高二数学立体几何教案平面的基本性质(习题课)

高二数学立体几何教案：平面的基本性质（习题课）

教学目的：理解并掌握平面的基本性质（三个公理及公理3的三个推论及其有关的符号表其示）。会证共面、共线问题。

教学重点、难点：理解并掌握三个公理及公理三的三个推论在证明共面、共线等问题时的作用。教学过程：

一、【双基练习】

1）符号表示：

点A在直线a上，记：。点A不在直线a上，记：。

点A在平面上，记：。点A不在平面上，记：。

直线a在平面上，记：。直线a不在平面上，记：。

平面与平面相交，交线是a，记：a

2）公理1的集合表示：若A a,B a,A,B,则AB。

3）公理2的集合表示：若A, A ,则a且A a。

4）公理3的集合表示：过A、B、C三个不共线的点的平面可记为——

5）下列命题属于真命题的是：

①若点A、B、C l, A， B,则可能有点C；

②若点A及上，点B及，则平面与平面相交于直线AB;

③若直线a,直线b,则不可能有直线b

④若直线a，点A a,则点A;

二、【例题】：

【例题1】已知空间四点A，B，C，D不在同一个平面内，求证：直线AB和CD既不相交也不平行．

证明用反证法．假设直线AB和CD相交或平行．由公理3的推论2，3知，这两条直

线确定一个平面，设这个平面为，则有AB，CD

由公理1知A∈α，B∈α，C∈α，Dα，即点A，B，C，D同在平面α内．与已知条件

矛盾．因此假设不成立．于是AB和CD既不相交也不平行．

说明用反证法证题，必须注意驳倒与原结论相反的所有情况，如要证∠A＞∠B，就应把∠A=∠B，∠A＜∠B两种情况都驳倒．因此，若结沦的反面情况多于两种时，用反证法就

不适宜了．

【例题2】已知四边形ABCD中，AB∥DC，AB，BC，CD，DA所在直线分别与平面α交于点E，G，F，H．求证E，H，F，G必共线．

证明如图1-5．∵AB∥CD．设AB、CD确定平面β．∵点E，F，G，H分别在直线AB，CD，BC，AD上；∴ E，F，G，H都在β内．又因点E，F，G，H都在平面α内；

∴点E，F，G，H在α和β的交线上．由公理2，两个平面有且只有一条交线，知点E，F，G，H共直线．

说明要证明若干点在同一条直线上．只需证这些点同在两个相交平面的交线上．这是常用方法之一．

说明：①共面：；

共线：；

②证点、线共面的方法：先证某些一个平面，再证其余元素此

面内。

课后练习题：

1、空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平

面 [ ]

A．可能有3个，也可能有2个 B．可能有4个，也可能有3个

C．可能有3个，也可能有1个 D．可能有4个，也可能有1个

解析：分类，第一类，四点共面，则有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何

三点共线，则任何三点都确定一个平面，共有4个。

2．下列命题中正确的个数是 [ ]

①三角形是平面图形②四边形是平面图形

③四边相等的四边形是平面图形④矩形一定是平面图形

A．1个B．2个 C．3个 D．4个

解析：命题①是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。

命题②是错误，因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动，就形成了空

间四边形。命题③也是错误，它是上一个命题中比较特殊的四边形。

命题④是正确的，因为矩形必须是平行四边形，有一组对边平行，则确定了一个平面。

3．如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有____1个。

解析：如果有两个，则直线就在平面内，那么直线上的所有点都在这个平面内，这就与

已知有一个点不在平面上矛盾，所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。

4．两两相交的三条直线，仅当交点数等于_______1个时，这三条直线才可能不共面。

5．空间一条直线及不在这条直线上的两个点，如果连结这两点的直线与已知直线_______，则它们在同一平面内。答案：相交或平行

解析：根据推论2，推论3确定平面的条件。

6．三角形、四边形、正六边形、圆，其中一定是平面图形的有________3个。

解析：三角形的三个顶点不在一条直线上，故可确定一个平面，三角形在这个平面内；

圆上任取三点一定不在一条直线上，这三点即确定一个平面，也确定了这个圆所在的平面，所以圆是平面图形；而正六边形内接于圆，故正六边形也是平面图形；而四边形就不一定是平面图形了，它的四个顶点可以不在同一平面内。

7．三条平行直线可以确定平面_________个。答案：1个或3个

解析：分类、一类三线共面，即确定一个平面，另一类三线不共面，每两条确定一个，

可确定3个。

8．画出满足下列条件的图形。

(1)α∩β=1，a α，b β，a∩b=A

(2)α∩β=a，b β，b∥a

解析：如图1-8-甲，1-8-乙