS 0
2、解释
S
磁感应线是闭合的，因此 有多少条磁感应线进入闭 合曲面，就一定有多少条 磁感应线穿出该曲面。
S
B
B
3、说明
•磁场是无源场； 电场是有源场 •磁极相对出现，不存在磁单极； 单独存在正负电荷 人类对磁单极的探寻从未停止，一旦发现磁单极，将 改写电磁理论。
例1 求长直密绕螺线管内磁场 （已知 n I ）
解 1 ) 对称性分析螺旋管内为均匀场 , 方向沿 轴向, 外部磁感强度趋于零 ，即 B 0 .
2 ) 选回路
L.
M N +++ + + + ++++++ L O P
OP PM
磁场 B 的方向与
电流
l
B
I 成右螺旋.
MN
B d l B d l B d l B d l B d l
求磁通量 ：
例1 如图载流长直导线的电流为I , 试求通过矩 形面积的磁通量.（用微积分及磁通量定义式） 解：先取面积微元，
B
求其中的 d m ，再积分得 m 0 I B // S B
2π x
I
l
d1 d2
o
x
2π x 0 Il d 2 dx Φ S B dS d1 2π x 0 Il d 2 Φ ln 2π d1
I3
L
I4
I
L
I 3 I 2 I
(穿过L )
I i I1 I 2 I 3
(穿过L )
I
i
比较
高斯定理
环路定理
静电场
1 E dS
S
0
q
内
E dl 0
L
有源场
保守场、有势场
B dS 0
S
B dl 0
0 I B0 2 R 2
一、磁感应线(磁力线 )
1．定义：
§8-3 磁场的性质
•用来描述磁场分布的曲线。
•磁感应线上任一点切线的方向——B的方向。 •B的大小可用磁感应线的疏密程度表示。
磁感应线密度：在与磁感应线垂直的单位面积上的穿过
的磁感应线的数目。(磁感应强度几何定义法)
S
B
dΦ BdS
0 I
ldx
三、安培环路定理（律） 安培 (Ampere, 1775-1836)
法国物理学家，电动力学的创始人。1805年 担任法兰西学院的物理教授，1814年参加了 法国科学会，1818年担任巴黎大学总督学， 1827年被选为英国皇家学会会员。他还是柏 林科学院和斯德哥尔摩科学院院士。 安培在电磁学方面的贡献卓著，发现了一系 列的重要定律、定理，推动了电磁学的迅速 发展。1827年他首先推导出了电动力学的基 本公式，建立了电动力学的基本理论，成为 电动力学的创始人。
• 磁场
电 流
磁
电
流
运动电荷 磁 铁
运动电荷
场
磁
铁
0 Idl r • 毕奥－萨伐尔定律 dB 4 r 3 0 I B 无限长载流长直导线的磁场. 2πa
半无限长载流长直导线的磁场
BP
0 I
4πa
圆环形电流中心的磁场
B
0 I
2R
圆弧形电流在圆心处的磁场
2、计算（先考虑匀强场中的平面）
a. S垂直B
b. S 跟B成 角
m BS cos m BS 综述： m B S
B
S S
c. 通过任一曲面的 磁通量 m B dS
S
n B
dS
n
B
3、说明
•对于闭合曲面，规定n的方向垂直于曲面向外（指向凸出一侧） 穿出时，磁通量为正(θ<π/2, cosθ>0) 穿入时，磁通量为负(θ>π/2, cosθ<0) •穿过曲面磁通量可直观地理解为穿过该面的磁感应线条数 •单位：韦伯(wb) 1Wb=1T· m2
NO
B MN
代入公式：
n 是匝数密度 无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场 为零.且内部磁感应强度为 0
B MN 0 n MN I
B 0 nI
B nI
例2 求载流螺绕环内的磁场 （已知 n N I）
解 1） 对称性分析；环内 B 线为同心圆，环外 B 为零.
0 NI B 2π R 令 L 2 πR B 0 NI L
即
当
l B d l 2π RB 0 NI
2）选回路(顺时针圆周) .
d
R
B 0 nI
2 R d 时，螺绕环内可视为均匀场 .
★重要结论
例3无限长载流圆柱面的磁场,已知总电流强度为I
L1
r
R
L
i （穿过L）
I
稳恒 磁场
无源场
非保守场、无势场 （涡旋场）
四、安培环路定理的应用
1 电场的高斯定理 E dS q内 求解具有某些对称分布的静电场
s
0
LB dl 0 I i
( 穿过L )
磁场的安培环路定理
求解具有某些对称性的磁场分布
1.分析磁场的对称性：根据电流的分布来分析； 2.通过场点恰当选取合适的闭合积分路径； 3.规定积分回路的正绕向，确定回路内电流的正负； 4.列安培环路定理方程，求出B。
当r R
2π rB 0 I
B d l 0 I
l
R
L
r
2π r 2 πr 当0 r R l B d l 0 π R 2 I 0 r 2 0 Ir 2π rB 2 I B 2 R 2π R
B
0 I
B
B
的方向与 I 成右螺旋
即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任
1)表征了B 对任意闭合曲线的环流不恒等于零；
磁场是非保守场
（没有磁势的概念）
2)反映了磁感应线与电流的互相套联问题.
１).L 上各点的B 应是空间中所有闭合稳恒电流在该处产 生的 B 的矢量和．（类似高斯定理中的 E ）
l
l
注：结果对任意形状 的回路，任意形状的闭合 电流（伸向无限远的电流） 均成立.
n B dl 0 I i i 1
安培环路定理
总结： 安培环路定理
n B dl 0 I i i 1
一闭合路径的积分的值，等于 0 乘以该闭合路径 所包围的各电流的代数和.(注意电流强度的正负号) 3.安培环路定理的意义
1、内容
在稳恒电流的磁场中，磁感应强 度 B 沿任何闭合回路L的线积分 （环流），等于穿过这回路的所 有电流强度代数和的μ 0倍，数学 表达式：
B
I n 1
L
I2
B dl o Ii
L i
I1
Ii
I nk
2. 验证： （1）设闭合回路 l 为圆形回 路,载流长直导线位于其中心
l MN NO OP PM
=2 B l= 0 j l
故
B
0 j / 2
小 结
高斯定理
B dS 0
S
安培环路定理
B dl o Ii
L i
0 r R,
r R,
I
2π R 0 I B 2π r
B
0 Ir
2
0 I
2π R
B
R
o R
r
例5 在一无限大的导体平板上均匀流有电流密度为 j 的面电流，求平板两侧的磁感应强度。课本例8-7 j
dI
俯视图
dI’
dB
先判断方向
恰当选取闭合回路
j N M M
B
P
l B
O N
解： B d l B d l B d l B d l B d l
N B S
2、几种典型的磁感应线
I
B I
S
N
载流长直导线
圆电流
载流长螺线管
3、磁感应线特性
•磁感应线是环绕电流的无头尾的闭合曲线，无起点无终点； •磁感应线不相交。 •磁感应线与电流成右手关系
二、磁通量 磁场的高斯定理
(一) 磁通量 1.定义:通过磁场中某一曲面的磁感应线
的数目，定义为磁通量，用Ф表示。
I
o
0 I l B dl 2π Rdl 0 I dl 2π R l
0 I B 2π R
B
R
dl
l
l
设 l 与 I 成右螺旋关系
0 I
（2）多电流情况
I1
I2
I3
B B1 B2 B3 B d l 0 (I 2 I3 )
2).电流
I 是指闭合路径所包围并穿过的I
的代数和.
（是指以 L 为边界的任意曲面内的闭合稳恒电流）
3)．安培环路定理仅适用于闭合稳恒电流产生的磁场.
随时间变化的磁场 一段电流的磁场
均不适用.
4)★规定 与 L 绕向成右旋关系 与 L 绕向成左旋关系 例如：
Ii 0
Ii 0
I2
I1
LB dl
I
L2
解
0 I 2π R
B
r
o R r
0r R
rR
L2
L1 B d l B2 r 0 B 0 I 0 B d l B2 r 0 I B
2π r
例4 无限长载流圆柱体电流的磁场,已知总电流为 I
解 1）对称性分析 2）选取回路
B
n B
n
（二）磁场的高斯定理
1、内容
通过任意闭合曲面的磁通量必等于零。
B dS 0
2、解释
S
磁感应线是闭合的，因此 有多少条磁感应线进入闭 合曲面，就一定有多少条 磁感应线穿出该曲面。
S
B
B
3、说明
•磁场是无源场； 电场是有源场 •磁极相对出现，不存在磁单极； 单独存在正负电荷 人类对磁单极的探寻从未停止，一旦发现磁单极，将 改写电磁理论。
例1 求长直密绕螺线管内磁场 （已知 n I ）
解 1 ) 对称性分析螺旋管内为均匀场 , 方向沿 轴向, 外部磁感强度趋于零 ，即 B 0 .
2 ) 选回路
L.
M N +++ + + + ++++++ L O P
OP PM
磁场 B 的方向与
电流
l
B
I 成右螺旋.
MN
B d l B d l B d l B d l B d l
求磁通量 ：
例1 如图载流长直导线的电流为I , 试求通过矩 形面积的磁通量.（用微积分及磁通量定义式） 解：先取面积微元，
B
求其中的 d m ，再积分得 m 0 I B // S B
2π x
I
l
d1 d2
o
x
2π x 0 Il d 2 dx Φ S B dS d1 2π x 0 Il d 2 Φ ln 2π d1
I3
L
I4
I
L
I 3 I 2 I
(穿过L )
I i I1 I 2 I 3
(穿过L )
I
i
比较
高斯定理
环路定理
静电场
1 E dS
S
0
q
内
E dl 0
L
有源场
保守场、有势场
B dS 0
S
B dl 0
0 I B0 2 R 2
一、磁感应线(磁力线 )
1．定义：
§8-3 磁场的性质
•用来描述磁场分布的曲线。
•磁感应线上任一点切线的方向——B的方向。 •B的大小可用磁感应线的疏密程度表示。
磁感应线密度：在与磁感应线垂直的单位面积上的穿过
的磁感应线的数目。(磁感应强度几何定义法)
S
B
dΦ BdS
0 I
ldx
三、安培环路定理（律） 安培 (Ampere, 1775-1836)
法国物理学家，电动力学的创始人。1805年 担任法兰西学院的物理教授，1814年参加了 法国科学会，1818年担任巴黎大学总督学， 1827年被选为英国皇家学会会员。他还是柏 林科学院和斯德哥尔摩科学院院士。 安培在电磁学方面的贡献卓著，发现了一系 列的重要定律、定理，推动了电磁学的迅速 发展。1827年他首先推导出了电动力学的基 本公式，建立了电动力学的基本理论，成为 电动力学的创始人。