数值分析习题

5
用余弦函数 cos x 在 x0
0 ，x1
4
，x2
2
三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值多项式,
并
近似计算 cos 及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗日二次插值） 6
6 已知函数值 f (0) 6, f (1) 10, f (3) 46, f (4) 82, f (6) 212 ，求函数的四阶均差 f [0, 1, 3, 4, 6] 和二阶均差 f [4, 1, 3] 。（均差的计算）
9 求一个次数小于等于三次多项式 p(x) ，满足如下插值条件： p(1) 2 ， p(2) 4 ， p(2) 3 ， p(3) 12 。（插值多项式的构造）
10 构造一个三次多项式 H (x) ，使它满足条件 H (0) 1, H (1) 0, H (2) 1, H (1) 1（埃尔米特插值）。
8 设 I n e1 xne x dx ，求证：
0
（1） I n 1 nIn1 (n 0, 1, 2) （2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算 方法的比较选择）
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数与代数的教学策略
第二章 插值法 习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余 项的计算和应用。 1 已知 f (1) 2, f (1) 1, f (2) 1，求 f (x) 的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）
2 已知 y x, x0 4, x1 9，用线性插值求 7 的近似值。（拉格朗日线性插值）
3 若 x j ( j 0,1,...n) 为互异节点，且有
l
j
(x)
(x
(x j
x0 )(x x1)(x x0 )(x j x1 )(x j
x j1 )(x x j1 )(x j
x
j1 )(x xn ) x j1 )(x j xn
7 设 f (x) (x x0 )( x x1 )(x xn ) 求 f [x0, x1 x p ] 之值，其中 p n 1 ，而节点 xi (i 0,1,n 1) 互异。（均差的计算）
8 如下函数值表
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数与代数的教学策略
x
0
1
2来自百度文库
4
f (x) 1
9
23
3
建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造）
1 x2
x1 x2 3
4
求矛盾方程组：
x1
2x2
4 的最小二乘解。（最小二乘法）
x1 x2 2
5 已知一组试验数据
xk
2
2
.5
34
5 5
.5
yk
4
8
4
68
9
.5
.5
试用直线拟合这组数据. (计算过程保留 3 位小数)。（最小二乘线性逼近） 页脚内容4
数与代数的教学策略 6 用最小二乘原理求一个形如 y a bx2 的经验公式,使与下列数据相拟合。
3
11 设 f (x) x 2 , x0 1/ 4, x1 1, x2 9 / 4 。(1)试求 f (x) 在 1/ 4, 9 / 4上的三次埃尔米特插值多项式
H (x) ， 使 得 H (x j ) f (x j ), j 0,1,2, H (x1 ) f (x1 ) ， H (x) 以 升 幂 形 式 给 出 。 (2) 写 出 余 项
| r r* | 0.1cm ，求圆柱体体积 v r 2h 的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算）
6 设 x 的相对误差为 a% ,求 y xn 的相对误差。（函数误差的计算） 7 计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1% ，问度量半径 r 时允许的相对误差限为多大？（函
数误差的计算）
1
数与代数的教学策略
第一章 绪论
习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为 0.5105 ,那么近似数 0.003400 有几位有效数字？（有效数字的计算） 2 3.14159具有 4 位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 3 已知 a 1.2031， b 0.978 是经过四舍五入后得到的近似值，问 a b ， a b 有几位有效数字？ （有效数字的计算） 4 设 x 0， x 的相对误差为 ，求 ln x 的误差和相对误差？（误差的计算） 5 测得某圆柱体高度 h 的值为 h* 20cm ，底面半径 r 的值为 r* 5cm ，已知 | h h* | 0.2cm ，
)
n
试证明
x
k j
l
j
(x)
xk
( k 0,1,...n ) 。（拉格朗日插值基函数的性质）
j0
4 已知 sin 0.32 0.314567, sin 0.34 0.333487, sin 0.36 0.352274，用抛物线插值计算 sin 0.3367的 值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值）
又设 | f (x) | M ，则估计余项 r(x) f (x) p(x) 的大小。（插值误差的估计）
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数与代数的教学策略
第三章 函数逼近 习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。 1 设 f (x) sin x ，求 f (x) 于[0, 1] 上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）
2 令 f (x) e x , 1 x 1，且设 p(x) a0 a1x ,求 a0 , a1 使得 p(x) 为 f (x) 于[1, 1] 上的最佳平方逼 近多项式。（最佳平方逼近）
3 证明：切比雪夫多项式序列
Tk (x) cos(k arccos x)
在区间 1,1上带权 (x) 1 正交。（正交多项式的证明）
R(x) f (x) H (x) 的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。
12 若 f (x) c2[a,b], f (a) f (b) 0 ，试证明：
max | f (x) | 1 b a2 max | f (x) |（插值余项的应用）
a xb
8
a xb
13 设 f (2) 1, f (0) 1, f (2) 2, 求 p(x) 使 p(xi ) f (xi ) ( i 0, 1, 2 ) ；
xk 1 2
33
4
9518 4